4. Standardisierung und Konzentrationsmaße

von Julia M.

Wiesind Werte in einer glockenförmigen Verteilung um den Mittelwert herum verteilt?

Die 68-95-99.7 Regel

Für derartige glockenförmige Häufigkeitsverteilungen gibt die sogenannte 68-95-99.7-Regel ungefähre Prozentsätze von Daten innerhalb von ein, zwei und drei Standardabweichungen vom Mittelwert an.

Wie sind Werte in einer glockenförmigen Verteilung um den Mittelwert herum verteilt? | Wofür kann man das gebrauchen?

Abbildung:

Beispiel: IQ-Scores Mittelwert = 100, SD = 15

Es gilt:

- etwa 68 % der IQ-Werte liegen zwischen 85 und 115 (= eine Standardabweichung unter und über dem Mittelwert von 100)

- etwa 95 % der IQ-Werte liegen zwischen 70 und 130 (= zwei Standardabweichungen vom Mittelwert)

Kann man Werte (Beobachtungen) aus zwei unterschiedlichen Verteilungen vergleichen?

Zwei Freunde studieren Bachelor-Sowi und beide haben die Klausur "Mikroökonomie" bestanden. Jan hat im Sommersemester 2018 bestanden, Paul im Sommersemester 2019.

Jan sagt: Ich habe 55 Punkte erreicht und damit 10 Punkte mehr als du!

Paul sagt: Ich habe zwar nur 45 Punkte, aber im Sommersemester 2019 war die Klausur viel schwieriger!

(Wie) können wir die beiden Ergebnisse vergleichen?

Abbildung:

—> Verteilung der Klausurpunkte in den beiden Semestern

Kann man Werte (Beobachtungen) aus zwei unterschiedlichen Verteilungen vergleichen?

z-Standardisierung

Anstelle der absoluten Punktzahl betrachten wir die Leistung relativ zum Durchschnitt und in Standardabweichungen:

Abbildung:

Zum Beispiel:

z = 2 heißt, dass eine Beobachtung 2 Standardabweichungen oberhalb des Mittelwerts der Daten entfernt liegt.

z= -1,5 bedeutet, dass eine Beobachtung 1,5 Standardabweichung unterhalb des Mittelwerts liegt

—> z-Standardisierung macht Werte über unterschiedliche Verteilungen hinweg vergleichbar (verglichen wird die relative Position in einer normierten Verteilung)

Beispiel Klausurergebnis von Jan und Paul

Abbildungen:

Welche Eigenschaften haben standardisierte Werte bzw. eine standardisierte Verteilung?

z-Standardisierung

• Jeder Wert xi einer Variablen X kann standardisiert werden. Diese Werte zi bilden die Werte einer 'neuen', standardisierten Variable Z.

• Rechne Ausgangswerte xi in standardisierte zi-Werte um

Mittekwert = 0, Standardabweichung = 1

Formel Abbildung:

• Die z-Werte zeigen an, wie viele z Standardabweichungen die Beobachtung ober-/ unterhalb des Mittelwerts der Daten entfernt liegt.

• Die daraus resultierende standardisierte Variable Z besitzt stets den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1

Bei positiven Werten über dem Durchschnitt und bei negativen Werten unter dem Durchschnitt

Welche Eigenschaften haben standardisierte Werte bzw. eine standardisierte Verteilung?

Normalverteilung:

Glockenförmig, unimodal-symmetrisch
Abhängig vom Mittelwert und der Varianz (Standardabweichung)

Standardnormalverteilung:

Jeder Wert der Variablen X kann standardisiert werden (z-Standardisiserung)
neue Werte bilden die Werte euner neuen Variable Z
Diese Variable besitzt stes den Mittelwert 0 & die Standardabweichung 1
Bessere Vergleichbarkeit

Welche Eigenschaften haben standardisierte Werte bzw. eine standardisierte Verteilung?

| Beispiel: Normalverteilung und Standardnormalverteilung

Abbildung:

• 73 wir zu einem z-Wert von -1,346

d.h. der Wert liegt 1.3 Standardabweichungen unterhalb des Mittelwerts

Welche Möglichkeiten gibt es, die Ungleichheit einer Verteilung mit einer Maßzahl zu beschreiben, z.B das Ausmaß von Vermögensungleichheit?

Dezilverhältnis

• Das einfachste Konzentrationsmaß ist das Dezilverhältnis (auch Dezil-Ratio)

• Zum Beispiel: 90/10-Dezilverhältnis Verhältnis zwischen dem ersten und dem neunten Dezil einer Verteilung

Abbildung:

• Alternativ: 90/50-Dezilverhältnis

Verhältnis des Vermögens "reicher“ Personen im Verhältnis zur Mitte der Vermögensverteilung

Abbildung:

Welche Möglichkeiten gibt es, die Ungleichheit einer Verteilung mit einer Maßzahl zu beschreiben / Dezilverhältnis für das Haushalts-Nettoäquivalenzeinkommen

Abbildung:

Welche Möglichkeiten gibt es, die Ungleichheit einer Verteilung mit einer Maßzahl zu beschreiben / Gini Koeffizient als Maßzahl zur Beschreibung einer ungleichen Verteilung und Lorenzkurve

Abbildungen:

1 = Ungleichverteilung

0 = Gleichverteilung

Welche Möglichkeiten gibt es, die Ungleichheit einer Verteilung mit einer Maßzahl zu beschreiben / Relative & absolute Konzentration

• Die Lorenzkurve erlaubt Aussagen der Art „x Prozent der Merkmalsträger teilen sich y Prozent der Merkmalssumme“. Es handelt sich dabei also um ein Maß der relativen Konzentration.

Beispiel: Die reichsten 10 Prozent aller volljährigen Personen verfügten im Jahr 2007 über 61,1 Prozent des gesamten Vermögens.

(Quelle: DIW-Wochenbericht 4/2009)

• Wenn man Aussagen für einzelne Merkmalsträger formulieren möchte („n Merkmals- träger sind für y Prozent der Merkmalssumme verantwortlich“) braucht man Maße der absoluten Konzentration

Beispiel: 804.000 Einkommensteuerpflichtigen mit dem Einkommensteuer-Höchstsatz im Jahr 2003 trugen 29,6 Prozent des gesamten Einkommensteueraufkommens. (Quelle: BMF. Datensammlung zur Steuerpolitik. 2003)

Wie sind Werte in einer glockenförmigen Verteilung um den Mittelwert herum verteilt? - Die 68-95-99.7 Regel

Abbildung:

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Standardabweichung Beispiel

Abbildung