Vl 6: Zufall, Wahrscheinlichkeit und Verteilungen

• Inferenzstatistik: Grundkenntnisse über Zufall, Wahrscheinlichkeit und Verteilungen

• Inferenz = Verallgemeinerung von Stichprobenkennwerten auf die Population-> Mit welcher Sicherheit (confidence) können wir diese Verallgemeinerung auf Basis einer Stichprobe treffen?

• Verzerrte Stichprobe liefern nicht zutreffende Ergebnisse für die Grundgesamtheit!

• “Systematischer" Zufall zur Gewinnung einer repräsentativen Stichprobe

• Verschiedene Stichproben = verschiedene Kennwerte,

Ist Stichprobenvariablilität ein Problem?

• dank des Zufalls gibt es keine systematische Verzerrung

• Aber wir müssen davon ausgehen, dass unsere Ergebnisse andere sind als in einer anderen Stichprbe

Lösung: Der systematische Zufallsvorgang erlaubt es, Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Kennwerte anzugeben

• eine Zufallsvariablenimmt den Wert an, die das Ergebnis eines zufälligen Ereignisses sind, idr werden sie mit Großbuchstaben bezeichnet zb X. Ein bestimmter Wert einer Zufallsvariablen wird mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet (zb x)

• Es gibt zwei Arten von Zufallsvariablen:

  1. Diskrete Zufallsvariabeln: können eines von einer abzählbaren Anzahl von unterschiedlichen Ereignissen annehmen (bsp Würfelexperiment)

  2. Kontinuierliche Zufallsvariablen können einen beliebigen Wert in einem bestimmten Intervall annehmen (bsp menschliche Körpergröße)

• Wahrscheinlichkeiten von diskreten und kontinuierlichen Zufallsvariablen: Alle Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten nennen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable.

• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist seine langfristige (n ®¥) relative Häufigkeit

• "Relative Häufigkeiten „stabilisieren“ sich bei „vielen“ Wiederholungen"

• Praktische Implikation des Gesetz der großen Zahlen: "Qualitativ hochwertige Stichproben mit ausreichender Fallzahl sind ein gutes Abbild der Grundgesamtheit."

• Das Gesetz der großen Zahlen bedeutet jedoch nicht, dass wir aus den Ergebnissen der Vergangenheit auf zukünftige Ergebnisse schließen können!

• Es gibt keinen kurzfristigen Ausgleich für frühere Abweichungen vom erwarteten Muster. Selbst wenn wir 999 Mal hintereinander Lotto gespielt und nichts gewonnen haben, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit der "richtigen Zahlen" in der folgenden Woche nicht! Der Gewinn ist nicht "fällig"

• Wenn Sie jedoch tatsächlich unendlich lange spielen, wird Ihr Gewinn mit Sicherheit eintreten (P=1)

• 68-95-99,7 Regel: Die Flächen unter der Normalverteilungeine, zwei, bzw. dreiStandardabweichungen nach links und rechts vom Mittelwert umfassen circa 68, 95 und 99,7 Prozent der Gesamtfläche unter der Normalverteilung.

• Normalverteilung: Eine nützliche, symmetrische, glockenförmige Wahrscheinlichkeitsfunktion, die durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung eindeutig definiert ist.

• jede Normalverteilung N(𝛍,σ2)lässt sich eine Standardnormalverteilung (N(0,1) transformieren