4 Funktionenfolgen

• Vorschrift, die jede natürliche Zahl n E IN eine Funktion fn: D -> IR zuordnet

  D ist Teilmenge IR, Abbildung n -> fn

• zwei Funktion f und g sind gleich, wenn ihre Definitions- und Zielmengen gleich sind und Funktionswerte übereinstimmen

• wenn sich die Funktionsfolge fn für wachsendes n an die Funktion f: D -> IR annähert

  lim (n gegen unendlich) fn=f

• punktweise Konvergenz

• gleichmäßige Konvergenz

• Konvergenz im quadratischen Mittel

An jeder Stelle x Element [a,b] ist fn(x) eine Zahlenfolge

Definition: Funktionenfolge fn konvergiert punktweise gegen f, falls für alle x Element D gilt: lim (n gegen unendlich): fn(x)-f(x)=0

—> wir betrachten den Grenzwert der Differenz fn(x) und f(x) um für alle Definitionen der Konvergenz zu einer einheitlichen Schreibweise zu gelangen

• betrachtet man Funktionswerte fn(x) und erhält für jedes x E D eine Zahlenfolge

• konvergiert Zahlenfolge nun an jeder Stelle gegen Wert f(x), ist f Grenzfunktion der Funktionenfolge -> Funktionenfolge fn konvergiert punktweise gegen Funktion f

• häufig lassen sich Grenzfunktionen mittels Grenzwertbetrachtung sofort angeben

Wenn der größte Abstand dn^max gegen 0 geht, gilt gleichmäßige Konvergenz

Der maximale Fehler ergibt sich entweder an der Stelle der lokalen Extrema oder an den Intervallgrenzen

Definition: fn konvergiert gleichmäßig gegen f falls gilt:

lim (n gegen unendlich) sup {Ifn(x)-f(x)Ix E D } = 0

Das Supremum ist die kleinste Zahl, die größte gleicht allen Elementen der betrachteten Menge

• größter Unterschied zwischen 2 Fkt. wird betrachtet

• für jedes Folgeglied fn wird zunächst der größte Unterschied dn^max zwischen fn und f bestimmt

• anschließend fordern wir, dass für wachsendes n der Unterschied dn^max gegen null gehen soll

—> Supremum

• jedes Maximum ist ein Supremum, aber nicht jedes Supremum ein Maximum

• Maximum muss Element der betrachteten Menge sein,

• Supremum = “die unmittelbar nach oben beschränkende Zahl”

  • nach oben beschränkend: weil es wie Maximum größer oder gleich jeder Zahl der menge ist

  • unmittelbar: weil es die kleinste aller nach oben beschränkenden Zahlen ist

größte Zahl, die kleiner gleich allen Elementen von Menge M ist

• ist Infimum in der Menge M enthalten, heißt es Minimum

• handelt es sich bei M um ein Intervall, sind Infimum und Supremum einfach die Intervallgrenzen

Wenn die Flächen zwischen fn und f bei steigendem n gegen 0 geht, gilt Konvergenz im quadratischen Mittel

positive und negative Flächen heben sich nicht auf

lim (n gegen unendlich) Integal a nach b (fn(x)-f(x))^2dx = 0

Da sich beim Integrieren negative und positive Flächen aufheben

konvergiert fn gleichmäßig gegen f dann auch punktweise und im quadratischen Mittel

Sind die Folgenglieder fn stetig und konvergiert fn gleichmäßig gegen f, dann ist f stetig