7. Zufall, Wahrscheinlichkeit und Verteilungen

Abbildung:

Tabelle:

• Verzerrte Stichproben liefern nicht zutreffende Ergebnisse für die Grundgesamtheit

• "Systematischer" Zufall zur Gewinnung einer repräsentativen Stichprobe:

• Alle haben die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden

• Ziehung erfolgt nach einer ganz bestimmten Vorschrift

• Keine Person oder Teilgruppe mit spezifischen Merkmalen wird systematisch ausgeschlossen

• Fehlerquellen (auch bei unverzerrten Stichproben)

• z.B. Nicht-Teilnahme, fehlende Antwortbereitschaft, ungeeignete Fragen, fehlerhafte Registerdaten (= Wahlen, Einkommensfrage, politische Einstellung)

• "Kehrseite" des Zufalls: Verschiedene Stichproben liefern verschiedene Kennwerte

• Eine Zufällige Auswahl der Teilnehmer unserer Studie ist wichtig

• Zufall : Alle haben die gleiche Chance gezogen zu werden und Ziehung läuft immer gleich (nach bestimmten Regeln ab). Führt zu angebbaren Wahrscheinlichkeiten

• Niemand wird systematisch ausgeschlossen

• Willkür: Bestimmte Leute haben bessere Chancen in unserer Stichprobe zu landen als andere (Beispiel : Internetbefragung)

• Wenn jeder die gleiche Chance hat dann werden sich unsere Stichproben mehr oder weniger unterscheiden (mal hatten vielleicht mehr Frauen, mal mehr Männer das “Glück“ in der Stichprobe zu landen

• Manchmal werden für gleich Verteilungen Quoten vorgegeben. Das ist aber nicht unbedingt nötig

• Daher wird jede Stichprobe zu einem unterschiedlichen Stichprobenkennwert kommen

Abbildung:

Jein ...

• Dank des Zufalls gibt es keine systematische Verzerrung

• Aber wir müssen davon ausgehen, dass unsere Ergebnisse (zufällig) andere sind als in einer anderen Stichprobe

• Der systematische Zufallsvorgang erlaubt es, Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Kennwerte anzugeben (nächste Woche: Konfidenzintervall)

  = wahrer Wert liegt in diesem Bereich

Eine Zufallsvariable nimmt die Werte an, die das Ergebnis eines zufälligen Ereignisses sind.

• i.d.R. werden sie mit Großbuchstaben bezeichnet, z.B. X

• Ein bestimmter Wert einer Zufallsvariablen wird mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet, in diesem Fall x.

• Diskrete Zufallsvariablen:

Können eines von einer abzählbaren Anzahl von unterschiedlichen Ergebnissen annehmen (z.B. 1,2,3,4,5,6 bei Würfelexperiment)

• Kontinuierliche Zufallsvariablen:

Können einen beliebigen numerischen Wert annehmen (z.B. menschliche Körpergröße)

Abbildung:

Da sie unendlich viele beliebige Werte annehmen können, tendiert die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Wertes gegen 0

Wahrscheinlichkeitsfunktion aka Dichtefunktion f(x)

Wahrscheinlichkeiten müssen über die Ausrechnung von Integralen bestimmt werden

Verteilungsfunktion F(x) = P(X <_ x)

—> Fläche unter der Dichtefunktion von - ♾️ bis x

Abbildung:

Es gilt außerdem: Abbildung

Abbildung (große)

• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist seine langfristige (n∞) relative Häufigkeit

• Relative Häufigkeiten "stabilisieren" sich bei "vielen" Wiederholungen

• Gilt für alle Zufallsprozesse

pn(a) = P(A) für n —> ♾️

Abbildung:

• "Qualitativ hochwertige Stichproben mit ausreichender Fallzahl sind ein gutes Abbild der Grundgesamtheit."

Aber:

• Wir können nicht aus den Ergebnissen der Vergangenheit auf zukünftige Ergebnisse schließen

• Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse bleiben immer gleich

• Beispiel: Lottogewinn wird nicht "fällig”

Dank des Law of Large Numbers können wir sagen:

• Qualitative gute Stichproben liefern ein gutes Abbild der Grundgesamtheit

• Eine gewisse Fehlertoleranz (1-3 Prozentpunkte) ist aber immer dabei

• Die Größe der Grundgesamtheit ist bei einer guten Stichprobe irrelevan

• ABER : All das gilt nur wenn unsere Stichprobe gut ist (ausreichend groß, zufällige Ziehung und keine Fehler)

• Praktisch kommt es oft zu Fehlern zum Beispiel wegen sogenannter “sozialer Erwünschtheit“, oder anderen technischen/praktischen Problemen

= Online Befragung / soziale Erwünschtheit; Probleme der Befragungen

Methoden waren richtig & gut = Stichproben falsch gewählt & soziale Erwünschtheit (“Trump zu wählen”)

Abbildung Karte U.S:

• Praktische Implikation des Gesetz der großen Zahlen: "Qualitativ hochwertige Stichproben mit ausreichender Fallzahl sind ein gutes Abbild der Grundgesamtheit."

• Mi tSchwankungen von 1 bis 3 Prozentpunkten war die Umfrage 10 Tage vor der Bundestagswahl eine sehr gute Hochrechnung

• Aber: Auch wenn die Stichprobenqualität hoch ist, können Umfragen Fehleinschätzungen liefern, z.B. wegen sozialer Erwünschtheit und anderen Antwortfehlern à eigenes Forschungsgeiet der Sozialwissenschafte

Abbildung:

• Das Gesetz der großen Zahlen bedeutet jedoch nicht, dass wir aus den Ergebnissen der Vergangenheit auf zukünftige Ergebnisse schließen können!

• Es gibt keinen kurzfristigen Ausgleich für frühere Abweichungen vom erwarteten Muster. Selbst wenn wir 999 Mal hintereinander Lotto gespielt und nichts gewonnen haben, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit der "richtigen Zahlen" in der folgenden Woche nicht! Der Gewinn ist nicht "fällig"

• Wenn Sie jedoch tatsächlich unendlich lange spielen, wird Ihr Gewinn mit Sicherheit eintreten (P=1)

Abbildung:

Abbildung:

Abbildung:

—>

-1,11 Standardabweichungen vom Durchschnitt der Körpergröße der Frauen

Abbildung:

Abbildungen:

Abbildung:

Abbildung:

Ja, wenn man gewisse Unsicherheit in Kauf nimmt (Schwankungsbreite aka Fehlertoleranz)

Abboldung:

WIe berechnen wir Schwankungsbreite / Fehlertoleranz?

Wovon hängt dese ab?

• Was würden Sie tun, um eine Stichprobe von n= 100 WiSo-Studierende des ersten Studienjahrs zu befragen?

• Mögliches Vorgehen

• Hinweis auf die Studie auf der WiSo-Website?

  Vermutlich verzerrt, wenn nur die besonders interessierte, meinungsfreudige und/oder gelangweilt-surfende Studierenden teilnehmen

• BefragungvonFreund:innenoderderheuteanwesendenStatistik1–Teilnehmer:innen? Vermutlich verzerrt, da ihr Freundeskreis oder die heute Anwesenden nicht alle Gruppen von Studierenden abdecken

• VerwendungderListedessowi-baNewsletters?

  Vermutlich verzerrt, da erneut bestimmte Teilgruppen nicht erfasst sind

  
  

• Verzerrte Stichprobe liefern nicht zutreffende Ergebnisse für die Grundgesamtheit!

• SEHR häufig: Ergebnisse von verzerrten Stichproben in Medienberichten!!

= oftmals Problem!

• Das Studierendensekretariat führt eine Liste aller Studierenden

• Angenommen, Ihnen sei der Zugang zu den vollständigen Daten verwehrt, Sie können jedoch Angaben von 100 Personen erhalten

• "Systematischer" Zufall zur Gewinnung einer repräsentativen Stichprobe

Video-Tipp: Zufall und Zufallsvariablen

https://www.youtube.com/watch?v=DoHTsDrzAQk

• Zufallsstichprobe mit Hilfe eines systematischen Zufallsvorgangs

• Alle haben die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden z.B. eingeschriebene Studierenden lt Studierendensekretariat

• Ziehung erfolgt nach einer ganz bestimmten Vorschrift z.B. jede 5. Person auf der Liste

—> keine Personen oder Teilgruppe mit spezifischen Merkmalen wird systematisch ausgeschlossen

Videotipp: https://www.youtube.com/watch?v=701RLEqLpcU

• Auch die Ergebnisse von unverzerrten Stichproben können fehlerhaft sein.

• Zum Beispiel bei Umfragen

• Nicht-Teilnahme (aka Unit-Nonresponse), z. B. vielbeschäftigte Manager

• fehlende Antwortbereitschaft (aka Item-Nonresponse), z.B. Einkommen, Alkoholkonsum

• Ungeeignete Fragen, z. B. altmodische Messung von Geschlechterrollen

• Andere Daten wie Registerdaten, Webdaten, ... können andere praktische Probleme haben, z. B. erfassen die Registerdaten der Bundesagentur für Arbeit zum Einkommen keine Beamten und Selbstständigen

• Populations-Parameter:„wahrer“WertinderGesamtpopulation/Grundgesamtheit(unbekannt!)

• Schätzer: geschätzter Wert des Populationsparameters an hand einer Stichprobe

• Normalverteilung: Einenützliche, symmetrische, glockenförmige Wahrscheinlichkeitsfunktion, die durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung eindeutig definiert ist.

• 68-95 99,7 Regel: Die Flächen unter der Normalverteilung eine, zwei, bzw. drei Standardabweichungen nach links und rechts vom Mittelwert umfassen circa 68, 95 und 99,7 Prozent der Gesamtfläche unter der Normalverteilung.

• Standardnormalverteilung: JedeN ormalverteilung N(𝛍,σ2) lässt sich eine Standardnormalverteilung (N(0,1) transformieren

Hintergründe zum ARD-Deutschlandtrend

• https://www.youtube.com/watch?v=Ua13pCXX81k

Zufall und Zufallsvariablen

• https://www.youtube.com/watch?v=DoHTsDrzAQk

• https://seeing-theory.brown.edu/basic-probability/index.html

Normalverteilung

• https://www.youtube.com/watch?v=JHQB5lmo0XQ • https://www.youtube.com/watch?v=_f1vgWUiavY • https://studyflix.de/statistik/normalverteilung-1089