Formel Anteile
Anteil = Teil/Ganzen <-> Teil = Anteil * Ganzez <-> Ganzes = Teil/Anteil
Wie viele mögliche Codes gibt es, wenn die Ziffern „1“ und „6“ jeweils zweimal und die Ziffer „4“ dreimal vorkommen?
P_mW(7, 2, 2, 3) = 7! / (2! * 2! * 3!) = 5040 / (2 * 2 * 6) = 420Benötigte Zeit: 420 Minuten = 7 Stunden
Was ist der Unterschied zwischen Variation und Permutation?
Variation: Auswahl von k Elementen aus n, wobei die Reihenfolge wichtig ist.
Ohne Wiederholung: V_oW(n, k) = n! / (n - k)!
Mit Wiederholung: V_mW(n, k) = n^k
Permutation: Anordnung aller k Elemente.
Ohne Wiederholung: P_oW(k) = k!
Mit Wiederholung: P_mW(k1, k2, ..., kn) = k! / (k1! * k2! * ... * kn!)
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 3 Models nacheinander 7 Jacken präsentieren?
V_mW(3, 7) = 3^7 = 2.187
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto 6 aus 49 sechs Richtige zu haben?
C_oW(49, 6) = 49! / (6! * (49 - 6)!) = 49! / (6! * 43!) = 13.983.816Die Wahrscheinlichkeit ist 1 / 13.983.816
Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Tüte mit 15 Bonbons aus 4 Geschmacksrichtungen zusammenzustellen?
C_mW(4, 15) = (4 + 15 - 1)! / (15! * (4 - 1)!) = 18! / (15! * 3!) = 816
Wie viele verschiedene Zeichenketten lassen sich aus „KAROLINE“ bilden?
P_oW(8) = 8! = 40.320
Wie berechnet man die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung?
P_oW(k) = k!
Wie berechnet man die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung?
P_mW(k1, k2, ..., kn) = k! / (k1! * k2! * ... * kn!)
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Läufer aus 12 Schülern für einen Staffellauf anzuordnen?
V_oW(12, 4) = 12! / (12 - 4)! = 12! / 8! = 11.880
Wie lautet die mathematische Schreibweise für die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung?
(n über k) = n! / (k! * (n - k)!)
Wie berechnet man die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung CmW(n, k)?
CmW(n, k) = (n + k - 1)! / (k! * (n - 1)!)
Wie kann man Kombinationen mit Wiederholung durch einen Punkt-Strich-Code darstellen?
Punkte stehen für Elemente, Striche trennen die Kategorien. Die Kombination entspricht einer Auswahl k Positionen aus (n + k - 1).
Wie berechnet man die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung PoW(k)?
PoW(k) = k!
Wie berechnet man die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung, wenn k Elemente mit Wiederholungen vorliegen?
PoW mit Wiederholung = k! / (m1! * m2! * ... * mj!), wobei m1, m2, ..., mj die Häufigkeiten der verschiedenen Elemente sind.
Wo findet der Binomialkoeffizient Anwendung?
In der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und beim Pascal’schen Dreieck.
Wie hängen Variationen und Kombinationen zusammen?
Variationen sind geordnete Kombinationen. Eine Variation ohne Wiederholung wird durch Multiplikation der Kombination mit k! berechnet.
Warum spielt die Fakultät eine zentrale Rolle in der Kombinatorik?
: Sie beschreibt die Anzahl der möglichen Anordnungen von n Objekten und wird zur Berechnung von Variationen, Kombinationen und Permutationen verwendet.
Wie berechnet man die Anzahl der Variationen ohne Wiederholung?
V_oW(n, k) = n! / (n - k)!
Wie berechnet man die Anzahl der Variationen mit Wiederholung?
V_mW(n, k) = n^k
Wie berechnet man die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung?
C_oW(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
Wie berechnet man die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung?Antwort:
C_mW(n, k) = (n + k - 1)! / (k! * (n - 1)!)
Was ist eine Kombination ohne Wiederholung?
Eine Zusammenstellung von k Elementen aus einer Menge von n Elementen, bei der die Reihenfolge unwichtig ist und jedes Element nur einmal vorkommt.
Die Anzahl wird mit der Formel berechnet:
CoW(n,k)=n!/k!(n−k) !
Wie berechnet man die Anzahl der Variationen ohne Wiederholung VoW(n, k)?
VoW(n, k) = n * (n - 1) * ... * (n - k + 1) = n! / (n - k)!
Wie berechnet man die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung CoW(n, k)?
CoW(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
ie berechnet man die Anzahl der Variationen ohne Wiederholung?
VoW(n,k)=n!/(n−k)!
Was ist eine Variation mit Wiederholung?
Eine Zusammenstellung von k Elementen aus einer Menge von n Elementen, bei der die Reihenfolge wichtig ist und Elemente mehrfach auftreten dürfen.
VmW(n,k)=n^k
Mit welcher Fragestellung befasst sich die Kombinatorik?
Die Kombinatorik untersucht, wie viele mögliche Gruppierungen von Elementen existieren.
Was versteht man unter einer Variation ohne Wiederholung?
Eine Zusammenstellung von k Elementen aus einer Menge von n Elementen, bei der die Reihenfolge wichtig ist und kein Element mehrfach vorkommt.
Was versteht man unter einer Kombination in der Mathematik?
Eine Kombination ist eine Zusammenstellung von Elementen, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Was ist der Unterschied zwischen einer Kombination und einer Variation?
Bei einer Kombination ist die Reihenfolge der Elemente unwichtig, während sie bei einer Variation eine Rolle spielt.
Warum ist eine „Ziffernkombination“ eines Fahrradschlosses mathematisch gesehen keine Kombination?
Weil die Reihenfolge der Ziffern wichtig ist, handelt es sich um eine Variation, nicht um eine Kombination.
Definition Ereignis
Ein Ereignis eines Zufallsversuchs ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.
Definition Summenregel
Besteht ein Ereignis E aus den Ergebnissen e1, e2, ... , en und sind die Wahrscheinlichkeiten p(e1), p(e2), ... , p(en) bekannt, ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
p(E) = p(e1) + p(e2) + ... + p(en).
Definition Gegenergebnis
Zu jedem Ereignis E gibt es ein gegenteiliges Ereignis. Es heißt Gegenereignis und wird mit E bezeichnet. Zum Gegenereignis gehören alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören. Allgemein gilt die Beziehung q = 1 - p
Definition sicheres Ereignis
Ein Ereignis, das bei jedem Ergebnis eintritt, heißt ein sicheres Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit ist 1.
Definition unmögliches Ereignis
Ein Ereignis, das niemals eintritt, heißt ein unmögliches Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit ist 0.
Definition Teilversuch
Ein Teilversuch eines mehrstufigen Zufallsversuchs heißt von anderen Teilversuchen abhängig, wenn vorangehende Ergebnisse seine Wahrscheinlichkeitsverteilung verändern. Trifft das nicht zu, heißt er unabhängig von anderen Teilversuchen
Formel eines Teilversuches
p(x) = Anzahl der günstigen Ergenisse/ Anzahl der möglichen Ergenisse
Definition Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man bei einem mehrstufigen Zufallsversuch, wenn man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades miteinander multipliziert.
Definition Zufallsvariabel
Wird die Ergebnismenge vollständig auf Ereignisse aufgeteilt, die lediglich durch einen Zahlenwert gekennzeichnet sind, heißt die Zuordnung zwischen den Ergebnissen und Zahlenwerten eine Zufallsvariable.
Definition Erwartungswert
Ist X eine Zufallsvariable mit den Zahlenwerten x1, x2, x3, ... und der Wahrscheinlichkeitsverteilung p1 = p(X = x1), p2 = p(X = x2), p3 = p(X = x3), ... , dann ist E(X) = p1 · x1 + p2 · x2 + p3 · x3 + ... der Erwartungswert von X. Der Erwartungswert ist der beste Schätzwert für den durchschnittlichen Zahlenwert von X bei einer langen Reihe von Versuchsdurchführungen.
Definition Zufallsversuch
Ein Versuch heißt Zufallsversuch, wenn er in gleicher Weise beliebig oft wiederholt werden kann und wenn es für den Versuchsausgang mindestens zwei verschiedene Möglichkeiten gibt.
Ein möglicher Versuchsausgang heißt ein Ergebnis des Versuchs.
Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Versuchs.
Ein Zufallsversuch heißt einfach, wenn nach jeder einmaligen Durchführung schon ein Ergebnis vorliegt.
Definition der Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse der Ergebnismenge ist immer 1.
Formelzeichen Wahrscheinlichkeit
p
Grund p als Formelzeichen p
probalis = Wahrscheinlichkeit
Definition LaPlace-Versuch
Ein einfacher Zufallsversuch heißt Laplace-Versuch, wenn für alle Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit gleich groß ist.
Formel LaPlace-Wahrscheinlichkeit
p(x) = 1/Anzahl der Ergebnisse
Formel relative Häufigkeit
h = H / Umfang der Stichprobe
Definition Summe der relativen Häufigkeit
Die Summe aller absoluten Häufigkeiten der Merkmale ist gleich dem Umfang der Stichprobe. Die Summe der relativen Häufigkeiten der Merkmale ist 1 = 100 %.
Definition häufigster Wert
Der häufigste Wert ist der Wert mit der größten Häufigkeit.
Definition Spannweite
Welche Werte kommen überhaupt vor?
Diese Frage wird durch die Spannweite beantwortet. Die Spannweite ist der Abstand des kleinsten vom größten Wert der Urliste. Der Abstand zweier Zahlen ist immer die Differenz der kleineren von der größeren Zahl, er ist also immer positiv.
Definition mittlerer Wert
Welches ist der mittlere Wert?
Auf diese Frage gibt es zwei verschiedene Antworten. Werden alle Werte der Urliste addiert und die Summe durch den Umfang der Stichprobe geteilt, erhält man einen durchschnittlichen Wert des Merkmals. Dieser Durchschnittswert heißt der Mittelwert oder Durchschnitt des Merkmals. Wenn die Häufigkeitsverteilung bekannt ist, nimmt man zur Berechnung der Summe nur einmal jeden Wert und multipliziert ihn mit seiner absoluten Häufigkeit.
Definition Zentralwert oder Meridian
Werden die Daten der Urliste nach der Größe der Werte geordnet, heißt der Wert in der Mitte der Zentralwert oder Median. Ist der Umfang der Stichprobe gerade, gibt es zwei Werte in der Mitte. Als Zentralwert nimmt man dann den Mittelwert dieser beiden Werte.
Definition mittlere Abweichung
Wie sind die Werte verteilt? Liegen sie dicht beisammen oder weit gestreut?
Die Antwort liefert die mittlere Abweichung vom Mittelwert, also der Durchschnitt der Abstände aller Werte zum Mittelwert.
Faktor Streuung bei der mittlerer Abweichung
Je kleiner die mittlere Abweichung eines Merkmals ist, desto weniger stark sind die Werte um den Mittelwert gestreut.
Definition Stichprobe
Die Stichprobe ist eine Menge, deren Elemente auf irgendeine Eigenschaft hin geprüft werden. Diese Eigenschaft heißt Merkmal, und kann verschiedene Werte annehmen. Die Größe der Stichprobe heißt Umfang der Stichprobe. Eine statistische Erhebung umfasst die Planung und Durchführung einer statistischen Untersuchung und die sinnvolle Auswertung der gesammelten Daten.
Definition Urprobe
Die Liste, die jedem Element der Stichprobe einen Wert zuordnet, heißt Urliste der Stichprobe.
Definition absolute Häufigkeit
Die absolute Häufigkeit (H) eines Merkmals gibt an, wie oft die Werte des Merkmals vorkommen.
Formelzeichen absolute Häufigkeit
H
Formelzeichen relative Häufigkeit
h
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