Höhere FEM

Verifikation: Mathematisches Model richtig gelöst? —> Netz adäquat?

Validierung: Nach Verifizierung. Modellansatz geeignet?

GUI —> Wechselnde Aufgaben/Projekte + einmalige Analyse

GUI basiert und Textbasiert —> Wiederholte Aufgaben

1. Problemanalyse

2. Analysesetup

3. Modellumfang

4. Dimension

5. Lasten

6. Elementklassen

7. Materialverhalten

• Klärung der RB —> Szenarien

• mit der FEA zu beantwortende Problemfrage

• Quasi-statisch?

• Massenträgheit?

• Dämpfung?

• Komponenten im Wirkzusammenhang?

• “So einfach wie möglich, so kompliziert wie nötig”

• Hierarchisches Modellieren

  • Stufenweise Komplexität des Modells erhöhren, bis Asympthote erreicht

    
    

—> Räumliche Dimension des Problems

• Wie viele Dimensionen nimmt die Gesamtanordnung ein?

• Mit wie vielen Dimensionen, ggfs. zzgl. Parametern lassen sie die Körper beschreiben?

• —> Axialsymetrisch?

—> Orte des Lastangriffs

—> Kräfte / Momente; Verschiebung / Verdrehung

—> In welcher Form sind die Lasten bekannt?

—> Wie sind die Lasten gerichtet?

• 3D: Festkörper - Elemente (3D Solids)

• 2D: 2D Festkörper im Ebenen Spannungs-/ Verzerrungszustand, axialsymetrisch, als auch Platten und Schalen

  • 2D Festkörper (2D Solids) —> In ihrer Modellierungsebene d. Kräfte belastet

  • Platten —> Senkrecht zu ihrer Modellierungsebene d. Kräfte belastet & durch Randmomente

  • Schalen —> Im Raum evtl. gekrümmt; Kräfte in Erstreckungsebene & senkrecht dazu aufnehmbar

  • 1D Stab- & Balkenelemente —> Stab: Kräfte Kräfte in Lengsrichtung —> Balken: Auch in Querrichtung und Momente

Linearelastisch

—> Isotrop

Körper kehrt nach Wegnahme der Belastung in Ursprungsform. Linearer Zusammenhang zw. Spannungs- und Verzerrungsmaßen

—> Orthotrop

3 Ebenen, durch orthogonales KOS aufgespannt. Bei Drehung um 180° um die Orthopieachse —> Identisches Verformungsverhalten

—> Anisotrop

• Sehr kurze Kanten

• Splitterflächen

• Hohlräume in Volumenkörpern

• Nicht geschlossene Oberflächen

• Komplexe Geometrien

• Inkompatibilitäten in CAD-Format

• ungünstige Eltern-Kind-Relationen

Zerteilen eine Körpers (2D/3D) in Teilkörper, die bestimmten Vernetzungstechniken zugweisen sind.

Verschiebungen —> primäre unbekannte

DGL:

• 2. Ordn. Verschiebungs Fhg an den Knoten: 2D/3D-Solid Elemente

• 4. Ordn. Verschiebungs- und Verdrehungs Fhg an den Knoten: Balken, Platten, Schalenelemente

• 2 Knoten

• Knotenverschiebung i.d. Ebene / im Raum

• Elementeigenschaften: E-Modul, Querschnitt, Dichte, ggfs. weiter, z.B. Fließgrenze/ -kurve

• Resultate:

  • Primäre Größe: Knotenverschiebung, -geschwindigkeiten & -beschleunigungen

  • Sekundäre Größe: Spannungen, Dehnungen an den Gauß-Punkten, weiter materialspez. Größen

• 3 Knoten (linear interpoliertes Dreieck

• 9 Knoten (Quadrat. intepoliertes Viereck)

• Knotenverschieb in der Ebene

• Elementeigenschaften: E-Modul, Querkontraktionszahl, Dichte

  
  

• 4 Knoten(Kubisch interpoliertes Tetraeder)

• 27 Knoten (quadrat. interpoliertes Heyaeder

• Knotenverschiebung i. Raum

• 2 Knoten (kubisch interpoliert)

• Knotenverschiebung &-verdrehung im Raum

• bei nicht kreissmetr. Profilen ist die Ausrichtung um die Längsachse zu beachten

  +Balkenquerschnittsgröße

• 2-9 Knoten

• Knotenverschiebung - & verdrehung im Raum

• Elementeigenschaften: E-Modul, Plattendicke, Dichte, ggfs. weitere

Im Allgemeinen Empfehlung:

Schalenelemente statt Plattenelemente

• 6-16 Knoten, ggfs. mehr

• Knotenverschiebung - & Verdrehung im Raum

• Elementeigenschaften: E-Modul, Plattendicke, Dichte

• Resultate:

  • Primäre Größen:

    • Knotenverschiebungen & -verdrehungen, -geschwindigkeiten & -beschleunigungen

  • Sekundäre Größen:

    • Spannungen, Dehnungen an den Gauß-Punkten, weitere materialspez. Größen

+Plattenschnittgröße

• Regelbasiert

• Netzdichtetransition

• extrudiert

• Freiform

• Pertitionierung

• Modellkörper muss eine bestimmte Topolgie aufweisen —> ggfs. Zerlegung

• Im Allgemeinen Ziel Netz mit viereckigen Elementen (möglichst rechte Winkel & keine Krümmung)

• Parallelogrammartig vernetze Elemente —> Gauß-Integration

Von groben zu feiner Vernetzung, ggfs. Dreieckige Elemente

—> Flächennetz entlang eines Pfades geführt

• regelbasiert oder frei von parameter. Anordnung

—> Fläche Ende = Ausgang => Sweep

-> Keine parametr. Beschreibung der Geometrie nötig

-> Vernetzer arbeitet auf Berandungspräsentation

-> Im allgemeinen Viereckelemente

-> erfordern zugeschnittene Netzdichteangaben

• Teilkörper mit entsprechender Topologie

• Erkennen von Schnittmöglcihkeiten & -notwendigkeiten

• Aneinander grenzende Körper müssen an den Grenzen kongruent vernetzt sein

Kleinere Elemente

Quotienten

Q = 1, Teilung entlang der Kante konstant

Q < 1, verfeinerung an einer Stelle der Linie

Q > 1, verfeinerung zwischen gegenüberliegenden Seiten

• möglichst Vierecke (2D) bzw. Achtecke (3D)

• möglichst rechtwinklig (0°/180° Eckenwinkel, pathologisch)

• Möglichst mit quadratischem Interpolationssatz

• Elemente mit unvollständim quadratischen Interpolationssatz sind wirtschaftlich

• Verzerrte Elemente vermeiden, wenn nicht vermeidbar, dann abseits der interessiernden Zonen; ABER: Fehler in entfernten Bereichen können sich auf interessante Bereiche auswirken

• Keine überschlagenen Elemente

• Flache Elemente nur bis 1:10 akzeptabel

• Für Kontaktbereiche sind Reibkoeffizienten vorzusehen

Prägen die primären Feldgrößen des Problems - bei strukturmechanischen Problemen sind das Verschiebungen & ggfs. Verdrehungen an den Lagerorten Were ein

Statische Bestimmtheit - ebenes Problem: 3 Lagerraktionen

Feineffekt

-> Lokale Effekte bei einer KRafteinleitung klingen in einem gewissen Abstand von der Einleitungsstelle ab

Lasten sind inhaltlich mit den sekundären Felgrößen bei strukturmechanischen Problemen z.B. Spannungen - Verbudnen

Koppelt primäre Freiheitsgrade eines Systems untereinander

-> lineare Kombination der Freiheitsgrade im FEM-Programm

• Analysesetup

• Angaben zu berechnenden Ergebnissen

• Angaben zu speichernden ergebnissen

• Lösungsprozess - Parameter

zeitvariante Massenträgheit spielt keine Rolle

• Ermittlung der Eigenfrequenzen & Eigenformen (Eigenpaare) freier Schwingungen

• Modeformen: Moalspannungen/-verzerrungen

• Ermittlung der eingeschwungenen, harmonischen Schwingungsantwort eines Systems auf die hermonische Anregung mit einer einzelnen Frequenz

• Systemantwort auf mehr als eine anregende frequenz und / oder Lasten mit bestimmten Phasenbeziehungen ungleich 0° und 180°

• Ausleitung & fragische & tabellarische Aufbereitung der Berechnungsergebnisse

• die exakte Lösung der Modelldifferenzialgleichung strebt gegen unendlich bzw. auf einen sehr großen Wert

Animation der Verschiebung —> Verformung sinnvoll? (Nein=>RB prüfen) —> Farbfüllbuld der Verschiebung —> Größenordnung sinnvoll? (Nein=> Lasten, Materialdaten prüfen)—> Farbfüllbild der Spannungen —> Farbsprünge klein genug? (Nein=> Netzkonvergentstudie) —> Analysespezifische Ergebnisse

—> Nachweis: Richtigkeit & Angemessenheit eines Netzes

• Planen des Netzes (PArtitioninen, Adaptionen etc.)

• Festlegen von beobactungsgrößen

• Wahl redundanter Mene an Beobachtungsgrößen

• Beobachtungsorte (Knoten? Geometrisches Merkmal)

• erste Berechnung mit grobem ab geeignetem Netz

• FE-Ergebnis plausibisieren anhand analystische Lösungen

• Netzvariation

• Erstellung Farbfpllbilder Gradienten der primären Feldgröße ohne Glättung —> Farbsptünge? —> Netz defizite

• Berechnungszeiten Konvergenzgrapen über Netzfeinheit

• Rechenzeitgrapen

Lineare Probleme Gütigkeit des SUperpositionsprinzips

Sprünge in Steifkeitseigenschaten zumeist Konverzentprobleme

• Plastisches Verhalten (kleine oder große Verzerrungen)

• Kriechen (zeitabh. Plastizität bei erhötenr T)

• Hyperelastizität (zb. Gummi)

• Elastisches Materialverhalten ist dadurch gekennzeichnet, dasss der Körper nach Wegnahme der Belastung in seine Ursprungsform zurückkehrt

• linearer Zusammenhang Spannungs- & Verzerrungsmaße

• kinematische Nichtliniearität

• Nichtlinieare Elastizität

• Deformationsabhängige Lasten (Follower Forces)

• von der Vorgeschichte unabhängige Materialgesetze

• Kontakt

• Elstioplastizität

• von der Vorgeschichte abhängige Materialgesetze (Kriech etc.)

• Treten große Verschiebungen & Verdrehungen auf

  • ändern Lasten Belastungsrichtugne?

• Spannungen örtlich über Fließgrenze?

• Verursachen Verschiebungen in einer Richtung Beansprunugen in anderen, durch Lagerrung beeinflussten Richtungen?

• Ändert sich der Berührzustand von Körpern während der Analyse

• Kontakteffekte?

• Plastifizierung? relevant?

• Große Verschiebungen/Verdrehungen?

• Folgekräfte relevant?

• Symmetrien nutzen

• Möglichst Balken, Platten, Schalen o andere Idealisierungen nutzen, um Anzahl der Fhg. handzuhaben

• Modelle unterteilen —> Nur wo nötig nichtlinear

• Netzverfeinerung & -glättung in Bereichen großer Dehnungen, um Auswirkungen von Lösungsbedingten Netzverzerrungen an den iterativen Lösungen vorzubeugen

• Lösungsbedingte Netzverzerrungen durch modellierte Gegenverzerrungen entgegenwirken

• Netzverfeinerung in Kontaktbereichen, wenn dort lokale Größen von Interesse sind

  
  

Linearer Fall K*U = F

Nichtlinear f(u) = F

• Residuum des Kräftegleichgewichts

• Verschiebung

• Arbeit aus Verschiebungs- & Lastinkrement

=> Skalare Größen; Streben bei Konvergenz gegen 0

Linear K*U = Fext

Nichtlinear F_int(U) = Fext

• Verfahren zur numerishcen Lösungs nichtlinearer Gleichungen

• Gleichgewichtsbeziehung enthält linearen & nichtlinearen Teil

  • z.B. :

• Gleichung umstellen = Standardprblem einer Nullstellen-Suche

  • z.B.:

• Im Laufe des Lösungsprozess wird diese Gleichung von Null abweichen

• Abwichung => Residuum R(u)

• Tangenten des Residuums werden an gewonnenen Zwicshenlösungen verwendet, um sich der Nullstelle zu nöhern

• Lösung: Ersatzproblem: Nullstelle der Tangente

  • Steigung Tangente :

• Initialisierung Iterationszähler i=0

• Bei i=0, Annahme Lösungs u_0=0

• Residuum ist maximal;Berechnung aktuelles R

• Residuumssteigung wird berechnet

• Tangentengleich:

• Tangentennullstelle:

• Nächster Schätzwert Nullstelle

• Erhöhung Iterationszähler Rücksprung

• Residuum R (die residuale Kraft)

• Verschiebungsinkrement Delta U

• Arbeit der residualen Kraft R am Verschiebungsinkrement

Nährungslösungen laufen nicht auf einen Endpunkt zu, sondern enden in einem Grenzzyklus beträchtliche Weite

Last nicht in eins aufbringen, sondern in kleineren Portionen

• Geringerer Rechenaufwand: Steigung des Residuums nicht in jeder Iteration neu Berechnet

• Dadurch ggfs. mehr Iterationsschritte

• Nullstellen in Form des matriziellen Lösungsoffsets delta Ui für das ersatzproblem

• Nullstelle der Tangential(hyper)ebene

• Berechnung dünnwandiger strukturen —> Schalen

• Instabilität: Verlust der Tragfähigkeit, begleitet von einer Ausweichbewegung

  • Bur bei Druckspannungen

Plötzlich stark zunehmendes Ausweicen durch Verdrehungen eines Stabes unter steigneder Längsdrucklast

Kombiniertes Auswichen durch Biegung & Verdrehung eines Stabes unter Längsdrucklast

Biegeträger mit schmalen Profil Jz << Jy

Ausweichen von:

• Scheiben aus ihrer Erstreckungsebene

• Schalen, deren BEanspruchung einen Membranspannungszustand mit Druck enthält

• Rohre unter äußerem Druck

Voraussetzung: in der Erstreckungsebene mindestens in einer Richtung Dreiecksspannung einer Mindestgröße

Beuelen in eine alternative Gleichgewichtslage, die der zuvor eingenommenen in gewisser Weise entgegengesetzt gegenüber liegt

• Eigenwertproblem

• Eigenwert = Lastfakrot an der Stabilitätsgrenze

• Eigenform = anfängliche Ausweichdeformation beim Beinn des Versagens

  
  

fördert Kippen

• Eingepräfte Kräfte ändern sich mit der Verformung der Struktur. Folge der Verformung

• meist Verformung groß, als nichtlinear

• Gegenseitige Beeinflussung bei Berührung von Körpern

• Kontaktkräfte -> Reaktionskräfte

• Kontaktnormalkraft + Reibkraft (tangential)

• vom Verformungszustand abhängig -> nichtlineare RB

Zielort:

• Abseits der Berührung

• der Berührort selbst

• Druckstäbbe, die über eine Trennstelle (Schiebehülse) verfügen

• Übertragung Druckkräfte (keine zugkräfte)

• Zur Kraftübertragung, Lücke mit Knotenverschiebung schließen

• Kontaktpaar zwei Fläcehn (Contractor & Target)

• Analysebeginn: Kontaktalgorithmus besitmmt auf Basis eines abstandskriteriums, welche Knoten potenziell kontaktieren => Kontaktknotenpaar

• Knoten (Contactor) kann bei relativ Bewegung mit der konst. auserichteten uneneldichen Ebene durch den knoten des Targets kontaktieren

• Kontakt mit nicht gepaarter Ebene ist nicht möglich => immer bestimmte Knoten mit bestimmten Knotenebenen kontaktieren => keine großen tangentialen relativbewegungen abbildbar

• Kontaktpaar definiert durch 2 Flächen (contactor & Target) können im Analyseverlauf ihren Kontaktzustand ändern

• Diskretisierung Kontaktflächen

  • Contactor - Knoten

  • Kontaktsegmente auf Tagetseite

• Kontaktdetektion: berührt Contactor - Knoten irgendein Taget - Segment —> Berührung ja —> Contactor (Slave) - Knoten —> kinematische Zwangsbedingung (kann so nicht das Targetsegment eintauchen

• Master - Knoten kann in COntactor - Seite des Kontaktpaares eintauchen, bis Contactor - Knoten auf Segment

• Flexibiltät, dadurch Rechenaufwang ggfs. Konvergenz

• Ähnlich Knoten zu Fläche

• Zwangsbedingungen im Integralen Sinne eingeprägt

  • Konvergenz

  • Feldgröße verläufe geglättet

Eine Kontaktfläche ist starr:

• Eine Kontaktseite schwer deformierbar -> Starre Modellierung

  • Target - Seite

Kontaktsteifigkeit

• Für konstruktive Erfassung der Kontaktflächen

  • Nachgiebigkeit der Oberflächenrauigkeiten (tangential & Normal)

Reibung

• Reibungskoeffizient

• kleine tangentiale Realtivbewegung

  • Kontaktgleichung einmalig zu Beginn der Analyse

  • Mutmaßliche Berührpunkt von COntacotr - Knoten zu Target - Segment, anhand der Target - Normalen bestimmt

• Zusammenhang zw. Spnanung & Verzerrung linear

• Reversiebel

• Pfadunabhängig

• Reversibel

• pfadbhängig

• Zusammenhang Spannung & Verzerrung

• große Verzessungen

• MAterialgesetzt: Mooney - Ruilin

• Hyperelast. Materialmodell

• Verfügt über 2 (linear), 3 (Keinen Wendepunkt), (einen WP) oder 9 (zwei WP) Parameter

• Auswahl erfolgt mit Blick auf die Anzahl der Wendepunkte

• Bestimmung der PArameter mit Curve - Fit - Messdaten

Bzg! Curbe - Fit - Software ist zu klären, in welchem Maß die Eingabe zu erfolgen hat & wofür die ausgegebenen Paremeter zu verwenden sind

• Plastisch: Fühigkeit eines MAterials bleibende Verformung zu zeigen

• Verfestigung

Dehung abhängig von der Historie des Lastpfades

• Isotrop

• Kinemat. Verfestigung

• Kombiniert

Fließgrenzen im Zug-Druckbereich verschiebt sich symmetrisch

• Memory - Effekt

• Belastungshistorie: elastischer Bereich vergrößert sic & bleibt erhalten

Abstand der oberen & unteren Fließgrenzen ändert sich nicht

• Memory Effekt: nach Entlastung & Widerbelastung ist die FLießgrenze mit dem letzten Wert identisch, wenn auf elast. Gerade

• Nach Entlastung & Neibelastung in umgekehrter Richtung ist die Fließgrenze im BEtrag kleiner —> Bauschingo - Effekt

Geometrische Nichtlinearität -> Bauteilverhalten ist von der Verformung abhängig