Definiere und erkläre den Definitionsbereich/Definitionsmenge
Der Definitionsbereich (Definitionsmenge) beschreibt die Menge aller Zahlen, die man in die Funktion f für x einsetzen kann.
Kurz: D(f) oder Df.
Welche Einschränkungen hat der Definitionsbereich
1. Wurzelfunktionen:
Das unter der Wurzel muss größer oder gleich null sein, da unter der Wurzel keine negativen Zahlen gegeben sein dürfen.
2. Logarithmusfunktionen:
Der Ausdruck im Logarithmus muss größer als null sein, da der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist.
3. Gebrochen-Rationale Funktionen:
Der Nenner darf nicht null sein, da man nicht durch null teilen kann.
Definiere den Begriff Nullstellen einer Funktion und erkläre wie man diese berechnet
Definition:
• Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts des Graphen der Funktion mit der x-Achse
—> f(x) = 0
Berechnung:
• Setze die Funktion gleich null und löse die Gleichung nach x auf
Was sind die Bedinungen für den Y-Achsenschnittpunkt und der X-Achsensschnittpunkt
X-Achsen-Schnittpunkte:
• Bedingung: y = 0.
Y-Achsen-Schnittpunkte:
• Bedingung: f(0).
Definiere und erkläre wie man den Grenzwert berechnet
Definition Grenzwert: Der Wert, den eine Funktion annimmt, wenn x sich einer bestimmten Zahl nähert.
Beziehungsweise, beschreibt wie der Graph außerhalb der Zeichnung aussieht.
Den Grenzwert einer Funktion f berechnet man mit dem Limes. Der Limes (lim) sagt dir, was passiert, wenn x in eine bestimmte Richtung (+∞ oder - ∞) geht.
Eine Funktion kann einen Grenzwert haben, wenn x gegen einen bestimmten Wert Xo strebt
Wenn die Funktion keinen Grenzwert als Zahl hat strebt es gegen +∞ oder - ∞.
Große oder kleine Werte für x einsetzen und das Verhalten der Funktionswerte analysieren.
—> Hat eine Funktion einen Grenzwert, so hat diese eine waagrechte Asymptote.
Wie staucht man und streckt man eine Funktion?
Veränderungen des Graphen durch Multiplikation der Funktion mit einer Konstante.
Wenn a > 1:
• Graph wird entlang der y-Achse gestreckt und entlang der x-Achse gestaucht.
Wenn 0 < a < 1:
• Graph wird entlang der y-Achse gestaucht und entlang der x-Achse gestreckt.
Wie verschiebt man eine Funktion?
Verschieben des Graphen entlang der x- oder y-Achse durch Addition oder Subtraktion einer Konstante.
Entlang der x-Achse:
Rechts (positive Richtung): x - n.
Links (negative Richtung): x + n.
Entlang der y-Achse:
Oben: f(x) + n.
Unten: f(x) - n.
Wie bestimmt man die Symmetrie einer Funktion? Welche Symmetriearten gibt es?
Symmetrie beschreibt die Eigenschaft eines Graphen, sich auf bestimmte Weisen zu spiegeln.
Punktsymmetrisch zum Ursprung:
• Bedingung: - f(x)= f(-x)
Bei Ganzrationalen Funktionen immer ungerade Exponenten
Achsensymmetrisch zur y-Achse:
• Bedingung: f(x) = f (-х)
Bei Ganzrationalen Funktionen immer gerade Exponenten
Bedingungen der Extremstellen
Notwendiges Kriterium: f ´(x) = 0
Hinreichendes Kriterium: f´´(x)# 0
Für das hinreichende Kriterium gibt es zwei Möglichkeiten:
Wert der zweiten Ableitung:
f"(xE) < 0 lokales Maximum (Hochpunkt)
f"(xE) > 0 lokales Minimum (Tiefpunkt)
Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung:
Wie ändert sich der Wert der ersten Ableitung von f vor der Stelle xE ?
lokales Maximum: vor der Stelle xE positiv und nach xE negativ
lokales Minimum: vor der Stelle xE negativ und nach xE positiv
Definiere die Tangente
Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in genau einem Punkt berührt und dieselbe Steigung wie der Graph an dieser Stelle hat.
Wie berechnet man die Tangente?
1. Allgemeine Tangentengleichung:
У = mx +c
2. Steigung berechnen:
Erste Ableitung f'(x) bilden und den xo-Wert einsetzen.
3. Y-Wert berechnen:
xo in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzen.
4. Gleichung aufstellen:
Werte von x,y und m in die Tangentengleichung einsetzen und nach c umstellen.
5.Tangentengleichung aufstellen
Was ist die momentane Änderungsrate und wie berechnet man die?
Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle des Graphen.
—> also bei immer genau einem x0-Wert
Ableitung f'(x) an der Stelle хо berechnen: f'(xo).
Was ist die mittlere Änderungsrate und wie berechnet man diese?
• Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung der Funktionswerte über ein bestimmtes Intervall.
—> bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall
Definiere was das Krümmungsverhalten ist
Das Krümmungsverhalten beschreibt, ob der Graph der Funktion nach oben (linksgekrümmt) oder unten (rechtsgekrümmt) gekrümmt ist.
Wie berechnet man das Krümmungsverhalten?
1) Zweite Ableitung bilden:
f´´(x)
2) Vorzeichen der zweiten Ableitung prüfen:
Wenn f´´(x) > 0 , ist die Funktion konvex (linksgekrümmt)
Wenn f´´(x) < 0 , ist die Funktion konkav (rechtsgekrümmt)
3) Wenn die Funktion f´´(x) noch x enthält dann:
Setzen Sie f´´(x)= 0 und lösen Sie nach x
Prüfen Sie das Vorzeichen von f´´(x) in den Intervallen um die Lösungen, um das Krümmungsverhalten zu bestimmen
Wann liegt eine Linkskrümmung vor?
Linksgekrümmt (konvex):
f“(x) > 0 → f linksgekrümmt (konvex) an der Stelle x
Der Graph ist bei konvex nach oben gekrümmt.
Wann liegt eine Rechtskrümmung vor?
Rechtsgekrümmt (konkav):
f“(x) < 0 → f rechtsgekrümmt (konkav) an der Stelle x
Der Graph ist bei konkav nach unten gekrümmt.
Definiere das Monotonieverhalten und erkläre wie man es bestimmt
Das Monotonieverhalten beschreibt, ob eine Funktion in einem Intervall steigt oder fällt.
Schritte:
1. Ableitung bilden:
• f'(x) berechnen.
2. Nullstellen bestimmen:
• f´(x) = 0 und die Gleichung lösen.
3. Vorzeichen prüfen:
• Vorzeichen von f´(x) in den Intervallen um die Nullstellen prüfen.
Wann ist ein Graph monoton steigend?
Wenn f'(x) > 0 in einem Intervall, dann ist die Funktion in diesem
Intervall streng monoton steigend.
Der Graph steigt in diesem Bereich.
Wann ist ein Graph monoton fallend?
Wenn f'(x) < 0 in einem Intervall, dann ist die Funktion in diesem
Intervall streng monoton fallend.
Der Graph fällt in diesem Bereich.
Was passiert mit dem Monotonieverhalten bei einem Extrempunkt?
Wenn f'(x) = 0 und das Vorzeichen von f'(x) wechselt, liegt ein Extrempunkt vor (Minimum oder Maximum).
Wie berechnet man Wendepunkte?
Bestimme die zweite und dritte Ableitung der Funktion f.
Setze die zweite Ableitung gleich 0, löse nach x auf:
f“(x) = 0 —> x0
Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein.
f´´´(x) ≠ 0
Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die ursprüngliche Funktion f(x) ein, erhalte Y-Wert der Wendestelle
f(x0) für WP
Art des Wendepunkts bestimmen:
Schaue dir dafür an, ob die dritte Ableitung an der Wendestelle positiv oder negativ ist.
Es gilt:
f“'(x) > 0: Die Kurve geht von rechts nach links. (Rechts-links-Wendepunkt)
f“'(x) < 0: Die Kurve geht von links nach rechts. (Links-rechts-Wendepunkt)
Definiere was ein Wendepunkt ist
Ein Wendepunkt ist der Punkt einer Funktion, an dem sich die Krümmung der Kurve ändert.
Was ist die hinreichende und notwendige Bedingung für eine Wendestelle/Wendepunkt?
Erste Bedingung notwendige Bedingung:
f´´(x) = 0
Hinreichende Bedingung:
f“'(x) ≠ 0
Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung:
Wenn f"(x) vor der Stelle Xw negativ und nach Xw positiv (oder umgekehrt), liegt ein Wendepunkt vor.
Was ist der Unterschied zwischen einer Sekante, Passante und Tangente?
Sekante:
Eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in mindestens zwei Punkten schneidet.
Tangente:
Eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in genau einem Punkt berührt und dort die gleiche Steigung wie der Graph hat.
Passante:
Eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in keinem Punkt schneidet.
Ergebnisinterpretation bei Extremstellen
—> Wann ist es ein lokales Maximum, lokales Minimum, Sattelstelle?
Hochpunkt (Maximum):
Der Punkt, an dem der Graph ein lokales Maximum hat.
Bedingung: f"(x) < 0.
Tiefpunkt (Minimum):
Der Punkt, an dem der Graph ein lokales Minimum hat.
Bedingung: f"(x) > 0.
Sattelpunkt:
Ein Punkt, an dem die Steigung wechselt, aber kein lokales Maximum oder Minimum vorliegt.
Bedingung: f'(x) = 0 und f"(x) = 0 ohne Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung.
Was ist eine Definitionslücke?
Eine Definitionslücke ist ein Wert von x, für den die Funktion nicht definiert ist.
Was ist eine Asymptote?
Eine Asymptote ist eine gerade Linie oder Kurve, der sich der Graph einer Funktion annähert, aber sie niemals erreicht.
Was ist eine einfache Nullstelle?
Eine Nullstelle x0 ist eine einfache Nullstelle, wenn der Funktionswert an dieser Stelle null ist und der Graph die x-Achse an diesem Punkt schneidet.
Was ist eine doppelte Nullstelle?
Eine Nullstelle x0 ist eine doppelte Nullstelle, wenn der Funktionswert an dieser Stelle null ist und der Graph die x-Achse an diesem Punkt berührt, ohne sie zu schneiden.
Was ist eine mehrfache Nullstelle?
Eine Nullstelle x0 ist eine mehrfache Nullstelle, wenn der Funktionswert an dieser Stelle null ist und der Graph die x-Achse mehrfach berührt oder schneidet.
Wie berechnet man die Extrempunkte?
1) Erste Ableitung berechnen:
f´(x)
2) Notwendige Bedingung:
(Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen)
f´(x) = 0
3) Zweite Ableitung berechnen:
4) Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen:
x0 in f´´(x) —> f´´(xo)
5)Hinreichende Bedingung
f´´(x0) ≠ 0
Wenn f´´(x) = 0 —> Keine Extremstelle!!
f´´(x) > 0 lokales Minimum (TP)
f´´(x) < 0 lokales Maximum (HP)
6) Y-Koordinate bestimmen:
Setze x0 in f(x) ein, um die y0 zu erhalten
Was ist das notwendige Kriterium einer Wendestelle?
Notwendiges Kriterium: f" (xw)= 0
Hinreichendes Kriterium: Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten
Wert der dritten Ableitung: f"(xw) # 0
Vorzeichen-Wechsel der zweiten Ableitung: Ist der Wert der zweiten Ableitung von f vor der Stelle xw positiv und nach xw negativ bzw. umgekehrt, so handelt es sich bei xw tatsächlich um eine Wendestelle
Erkläre was eine Polstelle ist
Unter einer Polstelle versteht man eine Definitionslücke einer Funktion f. Die Funktion hat an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote.
Eine Funktion hat eine Polstelle, wenn die Funktion für einen Wert von x einen ungültigen Wert annimmt.
Wie lautet die Potenzregel der Integration?
Die Formel der Potenzregel
Ist es eine Funktion ersten, zweiten, dritten oder vierten Grades?
Ist es eine Funktion ersten, zweiten oder dritten Grades?
Wie sieht die Funktion: f(x)=x aus?
Wie sieht der Funktionsgraph der Normalparabel aus?
Wie sieht der Funktionsgraph von f(x) = x hoch 3 aus?
Was ist die Ableitung von Sinus, Cosinus und der natürlichen Exponentialfunktion?
Was ist ein Hochpunkt einer Funktion?
Ein Hochpunkt einer Funktion ist eine Extremstelle, bei der die Funktion von steigend zu fallend wechselt. An dieser Stelle ist die erste Ableitung f´(x) gleich null und die zweite Ableitung
f´´(x) ist negativ.
Was ist ein Tiefpunkt einer Funktion?
Ein Tiefpunkt einer Funktion ist eine Extremstelle, bei der die Funktion von fallend zu steigend wechselt. An dieser Stelle ist die erste Ableitung f´(x) gleich null und die zweite Ableitung
f´´(x) ist positiv.
Was ist ein Sattelpunkt einer Funktion?
Ein Funktionsgraph hat einen Sattelpunkt/Terrassenpunkt, wenn:
An der einen Stelle gleichzeitig einen Wendepunkt und eine waagerechte Tangente besitzt
Die Funktion hat dabei eine Steigung von 0
Der Graph fällt (oder steigt) sowohl davor als auch danach
Notwendige Bedinung:
f´(x) =0
f´´(x) =0
f´´´(x) ≠
Was bedeutet das Pluszeichen (+) im Kontext der Funktion und ihrer Ableitungen?
Pluszeichen (+) bedeutet, dass die Funktion/Ableitung positiv ist.
Beispiel: f´(x) > 0 , dann ist f(x) steigend.
Was bedeutet das Minuszeichen (-) im Kontext der Funktion und ihrer Ableitungen?
Minuszeichen (-) bedeutet, dass die Funktion/Ableitung negativ ist.
Beispiel, wenn f´(x) < 0 , dann ist f(x) fallend.
Was bedeutet es, wenn f´´(x) > 0 ?
Wenn f´´(x) > 0 , dann ist die Funktion f(x)
linksgekrümmt (konvex) an der Stelle x
Es kann sich um einen Tiefpunkt handeln, wenn f´(x) = 0 .
Was bedeutet es, wenn f´´(x) < 0 ?
Wenn f´´(x) < 0 , dann ist die Funktion f(x) an dieser Stelle
f rechtsgekrümmt (konkav) an der Stelle x
Es kann sich um einen Hochpunkt handeln, wenn f´(x) = 0 .
Was bedeutet es, wenn f´´(x) = 0 ?
Wenn f´´(x) = 0
Könnte es sich um einen Wendepunkt handeln, aber es muss weiter überprüft werden, ob die dritte Ableitung f´´´(x) nicht gleich null ist, um sicher zu sein.
Zeichne die Ableitungsfunktion der Funktion:
Lösung:
Der Graph hat bei W(1/2) einen Wendepunkt. Die Wendepunkte besitzen eine Steigung von -0.5. Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f´´(1)=0 und f´´´(1) ≠0
Der Graph hat bei S(1/3) einen Sattelpunkt. Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f(1) = 3
f´(1) = 0
f´´(1) = 0
Der Graph hat bei T(-1/3) einen Tiefpunkt. Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f(-1) = 3
f´(-1) = 0
f´´(-1) > 0
Der Graph hat bei H(1/2) einen Hochpunkt. Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f(1) = 2
f´´(1) < 0
Der Graph berührt die x-Achse in P(4/0) . Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f(4) = 0
f´(4) = 0
An der Stelle x = 2 hat die Tangente die Steigung 3. Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f´(2)=3
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
Es existieren nur ungerade Exponenten.
Bei P(3/1) liegt eine horizontale Tangente an. Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f(3)=1
f´(3)=0
x = -2 ist Nullstelle. Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f(-2)=0
Der Graph geht durch den Ursprung. Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f(0)=0
Der y-Achsenabschnitt liegt bei P(0/2) . Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f(0)=2
Der Punkt P(1/3) liegt auf dem Funktionsgraphen. Wie lautet die mathematisierte Bedingung?
f(1)=3
Was ist die Ableitung von sin(x) ?
Die Ableitung von sin(x) ist cos(x) .
Was ist die Ableitung von cos(x) ?
Die Ableitung von cos(x) ist -sin(x)
Was ist das Integral von sin(x) ?
Das Integral von sin(x) ist -cos(x) + C , C ist Element aller Reelen Zahlen.
Was ist das Integral von cos(x) ?
Das Integral von cos(x) ist sin(x) + C, C ist Element aller Reelen Zahlen.
Was ist die Ableitung von ln(x) ?
Die Ableitung von ln(x) ist 1 durch x
Wie spricht man das aus?
Der Limes von x2 für x gegen minus unendlich ist gleich plus unendlich.
Der Limes von x2 für x gegen plus unendlich ist gleich plus unendlich.
Wie bestimmt man den
Grenzwert - kurz & knapp?
Um einen Grenzwert zu bestimmen, gehst du so vor:
Prüfe, ob du den Grenzwert gegen unendlich oder gegen eine Zahl (z.B. 2) suchst.
Erstelle eine Wertetabelle mit großen x-Werten (z.B. 1.000.000) oder x-Werten nah an der Zahl (z.B. 2,001).
Ließ den Grenzwert an den y-Werten ab.
Was ist ein linksseitiger Grenzwert?
Der linksseitige Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a
beschreibt den Wert, dem f(x)
immer näher kommt, wenn x sich a von links nähert.
Mathematisch ausgedrückt:
Was ist ein beidseitiger Grenzwert?
Der beidseitige Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a existiert, wenn die Funktion sowohl von links als auch von rechts gegen denselben Wert konvergiert, wenn x sich a nähert.
Sowohl linksseitige als auch rechtsseitige Grenzwert existieren
Was ist ein rechtsseitiger Grenzwert?
Der rechtsseitige Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a beschreibt den Wert, dem f(x) immer näher kommt, wenn x sich a von rechts nähert.
Woran erkennt man bei einem Wendepunkt ob sich die Krümmung ändert?
Wenn f"(x) vor Wendepunkt von - zu + Vorzeichen wechselt
—> Wechselt die Krümmung von rechtsgekrümmt (konkav) zu linksgekrümmt (konvex)
Wenn f"(x) vor Wendepunkt von + zu - Vorzeichen wechselt
—> Wechselt die Krümmung von linksgekrümmt (konvex) zu rechtsgekrümmt (konkav)
Was sind die Eigenschaften einer Funktion 4. Grades?
Allgemeine Form:
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e
Nullstellen: Bis zu 4
Extremstellen: Bis zu 3
Wendepunkte: Bis zu 2
Graph: W-förmiger Verlauf oder umgekehrt
Was sind die Eigenschaften einer Funktion 3. Grades?
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Nullstellen: Bis zu 3
Extremstellen: Bis zu 2
Wendepunkte: 1
Graph: S-förmiger Verlauf
Was sind die Eigenschaften einer Funktion 2. Grades?
f(x) = ax^2 + bx + c
Nullstellen: Bis zu 2
Extremstellen: 1 (Maximum oder Minimum)
Wendepunkte: 0
Graph: Parabel
Was sind die Eigenschaften einer Funktion 1. Grades?
f(x) = ax + b
Nullstellen: 1 (falls a ≠ 0)
Extremstellen: 0
Graph: Gerade Linie
Wie verhält sich das Globalverhalten einer Funktion mit geradem Exponenten?
Vorzeichen des Vorfaktors:
Positiv:
x —> ∞: y —> ∞
x —> - ∞: y —> ∞
Negativ:
x —> ∞: y —> - ∞
x —> - ∞: y —> - ∞
Wie verhält sich das Globalverhalten einer Funktion mit ungeradem Exponenten?
Vorzeichen des Vorfaktors
Welche Rolle spielt der Funktionsgrad beim Globalverhalten einer Funktion?
Gerader Funktionsgrad:
Symmetrisch um die y-Achse, beide Enden des Graphen gehen in dieselbe Richtung.
Ungerader Funktionsgrad:
Symmetrisch um den Ursprung, die Enden des Graphen gehen in entgegengesetzte Richtungen.
Wie beeinflusst das Vorzeichen des Vorfaktors das Globalverhalten einer Funktion?
Positiver Vorfaktor:
Gerader Funktionsgrad: Beide Enden des Graphen gehen nach oben.
Ungerader Funktionsgrad: Links nach unten, rechts nach oben.
Negativer Vorfaktor:
Gerader Funktionsgrad: Beide Enden des Graphen gehen nach unten.
Ungerader Funktionsgrad: Links nach oben, rechts nach unten
Was definiert das Globalverhalten einer Funktion?
Globalverhalten beschreibt das Verhalten der Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte (x—> ∞ oder x —> -∞)
Funktionsgrad:
Bestimmt die allgemeine Form und Symmetrie des Graphen.
Beeinflusst die Richtung der y-Werte (nach oben oder unten).
Wie berechnet man den Sattelpunkt?
Schritt 1:
f´(x), f´´(x) und f´´(x) berechnen
Schritt 2:
f´´(x) =0 und nach x0 auflösen
Schritt 3:
x0 in f´´´(x) einsetzen —> Wenn f´´´(x0) ≠0 dann Wendestelle
Schritt 4:
x0 in f´(x) einsetzen —> Wenn f´(x0)=0 dann Sattelpunkt
Schritt 5:
x-Werte in f(x) einsetzen, um die y-Koordinaten zu bestimmen
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