Mathe - Kombinatorik und Wahrscheinlicht

Anteil = Teil/Ganzen <-> Teil = Anteil * Ganzez <-> Ganzes = Teil/Anteil

Ein Ereignis eines Zufallsversuchs ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

Besteht ein Ereignis E aus den Ergebnissen e1, e2, ... , en und sind die Wahrscheinlichkeiten p(e1), p(e2), ... , p(en) bekannt, ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

p(E) = p(e1) + p(e2) + ... + p(en).

Zu jedem Ereignis E gibt es ein gegenteiliges Ereignis. Es heißt Gegenereignis und wird mit E bezeichnet. Zum Gegenereignis gehören alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören. Allgemein gilt die Beziehung q = 1 - p

Ein Ereignis, das bei jedem Ergebnis eintritt, heißt ein sicheres Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit ist 1.

Ein Ereignis, das niemals eintritt, heißt ein unmögliches Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit ist 0.

Ein Teilversuch eines mehrstufigen Zufallsversuchs heißt von anderen Teilversuchen abhängig, wenn vorangehende Ergebnisse seine Wahrscheinlichkeitsverteilung verändern. Trifft das nicht zu, heißt er unabhängig von anderen Teilversuchen

p(x) = Anzahl der günstigen Ergenisse/ Anzahl der möglichen Ergenisse

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man bei einem mehrstufigen Zufallsversuch, wenn man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades miteinander multipliziert.

Wird die Ergebnismenge vollständig auf Ereignisse aufgeteilt, die lediglich durch einen Zahlenwert gekennzeichnet sind, heißt die Zuordnung zwischen den Ergebnissen und Zahlenwerten eine Zufallsvariable.

Ist X eine Zufallsvariable mit den Zahlenwerten x1, x2, x3, ... und der Wahrscheinlichkeitsverteilung p1 = p(X = x1), p2 = p(X = x2), p3 = p(X = x3), ... , dann ist E(X) = p1 · x1 + p2 · x2 + p3 · x3 + ... der Erwartungswert von X. Der Erwartungswert ist der beste Schätzwert für den durchschnittlichen Zahlenwert von X bei einer langen Reihe von Versuchsdurchführungen.

Ein Versuch heißt Zufallsversuch, wenn er in gleicher Weise beliebig oft wiederholt werden kann und wenn es für den Versuchsausgang mindestens zwei verschiedene Möglichkeiten gibt.

Ein möglicher Versuchsausgang heißt ein Ergebnis des Versuchs.

Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Versuchs.

Ein Zufallsversuch heißt einfach, wenn nach jeder einmaligen Durchführung schon ein Ergebnis vorliegt.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse der Ergebnismenge ist immer 1.

p

probalis = Wahrscheinlichkeit

Ein einfacher Zufallsversuch heißt Laplace-Versuch, wenn für alle Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit gleich groß ist.

p(x) = 1/Anzahl der Ergebnisse

h = H / Umfang der Stichprobe

Die Summe aller absoluten Häufigkeiten der Merkmale ist gleich dem Umfang der Stichprobe. Die Summe der relativen Häufigkeiten der Merkmale ist 1 = 100 %.

Der häufigste Wert ist der Wert mit der größten Häufigkeit.

Welche Werte kommen überhaupt vor?

Diese Frage wird durch die Spannweite beantwortet. Die Spannweite ist der Abstand des kleinsten vom größten Wert der Urliste. Der Abstand zweier Zahlen ist immer die Differenz der kleineren von der größeren Zahl, er ist also immer positiv.

Welches ist der mittlere Wert?

Auf diese Frage gibt es zwei verschiedene Antworten. Werden alle Werte der Urliste addiert und die Summe durch den Umfang der Stichprobe geteilt, erhält man einen durchschnittlichen Wert des Merkmals. Dieser Durchschnittswert heißt der Mittelwert oder Durchschnitt des Merkmals. Wenn die Häufigkeitsverteilung bekannt ist, nimmt man zur Berechnung der Summe nur einmal jeden Wert und multipliziert ihn mit seiner absoluten Häufigkeit.

Werden die Daten der Urliste nach der Größe der Werte geordnet, heißt der Wert in der Mitte der Zentralwert oder Median. Ist der Umfang der Stichprobe gerade, gibt es zwei Werte in der Mitte. Als Zentralwert nimmt man dann den Mittelwert dieser beiden Werte.

Wie sind die Werte verteilt? Liegen sie dicht beisammen oder weit gestreut?

Die Antwort liefert die mittlere Abweichung vom Mittelwert, also der Durchschnitt der Abstände aller Werte zum Mittelwert.

Je kleiner die mittlere Abweichung eines Merkmals ist, desto weniger stark sind die Werte um den Mittelwert gestreut.

Die Stichprobe ist eine Menge, deren Elemente auf irgendeine Eigenschaft hin geprüft werden. Diese Eigenschaft heißt Merkmal, und kann verschiedene Werte annehmen. Die Größe der Stichprobe heißt Umfang der Stichprobe. Eine statistische Erhebung umfasst die Planung und Durchführung einer statistischen Untersuchung und die sinnvolle Auswertung der gesammelten Daten.

Die Liste, die jedem Element der Stichprobe einen Wert zuordnet, heißt Urliste der Stichprobe.

Die absolute Häufigkeit (H) eines Merkmals gibt an, wie oft die Werte des Merkmals vorkommen.

H

h