Was ist eine Stammfunktion?
eine Stammfunktion F gilt F’ (x) = f(x)
eine Stammfunktion ist eine aufgeleitete Funktion
Welche Ableitungsregeln gibt es?
Potenzregel:
f(x) = x^r => f’(x) = r * x^r-1
Faktorregel:
f(x) = k* g(x) => f(x) = k*g’(x)
Summenregel:
f(x) = g(x) + h(x) => g’(x) + h’(x)
Produktregel:
f(x) = u(x) * v(x) => f’(x) = u’(x) * v(x) + u(x) * v’(x)
Kettenregel:
f(x) = g(ax + b) => f’(x) = a * g’(ax + b)
Was sind hinreichende Bedingungen für Extrempunkte?
f’(x) = 0
f’’(x) ≠ 0
wenn f’’(x) < 0 Hochpunkt
wenn f’’(x) > 0 Tiefpunkt
Was sind hinreichende Bedingungen für einen Wendepunkt?
f’’(x) = 0
f’’’(x) ≠ 0
Was sind hinreichende Bedingungen für einen Sattelpunkt?
Wie ist eine Exponentiale natürliche Funktion allgemein strukturiert (exponentiales Wachstum)?
f(x) = e^x
allgemeine Gleichung: f(t) = a*e^k*t
a = f(0) ist der Anfangsbestand zum Zeitpunkt t=0
k ist die Wachstumskonstante
k > 0 => exponentielle Zunahme
k < 0 => exponentielle Abnahme
Wie kann man die Wachstumsgeschwindigkeit darstellen und ablesen?
f(t) = a*e^k*t ist die allgemeine Form einer exponentieller Funktion
f’(t) ist die Wachstumsgeschwindigkeit
f’(t) = a * k * e ^ k * t = k * f(t)
Was ist beschränktes Wachstum?
f(t) = S- (S - a) e ^ -k * t mit k > 0
der Graph f nährt sich asymptotisch einer Grenze S an
a > S begrenzte Abnahme
a < S begrenzte Zunahme
Wie ist eine Exponenzielle Funktion zusammengesetzt?
f(t) -> Funktion/ Wert abhängig von der Zeit t
f(t) = a * b ^ t
a = Startwert zu Beginn des Beobachtungszeitraums
b = die Wachstumskonstante, um wie viel der Anfangswert pro Zeiteinheit wächst
t = die Zeit die Verstreicht
Welche Potenzgesetze gibt es?
Multiplikation: a^n * a^m = a^n+m
Division: a^n / a^m = a^n-m
Potenzen von Potenzen: (a^n)^m = a^n*m
Multiplikation bei unterschiedlicher Basis: a^n * b^n = (a*b)^n
Division bei unterschiedlicher Basis: a^n / b^n = (a/b)^n
Was ist die Verdopplungs- und die Halbwertszeit?
die Verdopplungszeit ist der Zeitraum, in dem sich die Größe verdoppelt hat
Tverdopplung = ln(2) / k
Halbwertszeit ist der Zeitraum, in dem sich der Anfangswert halbiert
T halbiert = ln 0,5 / k
Was ist das Integral und wie wird es berechnet?
Das Integral ist die Summe aller orientierten Flächeninhalte
überhalb der x- Achse sind positiv orientiert unterhalb der x- Achse negativ orientiert
F(a) - F(b) ist dann das Integral
Wie berechnet man die Obersumme, Untersumme und die eingeschlossene Fläche einer Funktion?
Fläche
nicht Integral, da dabei negativ Orientierte Flächen abgezogen werden
Nullstellen bestimmen
Betrag der Integrale zwischen den jeweiligen zwei Nullstellen
zusammenrechnen
Obersumme
gleich wie Fläche, nur für die Oberhalb der x-Achse
Untersumme
Gegenteil von Obersumme
Wann ist ein Graph Achsensymetrisch und wann Punktsymmetrisch?
Wenn alle Exponenten der Funktion gerade sind, ist sie Achsensymmetrisch
Wenn f(x) = f(-x) ist sie sogar achsensymetrisch zur y-Achse
Wenn f(x) = -f(-x) ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung
ansonsten einfach schreiben es ist keine Punktsymmetrie erkennbar
Wie bestimmt man den Globalverlauf einer Funktion?
Verhalten für betragsgroße X
Quadranten gegen den Uhrzeigersinn beschriftet
größter Exponent ist ausschlaggebend
gerader Exponent durch 2. und 1. Quadranten oder 3. und 4.
ungerader Exponent durch 2. und 4. oder 3. und 1.
Wie funktioniert in Logarithmus und wofür wird er benötigt? Welche drei Logarithmusgesetze gibt es?
Wird benötigt um eine Funktion zu lösen, bei der die Variable in der Potenz steht
Wie bestimmt man Nullstellen?
Schnittpunkte mit der x-Achse
Funktion gleich 0 setzen und dann durch Äquivalenz Umformung
Quadratische Ergänzung zu einer binomischen Formel
Wie bestimmt man eine Tangente?
Wie und warum potenziert man zur Basis e?
Wie bestimmt man eine Normale?
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