3. KLASSISCHE DYNAMISCHE VERFAHRENDER INVESTITIONSRECHNUNG

3.1 Gemeinsamkeiten und Prämissen der klassischen dynamischen Verfahren

= es lassen sich einige Ungenauigkeiten vermeiden (die bei den statischen Investitionsrechenverfahren auftreten)

• keine periodisierten Erfolgsgrößen werden verwendet, sondern verursachte Zahlungsströme

• keine Periodendurchschnitte, sondern zeitliche Unterschiede werden über den gesamten Planungszeitraum berücksichtigt

→wesentlich aussagekräftiger, aber auch rechentechnisch um einiges aufwendiger als die statischen Verfahren

Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes

( = Modell zur vereinfachten Abbildung der Realität, das von folgendem ausgeht):

• alle Marktteilnehmenden handeln rational

• es bestehen weder auf Seiten der Anbietenden noch auf Seiten der Nachfragenden Präferenzen

• vollkommen transparenter Markt und keine anfallenden Transaktionskosten

• es gibt einen einheitlichen Zinssatz für Eigen- und Fremdkapital

• finanzielle Mittel können jederzeit in beliebiger Höhe aufgenommen oder angelegt werden

Die klassischen dynamischen Investitionsrechenverfahren weisen die folgenden Besonderheiten und Gemeinsamkeiten auf:

• Zahlungsgrößen und Zahlungszeitpunkt

  • = es wird davon ausgegangen, dass alle Zahlungen immer am Ende einer Periode getätigt werden. Somit ist der Abstand zwischen den einzelnen Zahlungsgrößen immer gleich groß und unterjährige Zinseffekte müssen nicht berücksichtigt werden

• Bezugszeitpunkt

  • =( Der Bezugszeitpunkt ist der Zeitpunkt, auf den alle Zahlungen abgezinst werden, um sie vergleichbar zu machen →der Beginn des Planungszeitraums wird als Bezugszeitpunkt festgelegt. das heißt, alle Zahlungsgrößen werden auf den Zeitpunkt t = 0 diskontiert)

• Kalkulationszinssatz

  • (= nach diesem erfolgt die Diskontierung (finanzmathematische Operation, bei der eine Zahlung auf einen bestimmten Zeitpunkt abgezinst wird) ; es wird unterstellt, dass dieser konstant bleibt; spiegelt die gewünschte Mindestverzinsung des Investors wider)

Es gibt vier unterschiedliche Rechenverfahren:

• die Kapitalwertmethode,

• die Annuitätenmethode,

• die interne Zinsfußmethode und

• die dynamische Amortisationsdauerrechnung

Diskontierung

inanzmathematische Operation, mit deren Hilfe der Wert eines zukünftigen Geldbetrags aus heutiger Sicht ermittelt werden kann.

Beispiel:

Aufgabe: Ein Investitionsobjekt hat eine Nutzungsdauer von fünf Jahren. Die Anschaffungsauszahlung (Ao) betragt

100.000 Euro und fällt im Zeitpunkt t = 0 an. Während der fünfjährigen Nutzungsdauer resultieren aus der Investition

voraussichtlich Einzahlungsüberschüsse .i H. v. 25.000 Euro pro Jahr. Es wird ein Kalkulationszinssatz .i H. v. 5 % p. a. unterstellt. Gesucht wird der Wert zum Zeitpunkt t= 0.

Lösung: Dazu muss jede einzelne Zahlung der Jahre t = 1 bis t = 5 auf diesen Zeitpunkt abgezinst werden, indem die jeweilige Zahlung mit dem Abzinsungsfaktor verrechnet wird.

Rechnung: -100.000 + 25.000 • 1,05-1 + 25.000 • 1,05-2 + 25.000 • 1,05-3 + 25.000 • 1,05-4 = 8236,92€

> wenn EZU identisch sind, kann auch der Rentenbarwertfaktor (RBF) verwendet werden=( kumulierter Zinsfaktor)

 3.2 Kapitalwertmethode

= Basisverfahren der klassischen dynamischen Investitionsrechnung. Alle anderen Verfahren bauen hierauf auf

(Kapitalwert (Co) = der Barwert;

• Der Kapitalwert Co gibt an, welchen Vermögenszuwachs Investor:innen, bezogen auf den Zeitpunkt t= 0, bei Durchführung der Investition über die Tilgung der Anschaf-fungsauszahlung und über die Verzinsung des eingesetzten Kapitals zum Kalkula-tionszinssatz i hinaus erzielen.

• Er gibt an, um wie viel das Vermögen von Investorinnen insgesamt steigt, wenn man unterstellt, dass aus den Rückflüssen die Anschaffungskosten und die Verzinsung dieser gedeckt wird)

Ziel = Vermögensmaximierung

(positiver Kapitalwert → absolut vorteilhaft)

Ao = Anschaffungsauszahlung (#Anschaffungskosten)

Ln = Liquidationserlös (Restverkaufserlös) kann auch negativ sein

n = Laufzeit

t = Periode

i = Kalkulationszinssatz

Voraussetzungen für die Kapitalwertmethode:

• Zum Entscheidungszeitpunkt ist die Nutzungsdauer (n) der einzelnen Investitionsalternativen bekannt.

• Die aus den einzelnen Investitionsalternativen resultierenden Einzahlungsüberschüsse können mit Sicherheit prognostiziert werden.

• Alle Zahlungen fallen nachschüssig an und sind somit äquidistant=( alle Zahlungen gleich weit voneinander entfernt)

• Für die Investor:innen liegt ein vollkommener und unbeschränkter Kapitalmarkt vor, auf dem jederzeit Kapital in beliebiger Höhe zum Kalkulationszinssatz (i) aufgenommen oder angelegt werden kann

• Die erwirtschafteten Einzahlungsüberschüsse werden entweder direkt dazu verwendet, die Anschaffungsauszahlung zu tilgen und zu verzinsen oder können zum gleichen Zinssatz wieder angelegt werden (= Wiederanlageprämisse=( Gelder können jederzeit zu iwieder angelegt werden))

Vorteile

• einfache und aussagekräftige Beurteilung

Nachteile

• einheitlichen Zinssatz entspricht nicht der Realität

• Unterstellung, dass jederzeit beliebig hohe Geldbeträge aufgenommen oder angelegt werden können, entspricht ebenfalls nicht der Realität

Die Nutzungsdauer der Maschine Abeträgt sieben Jahre,die der beiden anderen Maschinen acht Jahre. Da das Unternehmen nicht über ausreichende eigene finanzielle Mittel verfügt, soll die Investition vollständig  über einen Bankkredit finanziert werden, zu einem Zinssatz i. H. v. 3,75 % p. a. und mit einer Laufzeit von sechs Jahren. Der Kalkulationszinssatz wird daher ebenfalls auf 3,75 % p. a. festgelegt.

• C0A = 71.930,32 €,

• C0B = 36.405,35 €,

Lösung:

Maschinen A und B erwirtschaften jeweils einen positiven Kapitalwert und führen somit zu einem Vermögenszuwachs → beide Maschinen absolut vorteilhaft. Der Kapitalwert der Maschine C ist negativ, weshalb diese nicht absolut vorteilhaft ist und in einer relativen Vorteilhaftigkeitsbetrachtung keine Rolle mehr spielt.

= baut direkt auf der Kapitalwertmethode auf und stellt lediglich eine Variante dieser da

→Ziel: Einkommensmaximierung, es geht um den Periodenerfolg (nicht den Totalerfolg) (Annuität = der Betrag, der regelmäßig entnommen werden kann, ohne die Tilgung der Anschaffungsauszahlung und die Verzinsung des eingesetzten Kapitals zu gefährden)

Die Annuität (Gn) wird direkt aus dem Kapitalwert ermittelt (mithilfe des sog. Kapitalwiedergewinnungsfaktors (KWF) (= Annuitätenfaktor))

KWF ist stets positiv →bei gleichen Nutzungsdauern kommen die Kapitalwertmethode und die Annuitätenmethode stets zur gleichen Vorteilhaftigkeitsentscheidung &bei unterschiedlichen Nutzungsdauern muss hingegen darauf geachtet werden, dass alle betrachteten Investitionsalternativen mit dem gleichen KWF gewichtet werden (absolut vorteilhaft, wenn Annuität positiv ist)

Vorteile

• aussagekräftiger und anschaulicher

Nachteile

• nicht immer ökonomisch sinnvoll interpretiert werden kann

• aufwendiger in der Ermittlung

• Gefahr von Fehlentscheidungen (durch fehlenden Angleichung unterschiedlicher Nutzungsdauern)

Beispiel:

Die Inhaberin der Head over Heels OHG möchte wissen, welchen Betrag sie in jedem Jahr aus den Rückflüssen der Investition

entnehmen könnte, ohne dass sich dadurch etwas an der Vorteilhaftigkeit ändert. Das heißt, neben der angestrebten Vermögensmaximierung möchte das Unternehmen zudem wissen, welche der Maschinen zu einer Einkommensmaximierung führen kann. Daher wird ein Vorteilhaftigkeitsvergleich mithilfe der Annuitätenmethode vorgenommen.

Lösung: Um die Annuität zu ermitteln, müssen nun die Kapitalwerte mit dem KWF multipliziert werden. Die Nutzungsdauer muss angepasst werden, dies ist bei der Annuitätenmethode von Bedeutung, da der Kapitalwert aller Investitionsmöglichkeiten auf die gleiche Nutzungsdauer umgelegt werden muss →alle bekommen eine Nutzungsdauer von 8 Jahren.

3.4 Interne Zinsfußmethode

= zu welchem Prozentsatz verzinst sich das in einem Investitionsprojekt gebundene Kapital (Zinssatz ist nicht geg. Sondern wird gesucht)

→Der interne Zinsfuß ist also der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert exakt Null beträgt (ist er größer als der Kalkulationszinssatz, so ist ein Investitionsobjekt absolut betrachtet vorteilhaft )

-> Prämissen stimmen im Wesentlichen mit denen der Kapitalwertmethode überein.

-> Wiederanlageprämisse der beiden Methoden unterscheidet

→Ziel: Renditemaximierung (relative Vorteilhaftigkeit kann sich von der absoluten unterscheiden)

Die Ermittlung des internen Zinsfußes kann grundsätzlich mithilfe der

• grafischen Methode,

• der rechnerischen Methode oder

• der arithmetischen Methode erfolgen.

• einfachste, zugleich aber auch die ungenauste Methode

• Bereich festgelegt, in dem der interne Zinsfuß liegt (z. B. zwischen 3 % und 4 %).

BSP

Angenommen ein Unternehmen möchte eine Maschine erwerben, die für 100.000 Euro angeschafft werden soll. In den folgenden fünf Jahren wird diese Investition während der Nutzungsdauer Einzahlungsüberschüsse .i H. v. 25.000 Euro pro Jahr erwirtschaften. Der Kalkulationszinssatz beträgt 5% p. a. Ausgehend von diesen Informationen werden nun Kapitalwerte für unterschiedliche Zinssätze ermittelt, indem diese ni die Kapitalwertgleichung eingesetzt werden, wobei aufgrund der uniformen Einzahlungsüberschüsse der Rentenbarwertfaktor verwendet:

Es zeigt sich, dass der Kapitalwert für diese Zahlungsreihe bei einem Zinssatz i. H. v. 7 % noch positiv und bei einem Zinssatz i. H. v. 8 % negativ ist. Die Nullstelle der Kapitalwertfunktion (= interner Zinsfuß) liegt somit zwischen 7 % und 8 %.

• fällt auf, dass der Kapitalwert mit einem steigenden Zinssatz zunehmend kleiner wird. Dies liegt an der stärkeren Wirkung des Zins- und Zinseszinseffektes.

= eignet sich jedoch nur bis zu einem Planungszeitraum von bis zu zwei Jahren (ansonsten zu komplex) →man berechnet die Nullstellen der Kapitalwertfunktion (negative Ergebnisse werden nicht betrachtet, da wirtschaftlich nicht sinnvoll):

BSP

Angenommen ein Unternehmen möchte eine Investition tätigen. Die Anschaffungsauszahlung beträgt 200.000 Euro und die Einzahlungsüberschüsse in t= 1belaufen sich auf 110.000 Euro sowie in t= 2auf 120.000 Euro. Setzt man diese Werte nun in die Kapitalwertgleichung ein und setzt diese gleich Nul, ergibt sich folgende Formel:

In einem nächsten Schritt wird der Term 1 + rdurch xersetzt und die Gleichung in die Form einer allgemeinen quadratischen Gleichung (ax2 + bx + c = 0) umgestellt:

Mithilfe der Lösungsformel für eine allgemeine quadratische Gleichung (ABC-Formel):

kann dann durch Einsetzen der einzelnen Werte für die Variablen a, bund cder interne Zinsfuß ermittelt werden:

Löst man diese Gleichung auf, so erhält man für x1einen Wert i. H. v. 1,097 und für x2 einen Wert i. H. v. -0,547. Hierbei handelt es sich um die beiden Nullstellen der Kapitalwertfunktion. Die negative Lösung x2kann dabei direkt verworfen werden, da ein negativer Wert für den internen Zinssatz zwar theoretisch möglich, aber wirtschaftlich nicht sinnvoll ist. Daher muss im Folgenden nur noch aus x1 = 1,097 der interne Zinssatz abgeleitet werden:

Der interne Zinsfuß der Investition liegt also bei 9,7%

 Arithmetische Methode

= wenn Planungszeitraum mehr als zwei Perioden beträgt → je länger der betrachtete Investitionszeit- raum ist, desto mehr mögliche interne Zinssätze gibt es und desto komplexer wird deren Berechnung

• Zur Ermittlung einer Näherungslösung für den internen Zinsfuß sind dabei drei Schritte erforderlich, die in der Summe einen Interpolationsschritt bilden (= umfasst die Ermittlung von zwei Kapitalwerten mit unterschiedlichen Vorzeichen, basierend auf zwei Versuchszinssätzen, sowie das Einsetzen der Werte in die Interpolationsgleichung):

1. Bestimmung eines Versuchszinssatzes 𝑖1, der zu einem positiven Kapitalwert 𝐶01 führt,

2. Bestimmung eines Versuchszinssatzes 𝑖2, der zu einem negativen Kapitalwert 𝐶02 führt,

3. Ermittlung der Näherungslösung durch das Einsetzen der Werte aus den Schritten 1 und 2 in die Interpolationsgleichung. (die Interpolation kann nur dann durchgeführt werden, wenn für jede der Maschinen einer der Kapitalwerte positiv und der andere negativ ist)

(Co1 sind die Ergebnisse aus der ersten Kapitalwertrechnung mit dem vergebenen Zins bzw rechnet man zuerst für die jeweiligen Investiotionsobjekte beide Versuchszinsen (i1 und i2) aus (kommen dann z.B. bei C0A1 und C0B1 positive Werte und bei CoA2 und CoB2 negative Werte raus, so kann fortgefahren werden die Interpolationsgleichung wird durchgeführt →der höhere Zinssatz ist effektiver für die Firma, da höhere Verzinsung (da durch mehrmaliger Interpolationen das Ergebnis exakter wird, kann man dies nun noch einmal durchführen allerdings wird der eine Zins durch den kürzlich berechneten ersetzt (so war z.B. 2i = 6% und aus der vorherigen Interpolation kam ein Zins von 5,56% raus, so wird mit diesem weitergerechnet und die Schritte wiederholt)

Vorteile

• in der Praxis großer Beliebtheit

Nachteile

• Widersprüchliche Wiederanlageprämisse sollten kritisch gesehen werden

• meist mehrere mögliche interne Zinsfüße →nicht eindeutig

= innerhalb welches Zeitraums ist die Anschaffungsauszahlung einer Investition durch die Rückflüsse während der Nutzungsdauer gedeckt (Kapitalwert gleich null) (Unterschied zur statistischen: barwertige Betrachtung=( Verzinsung des eingesetzten Kapitals und somit die zeitliche Verteilung der Einzahlungsüberschüsse wird berücksichtigt))

→liegt Amortisationszeit unter der von Investor:innen vorgegebenen Höchstamortisationsdauer (jeweilige Nutzungsdauer der Investobjekte) →absolut vorteilhaft

Amortisationszeitpunkt (wA) (w=Jahr)

Ermittlung der Amortisationsdauer

Kritik

• gleichen Kritikpunkte wie die statische Amortisationsrechnung auf.

• nicht als alleiniges Entscheidungskriterium genommen werden, da

  • … die reine Fokussierung auf eine Risikogröße sowie

  • die nahezu willkürliche Festlegung der zulässigen Höchstamortisationsdauer durch die Investor:innen.

ZUSAMMENFASSUNG

Die klassischen dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung basieren auf der Annahme eines vollkommenen und unbeschränkten Kapitalmarktes. Anders als die statischen Investitionsrechenverfahren wird die Investitionsentscheidung im dynamischen Bereich stets basierend auf prognostizierten Zahlungsgrößen getroffen. Diese werden dann mithilfe des Kalkulationszinssatzes (𝑖) auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt (𝑡 = 0) diskontiert. Dadurch kann explizit der Zeitwert des Geldes berücksichtigt werden.

Die Kapitalwertmethode ist die Basismethode unter den klassischen dynamischen Investitionsrechenverfahren, auf der alle weiteren Methoden aufbauen. Hierbei wird der Barwert einer zukünftigen Zahlungsreihe, der sog. Kapitalwert, bestimmt. Dieser entspricht dem Vermö- genszuwachs der Investor:innen über die Laufzeit der Investition. Hierbei gilt, dass der Kapitalwert stets positiv sein sollte und Investor:innen sich immer für die Alternative entscheiden, die den größten positiven Kapitalwert erwarten lässt.

Darauf aufbauend kann mithilfe der Annuitätenmethode der Betrag ermittelt werden, den Investor:innen am Ende jeder Periode aus den Rückflüssen der Investition für Einkommenszwecke entnehmen könnten, ohne die Vorteilhaftigkeit einer Investition zu gefährden. Die Annuität sollte immer positiv sein und Investor:innen präferieren i. d. R. diejenigen Objekte mit der größten positiven Annuität, da dort ihr Einkommenszuwachs am höchsten ist.

Im Gegensatz dazu betrachtet die interne Zinsfußmethode eine relative Zielgröße. Bei diesem Verfahren geht es konkret darum, zu ermitteln, wie hoch die effektive Verzinsung einer Investition ist. Investor:innen möchten also ermitteln, wie hoch die Rendite ihrer Investition ausfällt. Der interne Zinsfuß wird dabei am von den Investor:innen festgelegten Kalkulationszinssatz gemessen, der ihre gewünschte Mindestverzinsung widerspiegelt. Ist der interne Zinsfuß größer als 𝑖, gilt eine Investition als vorteilhaft. Unternehmen würden sich daher immer für die Alternative entscheiden, die die größte über 𝑖 liegende Verzinsung verspricht.

Im Gegensatz zu den anderen dynamischen Verfahren verfolgen Investor:innen bei der Amortisationsdauerrechnung keine monetäre Zielsetzung. Es geht vielmehr darum, das mit einer Investition verbundene Risiko zu beurteilen. Zu diesem Zweck wird ermittelt, wie lange es dauert, bis die Anschaffungsauszahlung aus den barwertigen Rückflüssen einer Investition zurückerwirtschaftet wird. Liegt die ermittelte Amortisationsdauer unterhalb der von den Investor:innen vorgegeben Höchstamortisationsdauer, ist ein Investitionsobjekt absolut betrachtet vorteilhaft. Investor:innen entscheiden sich immer für die Alternative mit der kürzesten unterhalb der Höchstamortisationsdauer liegenden Amortisationszeit.