Mathe - Kombinatorik und Wahrscheinlicht

Anteil = Teil/Ganzen <-> Teil = Anteil * Ganzez <-> Ganzes = Teil/Anteil

Antwort: Eine Bewegung, bei der die Beschleunigung konstant ist und die Geschwindigkeit gleichmäßig zunimmt oder abnimmt.

Antwort: v = v₀ + a * t

Antwort: s = v₀ * t + 0,5 * a * t²

Antwort: a = (v - v₀) / t

Antwort: v² = v₀² + 2 * a * s

Antwort: Die Durchschnittsgeschwindigkeit v̅ ist definiert als der Quotient aus der zurückgelegten Strecke s und der dafür benötigten Zeit t:v̅ = s / t

Antwort: Die Einheit der Beschleunigung ist Meter pro Quadratsekunde (m/s²).

Antwort: Eine negative Beschleunigung bedeutet eine Verzögerung oder Bremsung der Bewegung.

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass X höchstens einen bestimmten Wert k annimmt:

p(X ≤ k) = p(X = 0) + p(X = 1) + ... + p(X = k)

Dies bedeutet, dass nicht nur die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert k betrachtet wird, sondern auch alle Werte darunter.

Die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen zwei Werten k' und k'' liegt, berechnet sich mit:

p(k' ≤ X ≤ k'') = p(X ≤ k'') - p(X ≤ k' - 1)

Dies kann ebenfalls mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnet werden.

Unter bestimmten Bedingungen kann man Näherungen für Wahrscheinlichkeiten durch die sogenannte σ-Regel nutzen:

• p(μ - σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 68 %

• p(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 95,5 %

• p(μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 99,75 %

Diese Näherung funktioniert gut, wenn n * p * (1 - p) > 9 gilt.

Die Varianz einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit Parametern n und p ist:

Var(X) = n * p * (1 - p)

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit Parametern n und p ist:

E(X) = n * p

Das bedeutet, dass sich bei einer großen Anzahl von Versuchen die durchschnittliche Anzahl der Erfolge bei n * p einpendelt.

Die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße X ist:

σ = sqrt(n * p * (1 - p))

Diese gibt an, wie stark die Anzahl der Erfolge um den Erwartungswert schwankt.

p(X = k) = (n über k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

(n über k) = n! / (k! * (n - k)!)

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit Parametern n und p ist:

E(X) = n * p

Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt, wenn sie die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette mit den Parametern n und p beschreibt.

n über k = n!/k! (n-k)!

ie Wertebereich von XXX ist {0,1,2,…,n} {0,1,2,…,n}, also von keinem Erfolg bis zu n Erfolgen.

Eine Bernoulli-Kette ist eine Serie von mehreren gleichartigen, unabhängigen Zufallsexperimenten, bei denen jedes Experiment nur zwei mögliche Ergebnisse hat (z. B. Erfolg oder Misserfolg).

Die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette wird als Zufallsvariable X bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit wird mit der Binomialverteilung berechnet

Bei stochastischer Abhängigkeit beeinflusst das Eintreten eines Ereignisses das andere (p(A|B) ≠ p(A)), während bei Unabhängigkeit keine solche Beeinflussung besteht (p(A|B) = p(A)).

Eine Vierfeldertafel stellt Wahrscheinlichkeiten von Schnittmengen zweier Ereignisse A und B sowie deren Ergänzungen grafisch dar und hilft, Wahrscheinlichkeiten systematisch zu berechnen.

Er besagt, dass p(A) durch die Summe p(A|Bi) * p(Bi) für eine beliebige Zerlegung {B1, ..., Bk} berechnet werden kann: p(A) = p(A|B1) * p(B1) + ... + p(A|Bk) * p(Bk).

Die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit beschreibt die Berechnung von p(A) durch die Summe der Produkte der bedingten Wahrscheinlichkeiten p(A|Bi) mit den Wahrscheinlichkeiten p(Bi) über eine Zerlegung der Ergebnismenge.

Die Bayes-Formel berechnet die bedingte Wahrscheinlichkeit p(B|A) anhand der gegebenen Wahrscheinlichkeiten p(A|B), p(B) und p(A) mittels der Formel: p(B|A) = p(A|B) * p(B) / p(A).

Mit der Bayes-Formel: p(B|A) = (p(A|B) * p(B)) / p(A) = (0,81 * 0,7) / 0,63 = 0,9 = 90 %.

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten von B keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von A hat, also p(A|B) = p(A).

Die Wahrscheinlichkeit ändert sich nach jeder Ziehung, da die Anzahl der verbleibenden Elemente in der Urne abnimmt.

Er hilft, unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wenn man verschiedene mögliche Bedingungen und deren Wahrscheinlichkeiten kennt.

Er ermöglicht die Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch Berücksichtigung aller möglichen Bedingungen:p(A)=p(A∣B)⋅p(B)+p(A∣Bˉ)⋅p(Bˉ)p(A) = p(A|B) \cdot p(B) + p(A|\bar{B}) \cdot p(\bar{B})p(A)=p(A∣B)⋅p(B)+p(A∣Bˉ)⋅p(Bˉ)

In einem Unternehmen stammen 60 % der Schalter von Firma A mit einer Defektrate von 1 %, und 40 % von Firma B mit einer Defektrate von 3,5 %. Die Gesamtfehlerwahrscheinlichkeit berechnet sich als:p(A) = 0,01 \cdot 0,6 + 0,035 \cdot 0,4 = 0,006 + 0,014 = 0,02 \text{ (also 2 %)}

Bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.

Weil man nur die Fälle betrachtet, die die gegebene Bedingung erfüllen, um eine genauere Einschätzung der Wahrscheinlichkeit innerhalb dieser Teilmenge zu erhalten.

Es zeigt, dass bedingte Wahrscheinlichkeit durch die Fokussierung auf eine Teilmenge der Ergebnisse berechnet wird. Hier wurde die Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl unter der Bedingung berechnet, dass nur 1, 2 oder 3 gewürfelt wurde.

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn gilt: p(A|B) = p(A). Das bedeutet, dass das Eintreten von B keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von A hat.

wei Ereignisse A und B sind genau dann unabhängig, wenn gilt: p(A ∩ B) = p(A) * p(B). Wenn diese Gleichung nicht erfüllt ist, sind A und B stochastisch abhängig.

: Ja, denn nach der ersten Ziehung befindet sich wieder die gleiche Anzahl Kugeln in der Urne.Es gilt:p(A|B) = p(A) und p(A| ) = p(A).Daher sind die Ziehungen unabhängig.

Der Satz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten von A unter verschiedenen Bedingungen gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten dieser Bedingungen berechnet wird:

Die allgemeine Bayes-Formel berechnet die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Bⱼ gegeben A:

p(Bⱼ|A) = (p(A|Bⱼ) · p(Bⱼ)) / p(A)

mit

p(A) = p(A|B₁) · p(B₁) + p(A|B₂) · p(B₂) + … + p(A|Bₖ) · p(Bₖ).

Zwei Mengen U und V sind disjunkt (elementfremd), wenn sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben, also gilt:

U ∩ V = ∅.

Eine Zerlegung liegt vor, wenn:

1. Die Mengen paarweise disjunkt sind, d.h.

   Xᵢ ∩ Xⱼ = ∅ für alle i ≠ j.

2. Ihre Vereinigung die gesamte Menge Y ergibt, also:

   X₁ ∪ X₂ ∪ … ∪ Xₖ = Y.

Eine Vierfeldertafel stellt die Wahrscheinlichkeiten von Durchschnittsmengen zweier Ereignisse A und B übersichtlich dar. Sie enthält die Wahrscheinlichkeiten:

p(A ∩ B), p(A ∩ Bᶜ), p(Aᶜ ∩ B), p(Aᶜ ∩ Bᶜ).

Zeilen- und Spaltensummen ergeben die Randwahrscheinlichkeiten p(A), p(B) usw.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter einer Bedingung ergibt sich aus dem Verhältnis:

p(A|B) = p(A ∩ B) / p(B).

Ähnlich gilt:

p(Aᶜ|B) = p(Aᶜ ∩ B) / p(B)

und entsprechend für die anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Eine Kreuztabelle ist eine erweiterte Version der Vierfeldertafel, die mehr als zwei Ereignisse betrachtet. Sie zeigt die Wahrscheinlichkeiten für Kombinationen von Ereignissen A₁, A₂, ... mit B₁, B₂, ....

Sie werden zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten, relativen und absoluten Häufigkeiten verwendet und sind insbesondere in der Statistik, Marktforschung und Medizin von Bedeutung.

Die Bayes-Formel erlaubt es, Wahrscheinlichkeiten umzudrehen. Wenn p(A|B) bekannt ist, kann p(B|A) berechnet werden. Das ist besonders nützlich, um Vorhersagen zu überprüfen, z. B.:

• Wie zuverlässig ist eine Wetterprognose?

• Wie genau ist ein Schwangerschaftstest?

• Bedeutet ein Alarm wirklich einen Einbruch?

Die Bayes-Formel lautet:p(B|A) = (p(A|B) * p(B)) / p(A)Diese Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit von B gegeben A.

Mit der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich:p(B|A) = (p(A|B) * p(B)) / (p(A|B) * p(B) + p(A| ) * p( ))Hier wird p(A) im Nenner durch die totale Wahrscheinlichkeit ersetzt.

Nur die Zahl 2 ist gerade und liegt im Bereich der kleinen Zahlen. Die Häufigkeit beträgt H(2) = 6, die Gesamtzahl der kleinen Zahlen ist H(1,2,3) = 19.Daher gilt:P(A|B) = H(2) / H(1,2,3) = 6 / 19 ≈ 0,316Die vereinfachte Form ist P(A|B) = 1 / 3.

P(A|B) + P(Ā|B) = 1Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung B und die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils von A unter derselben Bedingung sich zu 1 ergänzen.

P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|Ā) * P(Ā)Dies erlaubt die Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses, wenn es zwei sich gegenseitig ausschließende Fälle gibt, z. B. zwei unterschiedliche Gruppen von Objekten mit eigenen Wahrscheinlichkeiten.

Wenn ein Hersteller 60 % seiner Schalter von Lieferant B und 40 % von Lieferant Ā bezieht, wobei die Fehlerquoten P(A|B) = 1 % und P(A|Ā) = 3,5 % sind, dann gilt:P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|Ā) * P(Ā)P(A) = (0,01 * 0,6) + (0,035 * 0,4) = 0,006 + 0,014 = 0,02 = 2 %Daher beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit eines defekten Schalters 2 %

: Die Gleichung für die totale Wahrscheinlichkeit wird nach p(A| ) umgestellt:p(A| ) = (p(A) - p(A|B) * p(B)) / p( )Dies ermöglicht die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit unter veränderten Bedingungen.

Weil sie mathematisch nützlicher ist, z. B. für den Zentralen Grenzwertsatz oder Berechnungen mit der Normalverteilung.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten entstehen, wenn man nur diejenigen Versuche eines Zufallsexperiments betrachtet, die eine bestimmte Bedingung erfüllen.

ie bedingte Wahrscheinlichkeit von AAA unter der Bedingung B wird berechnet mit:

P(A∣B)=P(A∩B)

Dabei ist P(A∩B)die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch BBB eintreten, und P(B) die Wahrscheinlichkeit von B.

Sie können direkt für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet werden, auch wenn keine konkrete Zufallsvariable vorliegt.

Sie bedeutet, dass Zufallswerte direkt als Ereignisse betrachtet werden, wenn keine explizite Zufallsvariable definiert ist.

Anstelle der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert werden die Absolutbeträge der Abweichungen genutzt.

Sie erspart das Quadrieren und Wurzelziehen, was zu einfacheren Berechnungen führt.

1. Erwartungswert: E(Y2) = 1000 * E(X).

2. Varianz: Var(Y2) = 1.000.000 * Var(X).

3. Standardabweichung: s(Y2) = 1000 * s(X).

Da die Varianz mit dem Quadrat des Multiplikationsfaktors skaliert wird: Var(αX) = α²Var(X), hier also 1000² = 1.000.000.

1. E(Y) = αE(X) + β

2. Var(Y) = α²Var(X)

3. s(Y) = |α|s(X)

Weil die Standardabweichung eine Maßzahl für die Streuung ist und negative Werte keine Bedeutung haben.

Weil sie zeigt, wie diese statistischen Kennwerte durch Skalierung (α) und Verschiebung (β) beeinflusst werden.

: X wird mit 1000 multipliziert, sodass Y2 = 1000 * X entsteht.

1. Y hat eine einfachere Struktur als X und nimmt mit 50 % Wahrscheinlichkeit die Werte 0,7327 und 1,2873 an.

2. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von Y sind gleich wie die von X.

Y nimmt die Werte 0,7327 und 1,2873 mit jeweils 50 % Wahrscheinlichkeit an.

Y hat denselben Erwartungswert, dieselbe Varianz und dieselbe Standardabweichung wie X, obwohl die Struktur von Y einfacher ist.

Y = αX + β, wobei α und β konstante Werte sind.

Die Zufallsgröße X hat die Werte 0,7, 1,0 und 1,5 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,3, 0,5 und 0,2.

Der Erwartungswert μ=E(X)\mu = E(X)μ=E(X) ist die gewichtete Summe der möglichen Werte von XXX, multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten:

μ=E(X)=0,7⋅0,3+1,0⋅0,5+1,5⋅0,2=1,01

Bedeutung: Wenn sehr viele Flaschen Fruchtsaft verkauft werden, wird sich die mittlere Flaschengröße auf 1,01 Liter einpendeln.

e Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen der Werte von ihrem Erwartungswert μ\muμ:

Var(X)=E((X−μ)2

Um die Varianz zu berechnen, verwenden wir:

• Die Werte von X sind 0,7, 1,0 und 1,5.

• Die Wahrscheinlichkeiten p(X=0,7)=0,3p(X = 0,7) = 0,3p(X=0,7)=0,3, p(X=1,0)=0,5p(X = 1,0) = 0,5p(X=1,0)=0,5, und p(X=1,5)=0,2p(X = 1,5) = 0,2p(X=1,5)=0,2.

• Der Erwartungswert μ=1,01\mu = 1,01μ=1,01.

Nun berechnen wir die quadrierten Abweichungen:

(X−μ)2:(0,7−1,01)2=0,0961,(1,0−1,01)2=0,0001,(1,5−1,01)2=0,2401(X - \mu)^2: (0,7 - 1,01)^2 = 0,0961, \quad (1,0 - 1,01)^2 = 0,0001, \quad (1,5 - 1,01)^2 = 0,2401(X−μ)2:(0,7−1,01)2=0,0961,(1,0−1,01)2=0,0001,(1,5−1,01)2=0,2401

Die Varianz ergibt sich dann durch die gewichtete Summe:

Var(X)=0,3⋅0,0961+0,5⋅0,0001+0,2⋅0,2401=0,0769\text{Var}(X) = 0,3 \cdot 0,0961 + 0,5 \cdot 0,0001 + 0,2 \cdot 0,2401 = 0,0769Var(X)=0,3⋅0,0961+0,5⋅0,0001+0,2⋅0,2401=0,0769

Weil sie die Abweichung in der gleichen Einheit wie die Zufallsvariable angibt, während die Varianz quadrierte Einheiten hat.

Eine kleine Varianz bedeutet, dass die Werte der Zufallsvariablen meist nahe am Erwartungswert liegen.

Eine große Varianz bedeutet, dass die Werte der Zufallsvariablen stark um den Erwartungswert schwanken.

Die Varianz steigt um den Faktor 100, weil die Abweichungen quadriert werden.

Der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung sind wichtige Kenngrößen zur Charakterisierung von Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

• Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X ist der Mittelwert, den man nach unendlich vielen Versuchen erwarten würde.

• Die Varianz misst, wie stark die Werte der Zufallsvariablen um den Erwartungswert streuen.

• Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und gibt die Streuung der Werte an.

Var(X) = (x1 – μ)² * p(X = x1) + … + (xn – μ)² * p(X = xn)

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz: σ = sqrt(Var(X))

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jedem möglichen Ergebnis e eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert X(e) zuordnet.

Der Erwartungswert E(X) gibt den langfristigen Durchschnittswert der Zufallsvariablen X an und wird auch mit μ bezeichnet.

E(X) = x1 * p(X = x1) + … + xn * p(X = xn)

Die Varianz misst, wie stark die Zufallsvariable normalerweise vom Erwartungswert abweicht.

P_mW(7, 2, 2, 3) = 7! / (2! * 2! * 3!) = 5040 / (2 * 2 * 6) = 420Benötigte Zeit: 420 Minuten = 7 Stunden

1. Variation: Auswahl von k Elementen aus n, wobei die Reihenfolge wichtig ist.

   • Ohne Wiederholung: V_oW(n, k) = n! / (n - k)!

   • Mit Wiederholung: V_mW(n, k) = n^k

2. Permutation: Anordnung aller k Elemente.

   • Ohne Wiederholung: P_oW(k) = k!

   • Mit Wiederholung: P_mW(k1, k2, ..., kn) = k! / (k1! * k2! * ... * kn!)

V_mW(3, 7) = 3^7 = 2.187

C_oW(49, 6) = 49! / (6! * (49 - 6)!) = 49! / (6! * 43!) = 13.983.816Die Wahrscheinlichkeit ist 1 / 13.983.816

C_mW(4, 15) = (4 + 15 - 1)! / (15! * (4 - 1)!) = 18! / (15! * 3!) = 816

P_oW(8) = 8! = 40.320

P_oW(k) = k!

P_mW(k1, k2, ..., kn) = k! / (k1! * k2! * ... * kn!)

V_oW(12, 4) = 12! / (12 - 4)! = 12! / 8! = 11.880

(n über k) = n! / (k! * (n - k)!)

CmW(n, k) = (n + k - 1)! / (k! * (n - 1)!)

Punkte stehen für Elemente, Striche trennen die Kategorien. Die Kombination entspricht einer Auswahl k Positionen aus (n + k - 1).

PoW(k) = k!

PoW mit Wiederholung = k! / (m1! * m2! * ... * mj!), wobei m1, m2, ..., mj die Häufigkeiten der verschiedenen Elemente sind.

In der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und beim Pascal’schen Dreieck.

Variationen sind geordnete Kombinationen. Eine Variation ohne Wiederholung wird durch Multiplikation der Kombination mit k! berechnet.

: Sie beschreibt die Anzahl der möglichen Anordnungen von n Objekten und wird zur Berechnung von Variationen, Kombinationen und Permutationen verwendet.

V_oW(n, k) = n! / (n - k)!

V_mW(n, k) = n^k

C_oW(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

C_mW(n, k) = (n + k - 1)! / (k! * (n - 1)!)

Eine Zusammenstellung von k Elementen aus einer Menge von n Elementen, bei der die Reihenfolge unwichtig ist und jedes Element nur einmal vorkommt.

Die Anzahl wird mit der Formel berechnet:

CoW(n,k)=n!/k!(n−k) !

VoW(n, k) = n * (n - 1) * ... * (n - k + 1) = n! / (n - k)!

CoW(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Die Anzahl wird mit der Formel berechnet:

VoW(n,k)=n!/(n−k)!

Eine Zusammenstellung von k Elementen aus einer Menge von n Elementen, bei der die Reihenfolge wichtig ist und Elemente mehrfach auftreten dürfen.

Die Anzahl wird mit der Formel berechnet:

VmW(n,k)=n^k

Die Kombinatorik untersucht, wie viele mögliche Gruppierungen von Elementen existieren.

Eine Zusammenstellung von k Elementen aus einer Menge von n Elementen, bei der die Reihenfolge wichtig ist und kein Element mehrfach vorkommt.

Eine Kombination ist eine Zusammenstellung von Elementen, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Bei einer Kombination ist die Reihenfolge der Elemente unwichtig, während sie bei einer Variation eine Rolle spielt.

Weil die Reihenfolge der Ziffern wichtig ist, handelt es sich um eine Variation, nicht um eine Kombination.

Ein Ereignis eines Zufallsversuchs ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

Besteht ein Ereignis E aus den Ergebnissen e1, e2, ... , en und sind die Wahrscheinlichkeiten p(e1), p(e2), ... , p(en) bekannt, ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

p(E) = p(e1) + p(e2) + ... + p(en).

Zu jedem Ereignis E gibt es ein gegenteiliges Ereignis. Es heißt Gegenereignis und wird mit E bezeichnet. Zum Gegenereignis gehören alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören. Allgemein gilt die Beziehung q = 1 - p

Ein Ereignis, das bei jedem Ergebnis eintritt, heißt ein sicheres Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit ist 1.

Ein Ereignis, das niemals eintritt, heißt ein unmögliches Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit ist 0.

Ein Teilversuch eines mehrstufigen Zufallsversuchs heißt von anderen Teilversuchen abhängig, wenn vorangehende Ergebnisse seine Wahrscheinlichkeitsverteilung verändern. Trifft das nicht zu, heißt er unabhängig von anderen Teilversuchen

p(x) = Anzahl der günstigen Ergenisse/ Anzahl der möglichen Ergenisse

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man bei einem mehrstufigen Zufallsversuch, wenn man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades miteinander multipliziert.

Wird die Ergebnismenge vollständig auf Ereignisse aufgeteilt, die lediglich durch einen Zahlenwert gekennzeichnet sind, heißt die Zuordnung zwischen den Ergebnissen und Zahlenwerten eine Zufallsvariable.

Ist X eine Zufallsvariable mit den Zahlenwerten x1, x2, x3, ... und der Wahrscheinlichkeitsverteilung p1 = p(X = x1), p2 = p(X = x2), p3 = p(X = x3), ... , dann ist E(X) = p1 · x1 + p2 · x2 + p3 · x3 + ... der Erwartungswert von X. Der Erwartungswert ist der beste Schätzwert für den durchschnittlichen Zahlenwert von X bei einer langen Reihe von Versuchsdurchführungen.

Ein Versuch heißt Zufallsversuch, wenn er in gleicher Weise beliebig oft wiederholt werden kann und wenn es für den Versuchsausgang mindestens zwei verschiedene Möglichkeiten gibt.

Ein möglicher Versuchsausgang heißt ein Ergebnis des Versuchs.

Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Versuchs.

Ein Zufallsversuch heißt einfach, wenn nach jeder einmaligen Durchführung schon ein Ergebnis vorliegt.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse der Ergebnismenge ist immer 1.

p

probalis = Wahrscheinlichkeit

Ein einfacher Zufallsversuch heißt Laplace-Versuch, wenn für alle Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit gleich groß ist.

p(x) = 1/Anzahl der Ergebnisse

h = H / Umfang der Stichprobe

Die Summe aller absoluten Häufigkeiten der Merkmale ist gleich dem Umfang der Stichprobe. Die Summe der relativen Häufigkeiten der Merkmale ist 1 = 100 %.

Der häufigste Wert ist der Wert mit der größten Häufigkeit.

Welche Werte kommen überhaupt vor?

Diese Frage wird durch die Spannweite beantwortet. Die Spannweite ist der Abstand des kleinsten vom größten Wert der Urliste. Der Abstand zweier Zahlen ist immer die Differenz der kleineren von der größeren Zahl, er ist also immer positiv.

Welches ist der mittlere Wert?

Auf diese Frage gibt es zwei verschiedene Antworten. Werden alle Werte der Urliste addiert und die Summe durch den Umfang der Stichprobe geteilt, erhält man einen durchschnittlichen Wert des Merkmals. Dieser Durchschnittswert heißt der Mittelwert oder Durchschnitt des Merkmals. Wenn die Häufigkeitsverteilung bekannt ist, nimmt man zur Berechnung der Summe nur einmal jeden Wert und multipliziert ihn mit seiner absoluten Häufigkeit.

Werden die Daten der Urliste nach der Größe der Werte geordnet, heißt der Wert in der Mitte der Zentralwert oder Median. Ist der Umfang der Stichprobe gerade, gibt es zwei Werte in der Mitte. Als Zentralwert nimmt man dann den Mittelwert dieser beiden Werte.

Wie sind die Werte verteilt? Liegen sie dicht beisammen oder weit gestreut?

Die Antwort liefert die mittlere Abweichung vom Mittelwert, also der Durchschnitt der Abstände aller Werte zum Mittelwert.

Je kleiner die mittlere Abweichung eines Merkmals ist, desto weniger stark sind die Werte um den Mittelwert gestreut.

Die Stichprobe ist eine Menge, deren Elemente auf irgendeine Eigenschaft hin geprüft werden. Diese Eigenschaft heißt Merkmal, und kann verschiedene Werte annehmen. Die Größe der Stichprobe heißt Umfang der Stichprobe. Eine statistische Erhebung umfasst die Planung und Durchführung einer statistischen Untersuchung und die sinnvolle Auswertung der gesammelten Daten.

Die Liste, die jedem Element der Stichprobe einen Wert zuordnet, heißt Urliste der Stichprobe.

Die absolute Häufigkeit (H) eines Merkmals gibt an, wie oft die Werte des Merkmals vorkommen.

H

h