2.10 Convezione

E’ lo scambio termico che si ha tra un oggetto fermo e un fluido in moto. Il moto può essere di tipo laminare o turbolento, può essere indotto, quindi si parla di convezione forzata, ad esempio un ventilatore, mentre la convenzione naturale si ha per fenomeni di galleggiamento, indotti dalla spinta di Archimede, che spostano l’aria a temperatura più bassa verso il bassa e l’aria più calda verso l’alto, tipo la mongolfiera.

Nella convezione ci finiscono i flussi interni, cioè tutto quello che attraversa delle tubazioni di sezione circolare, ma anche rettangolare e prismatica, scambia calore con le tubazioni e poi anche i flussi esterni, che sono quelli indotti per esempio dal vento e dal moto degli oggetti stessi, quindi un’automobile che si muove, scambia calore con l’aria con la convezione di tipo esterno, quindi flusso esterno.

La convezione più semplice è quella che si ha tra una lastra orizzontale piana, che si trova ad una temperatura superficiale costante Ts e una corrente libera di fluido alla velocità indisturbata u∞ e alla temperatura indisturbata T∞.

Se Ts > T∞, l’aria che la corrente libera in convezione forzata o esterna, questo flusso d’aria a temperatura T∞, velocità media u∞ è a contatto con la temperatura calda e si inizia a riscaldare.

Se questo è il profilo di temperatura, nel momento in cui l’aria inizia ad andare a contatto con la superficie, lo stesso quantitativo d’aria che è a contatto si scalda perché per ipotesi di aderenza, quindi il fluido reale, un pezzo di questo fluido a contatto con la superficie calda è fermo, si scalda e scaldandosi trasmette per convezione calore allo strato successivo e così via. Muovendosi, varia la propria temperatura e mano a mano che ci spostiamo verso destra, una maggiore porzione di area viene perturbata dalla temperatura Ts, finché tutta la porzione d’aria si riscalda.

In funzione della parte modificata, si va a tracciare lo strato limite termico δt. Quello tratteggiato è lo strato limite termico. Questo strato limite rappresenta, punto per punto, quindi per ogni coordinata x possiamo individuare uno strato limite δ, tale per cui possiamo scrivere che T - T∞ è uguale a Ts - T∞. Per ogni coordinata x possiamo individuare un’altezza, prendiamo ad esempio una coordinata y verso l’alto, un’altezza δt che rappresenta l’altezza dello strato limite termico. Quando arriviamo ad avere un completo sviluppo, vuol dire che lo strato limite termico si è completamente sviluppato e questa curva tratteggiata è quella curva tale per cui T - T∞ diviso Ts - T∞ è pari a 0.99, quindi siamo molto vicini all’uguaglianza.

Lo strato limite termico va a braccetto con lo strato limite fluidodinamico. Nel senso che, in funzione delle caratteristiche del fluido, il rapporto δ su δt è rappresentato da un numero dimensionale che si chiama numero di Prandtl, elevato ad un coefficiente n.

Nello strato limite fluidodinamico all’inizio abbiamo per una corrente indisturbata, libera, condizioni di aderenza, inizia a crearsi in regime lineare un andamento parabolico. Quando si è completamente sviluppato, c’è un completo sviluppo dello strato limite fluidodinamico. Lo strato limite fluidodinamico dipende da x, tale per cui u - u∞, diviso ui  - u∞ è uguale a 0.99. Questi due strati limite sono correlati tra di loro, perché una modifica di uno strato limite fluidodinamico, si ripercuote sullo strato limite termico. Difatti, quando si passa da condizioni di regime laminare a regime turbolento, tutti gli strati limite si modificano.

Quando siamo in regime laminare, prendiamo lo strato limite termico e quello fluidodinamico, lo stesso punto, il rapporto tra i due è uguale al numero di Prandtl, elevato al coefficiente n, che dipende dal tipo di fluido. Questi due strati limite sono correlati tra di loro, in funzione delle caratteristiche termofisiche del fluido, perché il numero di Prandtl è la viscosità cinematica, diviso la diffusitività termica. Sono tutte proprietà termofisiche del fluido, quindi dipende dalla temperatura a cui si trova il fluido.

Andiamo a vedere più in dettaglio quello che succede a contatto con la lastra piana.

Prendiamo un punto, dove in x ci mettiamo la temperatura e questo è l’andamento dello strato limite termico per quel dato punto. Questo è il gradiente di temperatura di T rispetto alla coordinata y, in corrispondenza di y = 0. Quindi quella linea è dT/dy quando y = 0, cioè in corrispondenza dello strato di perfetta aderenza, c’è un gradiente di temperatura di questo tipo. Questo gradiente si modifica, perché la pendenza è diversa. Ogni punto della nostra lastra piana è caratterizzata da una pendenza all’inizio più accentuata, poi mano a mano che il fluido si sposta, la pendenza cala.

Possiamo fare un bilancio energetico superficiale. Immaginiamo di avere un pezzetto di fluido fermo per ipotesi di aderenza, in corrispondenza della lastra piana. 

Per il postulato di Fourier, q’’ che è il flusso termico specifico scambiato fra la superficie piana e l’aria in direzione ortogonale, è - λ per ∂T/∂y quando y = 0. Immaginiamo di avere un piccolo strato sottile di aria ferma, si prende un flusso termico specifico di quel tipo. 

Questo è uguale anche a quello che viene trasmesso per convezione allo strato successivo, però si ha una modifica di velocità e di temperatura. In generale, questa potenza termica specifica q’’ per convezione l’abbiamo sempre scritta come h per Ts - T∞. Questo valore varia con la coordinata x, perché varia l’andamento dello strato limite termico, quindi ogni punto x avrà una pendenza diversa, quindi dobbiamo definire un flusso termico locale per la coordinata x. Metto le x per dire che è funzione di quella coordinata x.

Uguagliando queste due espressioni, ottengo che il coefficiente convettivo locale hx è -λ per ∂T/∂y per y = 0, diviso Ts - T∞.

Ts è una temperatura costante della superficie, non dovrebbe variare, anche T∞, quindi hx è il coefficiente convettivo locale, ma è anche interpretabile come un gradiente di temperatura rispetto alla coordinata y. Cioè più inclinata è questa retta, quindi per rette molto inclinate, avremo un maggiore scambio termico a parità di λ, per rette meno inclinate, quindi più piatte, avremo meno scambio termico rispetto ad una retta più inclinata.

Questo nostro coefficiente locale mi aspetto che almeno nello strato limite che abbia un andamento decrescente, perché mano a mano che andiamo verso destra, la pendenza di questa curva si abbassa e quindi hx è minore, perché è minore la pendenza.

Se noi continuiamo ad andare avanti con la nostra lastra, abbiamo un punto detto punto x critico, che è l’x di transizione.

In questo punto, che dipende dal tipo di fluido, dalla scabrezza della superficie calda, è un punto variabile con il fluido e con la scabrezza della superficie tale per cui il valore del numero di Reynolds calcolato per x critico vale per 10⁵ a 3 • 10⁶. Di solito, si assume un valore di Reynolds calcolato per x critico di 5 • 10⁵. Il numero di Reynolds si calcola come u∞ per xc, diviso ν.

Quando Reynolds raggiunge questo valore, il regime laminare diventa di transizione. Nel regime di transizione abbiamo un andamento molto caotico dello strato limite, fino ad arrivare alle condizioni di regime fluidodinamico turbolento. In questo caso, lo strato limite tende ad aumentare, fino ad arrivare ad un plateau. Da qui in poi, siamo in condizioni di regime turbolento. Quello tratteggiato è lo strato limite termico, in regime turbolento abbiamo una serie di vortici all’interno del fluido, quindi non abbiamo un profilo di velocità regolare, ma è molto più caotico.

Nel regime turbolento c’è un andamento molto caotico fino alla zona turbolenta e poi torna a salire hx. Poi torna a scendere, fino a stabilizzarsi oltre ad una certa lunghezza. Quello in continuo quindi è il coefficiente convettivo locale. Nel regime laminare h cala più repentinamente rispetto al regime turbolento. Lo strato limite fluidodinamico sarà abbastanza costante fino al regime di transizione, poi dal punto di transizione in poi sarà molto caotico.

Lo strato piano hx è variabile per ogni punto, quindi se vogliamo calcolare la potenza termica scambiata in una certa area. Immaginiamo di avere la nostra lastra piana che ha coordinata x e poi è caratterizzata da una profondità B. Quindi avremo che l’area di scambio termico sarà B per L.

Siccome q dipende dal coefficiente convettivo, perché la potenza termica è h per A per Ts - T∞. h varia in funzione della coordinata x.

Dobbiamo ricondurci ad una media integrale del coefficiente convettivo locale, dobbiamo calcolare l’h medio globale, prendiamo la coordinata x, questo sarà 1/x per l’integrale che va da 0 ad L di hx dx. Quindi per ogni coordinata x devo avere l’andamento di hx, quindi devo conoscere la funzione della curva che rappresenta il coefficiente locale di scambio termico, per poi calcolare quello medio integrale.

In generale, possiamo ulteriormente generalizzare il problema, andando a considerare un corpo di geometria qualunque, caratterizzato da un’area superficiale As, che si trova ad una temperatura Ts superficiale, investito da una corrente libera con velocità u∞ e temperatura indisturbata T∞.

Per risolvere il problema della convezione e quindi calcolare la potenza termica scambiata tra l’area e l’oggetto, quindi indichiamo con q conv questa potenza teorica scambiata per convezione, dobbiamo dividere la superficie del nostro oggetto in tante aree infinitesime dA, quindi possiamo scrivere che per ogni area infinitesima dA la potenza termica scambiata in direzione ortogonale all’area sarà q’’. Posso fare che q’’ è hx per Ts - T∞.

Se voglio calcolare la potenza totale scambiata per convezione, devo fare h medio per A per Ts - T∞ e h medio lo devo calcolare come integrale di area, quindi 1 su As per integrale su As di h per dAs, quindi h è il coefficiente convettivo locale per ogni area infinitesima. Per ogni area infinitesima posso calcolare il flusso termico specifico e la potenza termica totale scambiata, moltiplicando l’area per l’integrale medio di superficie, quindi h barrato è il coefficiente globale di scambio termico convettivo.

Come faccio numericamente ad arrivare a questi valori? Dobbiamo affidarci all’analisi adimensionale, quindi utilizzare dei numeri adimensionali calcolati tramite il teorema del π. In generale, possiamo fare il calcolo in locale, quindi per una certa coordinata x possiamo calcolare hx oppure globalmente l’h medio.

Il primo passo è calcolare il numero di Nusselt, sia in termini locali, sia in termini globali. Quindi globali per tutta la superficie, locali solamente per una coordinata o un’area infinitesima.

Nusselt è dal punto di vista fisico un gradiente di temperatura adimensionale, che rappresenta quanto è importante lo scambio termico adimensionalmente, quindi maggiore è Nusselt, maggiore è lo scambio termico.

Nusselt è h per L diviso λ, dove λ è la conduttività del fluido. Conoscendo Nusselt, riusciamo a calcolare facilmente h come Nusselt per λ diviso L, oppure anche x come Nusselt calcolato tra la coordinata x per λ diviso L. L è la lunghezza caratteristica del problema, per la lastra piana è la sua lunghezza, se abbiamo una sfera è il diametro, se abbiamo un tubo è il diametro interno del tubo.

Se conosciamo Nusselt, andiamo a calcolarci h e quindi la potenza termica scambiata, però per conoscere Nusselt dobbiamo applicare l’analisi adimensionale che ci dice che Nusselt è un numero adimensionale in funzione, nel caso locale, di una coordinata dimensionale x*, del numero di Reynolds e di Prandtl, calcolato per la coordinata x.

Invece globalmente, Nusselt è una funzione solamente di Reynolds calcolato per la dimensione caratteristica L e Prandtl. Questo vale per la convezione forzata.

Reynolds è un numero che si può calcolare secondo x o per la lunghezza caratteristica e quindi è u, velocità media per L diviso ν, oppure è ρ diviso μ per L per u.

Quindi Reynolds è un numero adimensionale che rappresenta un rapporto tra le forze d’inerzia, perché abbiamo una velocità al numeratore e al denominatore abbiamo le forze di attrito viscoso, quindi maggiore è il numero di Reynolds e maggiori sono le forze d’inerzia rispetto alle forze di attrito viscoso, quindi maggiore è la viscosità del fluido, maggiore è questo ν o μ e quindi è minore Reynolds.

L’altro numero è Prandtl, che è ν su α e rappresenta il rapporto tra il trasporto della quantità di moto e la diffusitività termica, quindi l’energia trasportata con il moto del fluido rispetto all’energia trasportata grazie ai gradienti termici all’interno del fluido stesso.

Quindi maggiore è Prandtl, maggiore è l’effetto dei moti, quindi la diffusione dello strato limite fluidodinamico, rispetto alla diffusione dello strato limite termico.

Prandtl per gli oli molto viscosi è molto maggiore di 1 e fluidi molto viscosi, perché la viscosità ν di questi fluidi è molto più alta rispetto alla loro diffusitività termica.

Il rapporto δ su δt è uguale al numero di Prandtl elevato alla n, dove n è una costante che normalmente si assume pari a ⅓.

Di solito, per un gas, Prandtl è uguale a 1, è molto maggiore di 1 per i liquidi viscosi, tuttavia per tutti i fluidi nella regione turbolenta è circa pari a 1. Quindi δ = δt nella regione turbolenta.

Queste funzioni si chiamano correlazioni sperimentali, che sono state ottenute per diversi problemi di scambio termico e di solito si parla di convezione forzata.

Il numero di Nusselt medio è funzione di Reynolds medio calcolato sulla lunghezza di Prandtl, sono funzioni del tipo costante C per Reynolds alla m per Prandtl alla n. Per la risoluzione dei problemi, sarà dato il valore numerico di questi coefficienti C, m ed n. Lo stesso anche per il numero di Nusselt locale, che è funzione di C, Reynolds calcolato per x alla m, Prandtl alla n. Questi coefficienti C, m ed n dipendono dalla geometria, quindi se abbiamo una lastra, se abbiamo una sfera, o un cilindro e dal tipo di moto, se siamo in regime turbolento, se siamo in regime laminare.

Nel caso in cui siamo in condizioni di convezione naturale, i numeri adimensionali sono differenti. Non si parla più di Reynolds o Prandtl, ma dove prevalgono le forze di galleggiamento rispetto a quelle di attrito viscoso, Nusselt è funzione sempre della lunghezza adimensionale, del numero di Grashof e del numero di Prandtl. Quindi Nusselt medio sarà funzione di Grashof, calcolato sulla lunghezza totale e di Prandtl.

Il numero di Grashof globalmente è il rapporto tra le forze di galleggiamento e le forze di attrito viscoso. Quindi è g per β per Ts - T∞ per L³ diviso ν². Localmente Grashof per la coordinata x sarà g per β Ts - T∞ per x per L³ diviso ν². Rapporto tra le forze di galleggiamento che dipendono dalla differenza di temperatura tra la superficie calda e l’aria fredda, l'accelerazione di gravità, dalla lunghezza caratteristica al cubo e β.

β è il coefficiente volumetrico di dilatazione termica, definito come 1/ ρ per ∂ρ/∂T a pressione costante. 

Quando abbiamo i gas perfetti, β è uguale a 1/T, dove T è la temperatura assoluta in Kelvin. Questo perché l’ipotesi di gas perfetti è p V = R T, quindi ρ è 1/V.

Devo fare la derivata parziale rispetto alla temperatura di ρ che è p diviso R T, quindi è p diviso R T², quindi andiamo poi a sostituire 1/ρ, che è R T diviso p. Questo vale solo per i gas perfetti ed è un coefficiente che ci dice quanto varia con la temperatura lo spazio occupato da 1 kg di gas.

In convenzione forzata, Nusselt è funzione del numero di Reynolds e di Prandtl. Di solito la forma di queste funzioni è una costante C per Reynolds alla m per Prandtl alla n. Quindi calcolando Reynolds e Prandtl, poi si riesce a calcolare Nusselt.

In convezione naturale il numero di Nusselt medio è funzione del numero di Grashof e del numero di Prandtl. Il numero di Grashof è definito come g per β per Ts - T∞ per L³ diviso ν².

Prandtl invece lo definiamo come V diviso α.

Il prodotto tra questi due numeri si chiama numero di Rayleigh, che è Grashof per Prandtl, quindi è g per β per Ts - T∞ per L³, diviso ν per α.

Quindi in convezione naturale la forma tipica delle correlazioni è del tipo C costante per il numero di Rayleigh ad un coefficiente n. Di solito n è ⅓ in convezione naturale e regime laminare, quindi quando Reynolds è inferiore a Reynolds critico. Invece è 1.3 in regime turbolento.

Non dobbiamo ricordare la forma di tutte le correlazioni, dobbiamo ricordarci a grandi linee da cosa dipende il numero di Nusselt, quindi è la funzione di Reynolds e Prandtl e la funzione di Grashof e di Prandtl in convezione naturale, che è il loro prodotto e si chiama numero di Rayleigh.

Iniziamo a vedere qualche caso. Non sono da studiare a memoria le correlazioni, ma servono per risolvere i problemi che vedremo, quindi tutti gli esponenti non sono da imparare a memoria.

La temperatura di film è la media tra Ts e T∞. Molte correlazioni che vediamo adesso, valutano le proprietà termofisiche del fluido alla temperatura di film. Non tutte, ma molte di queste utilizzano la temperatura di film, quindi quando si deve cercare la diffusitività, la viscosità cinematica, oppure la densità o la conduttività del fluido, queste devono essere valutate nella maggior parte dei casi alla temperatura di film. 

Se abbiamo per esempio un regime laminare in lastra piana, in regime laminare, lo strato limite fluidodinamico è 5 volte x per Reynolds calcolato per la coordinata x alla -½. Reynolds calcolato per la coordinata x è u∞ per x diviso ν.

Prandtl lo si deve valutare alla temperatura di film. Nusselt locale lo si calcola come 0.332 per Reynolds alla ½ per Prandtl alla ⅓.

Se invece abbiamo una lastra di lunghezza L, quindi vogliamo calcolare il numero di Nusselt medio su tutta la lastra, che ci serve per calcolare h medio tramite la formula inversa, dobbiamo utilizzare 0.664 per Reynolds alla ½ per Prandtl alla ⅓.

Abbiamo un problema in cui abbiamo una lastra piana di lunghezza definita L, alla temperatura Ts e un fluido più freddo, per risolvere il problema dobbiamo calcolarci Reynolds per la lunghezza L come la velocità indisturbata per L diviso ν, ν va valutata alla temperatura di film, calcoliamo Nusselt con questa formula in cui Prandtl lo valutiamo alla temperatura di film e poi calcoliamo h come Nusselt medio per λ diviso L e quindi da h possiamo calcolare la potenza termica scambiata, h medio per A per Ts - T∞ per tutta la lastra piana. Questo vale in regime laminare.

In regime turbolento le cose sono diverse perché lo strato limite termico e fluidodinamico sono differenti. Sempre lastra piana, però in regime turbolento.

In questo caso, lo strato limite fluidodinamico si calcola come 0.37 per x per Reynolds alla -⅕ e il numero di Nusselt locale è 0.0296 per Reynolds alla ⅘ per Prandtl alla ⅓.

Per ognuna di queste correlazioni c’è un range in cui è applicabile, cioè nel regime turbolento. Quindi possiamo applicare questo se Reynolds è inferiore a 10⁸ e Prandtl va da 0.6 a 60. 

Anche in questo caso Prandtl e ν sono da calcolate con la temperatura di film, tuttavia bisogna stare attenti; abbiamo una zona laminare, una zona di transizione e una zona turbolenta. Abbiamo lo strato limite δ e l’h locale.

In regime laminare, la correlazione è stata trovata facendo la media integrale. Qui, in regime turbolento, facciamo una prima parte laminare, poi una parte di transizione e poi una parte di turbolento, quindi dobbiamo calcolare h medio da 0 ad L, possiamo fare una semplificazione e dire, la parte di transizione è molto piccola quindi la trascuro e calcolo l’h medio globale come il termine integrale dalla parte di regime laminare, quindi hx laminare in dx + integrale da L a xc, dove xc è la coordinata di transizione, che è la lunghezza critica, quando Reynolds è 5 • 10⁵, quindi h turbolento in dx.

hx turbolento sarà Nusselt di x per λ su L, mentre per hx laminare dovremmo fare Nusselt di x per λ su L e sono diversi, perché abbiamo degli altri coefficienti.

Facendo questa semplificazione, non è da sapere, otteniamo una forma del numero di Nusselt medio che considera questa media integrale su due condizioni di moto differenti. Questo numero di Nusselt medio per tutta la lunghezza si calcola come 0.037 per Reynolds calcolato su tutta la lunghezza alla ⅘ - 871 Prandtl alla ⅓.

Da questo poi otteniamo hL medio in regime prima laminare poi turbolento per il numero di Reynolds per λ/L.

Quindi operativamente se abbiamo un problema con una lastra piana in cui troviamo per una certa lunghezza L un regime turbolento, dobbiamo applicare questa formula, calcolando Reynolds per la lunghezza L e Prandtl per la temperatura di film. E poi troviamo hL e di conseguenza anche la potenza. Questo vale quando Reynolds è maggiore di Reynolds critico, calcolato per x critico, quindi per 5 • 10⁵, inoltre Prandtl deve essere sempre tra 0.6 e 60.

Se a livello della lastra piana ci mettessimo un generatore di turbolenza, cioè al bordo d’attacco ci mettiamo un elemento che crea un flusso turbolento dall’inizio fino alla lunghezza L, quindi tutta questa parte dello strato limite è turbolento; può essere una serie di appendici, una rete, un qualcosa che crea turbolenza dal bordo di attacco, quindi la corrente libera arriva, si trova qualcosa che crea dei vortici. 

Con questo bordo d’attacco, la formula si modifica leggermente, perché non abbiamo la parte laminare, quindi possiamo cancellare il coefficiente 871. Quindi risulta uguale a prima, solamente che non c’è il termine della parte laminare e in questo caso specifico x critico è in corrispondenza del bordo di attacco, perché da questo punto in poi abbiamo già il regime turbolento.

Quindi Reynolds critico è uguale a 0, in questo caso specifico in cui abbiamo un elemento che crea turbolenza.

Poi abbiamo la geometria cilindrica, quindi un cilindro di diametro D, lunghezza L, che viene investito da una corrente libera, velocità u∞, temperatura T∞, temperatura superficiale del cilindro Ts.

Per il calcolo dello scambio termico utilizziamo il numero di Reynolds, considerando come lunghezza caratteristica del problema il diametro del cilindro.

Quindi Reynolds sarà u∞ per il diametro del cilindro, diviso ν. ν la calcoliamo alla temperatura di film e la relazione che si utilizza, ce ne sono diverse, la più semplice è il numero di Nusselt medio sul diametro, quindi il numero di Nusselt è definito come h medio per D per λ. Questa correlazione si chiama correlazione di Hilpert e vale quando Prandtl è maggiore o uguale di 0.7 e troviamo tabulato il valore di C e di m per vari tipi di geometrie, anche per geometrie non circolari. Quindi se abbiamo una sbarra quadrata, una trave.

Un’altra correlazione che si può utilizzare solamente in geometria cilindrica, siamo sempre in condizioni di convenzione forzata, è quella di Churchill-Bernstein. Vale per Reynolds per Prandtl è maggiore di 0.2, però non la stiamo a scrivere.

Per la sfera, sempre convezione forzata, abbiamo la correlazione di Whitaker. Il valore medio di Nusselt del diametro della sfera è 2 + 0.4 Reynolds di D alla ½ + 0.06 Reynolds di D alla ⅔, moltiplicato per Prandtl alla 0.4, per μ/μs alla ¼.

Questo vale quando Prandtl è contenuto tra 0.71 e 380 e Reynolds va da 3.5 fino a 7.6 • 10⁴. Questa correlazione non dobbiamo saperla a memoria, ma dobbiamo sapere che serve per questo caso specifico. Reynolds va calcolato con il diametro della sfera, quindi come u∞ per D, diviso ν.

Qui dobbiamo valutare μs, quindi viscosità dinamica alla temperatura Ts, invece che alla temperatura della corrente indisturbata. Cioè in questa correlazione specifica non si utilizza la temperatura di film, ma si utilizza T∞ e Ts, quindi questa va calcolata per T∞, quella per Ts e anche questa per T∞.

Quindi questo è un raro caso di correlazione in cui non si utilizza la temperatura di film, ma si utilizza la temperatura superficiale per trovare il valore di μs e la temperatura indisturbata per trovare gli altri parametri.

Ora passiamo alla convezione naturale. Recentemente i ricercatori hanno sviluppato correlazioni sempre più precise, queste sono quelle storiche, in cui bisogna riconoscere quantomeno il nome e sapere che sono delle correlazioni per il calcolo dei coefficienti convettivi nelle geometrie piane, cilindriche, …

Perché si genera la convezione naturale?

Prendiamo una piastra piana verticale, mettiamo una coordinata x dal basso verso l’alto, questa lastra piana si trova alla temperatura Ts e mantiene questa temperatura superficiale uniforme e poi abbiamo dell’aria ferma a T∞. L’aria ferma a contatto con la superficie non è più ferma, perché si inizia a scaldare a causa delle forze di aderenza e si genera lo strato limite, sia termico, sia fluidodinamico.

In questo caso i due strati limite vanno via di pari passo. Lo strato limite è quella coordinata, in questo caso x verso l’alto e y verso destra, δ è quella coordinata y. Lo strato limite fluidodinamico si ha quando siamo in corrispondenza della velocità indisturbata, quindi u è quasi uguale alla velocità indisturbata. Tutta la parte a destra dello strato limite è ferma e u∞ è uguale a 0, perché siamo in quiete, mentre lo strato limite termico è dalla parte non influenzata dalla temperatura della superficie Ts, quindi abbiamo la temperatura T∞. Questo solo in convezione naturale.

Quando la temperatura è pressoché uguale alla temperatura infinito indisturbata, siamo sullo strato limite. Se la temperatura è diversa, in questo caso ipotizziamo Ts > T∞, allora siamo all’interno della zona perturbata. 

Com’è l’andamento della temperatura e della velocità? Prendiamo questo punto, la temperatura varia da Ts a contatto con la superficie e scende fino a T₀, quando si raggiunge lo strato limite termico δt. Oltre lo strato limite termico, si mantiene costante T∞.

La velocità ha un andamento di questo tipo: u∞ è aria ferma, quindi la sua velocità oltre lo strato limite fluidodinamico è 0, quindi abbiamo una fase iniziale in cui aumenta la velocità, da 0 per ipotesi di aderenza aumenta molto rapidamente, poi torna a calare fino ad arrivare a 0, che è la velocità indisturbata.

Per ogni punto della lastra all’interno dello strato limite, si sviluppano questi due andamenti, uno di temperatura e uno di velocità.

Se il numero di Reynolds aumenta, possiamo individuare in condizione naturale il numero di Rayleigh di transizione. Quindi fino a qui abbiamo un regime laminare, poi da questo valore x critico tale per cui Rayleigh di x è uguale a 10⁹, abbiamo un andamento laminare e poi un andamento turbolento del moto del fluido. La transizione in regime forzato è uno strato molto sottile, quasi nullo, si passa direttamente dal laminare al turbolento. La prima parte è molto ripida, poi cala molto lentamente.

Dal regime turbolento, la velocità è formata da tanti vortici e la temperatura, se io prendo questo punto e vado a graficare, ho una temperatura Ts, ho un rapido calo di temperatura fino al nostro strato limite termico. In questo caso la temperatura diminuisce, mentre si fa fatica a rappresentare un andamento di velocità caotico, la temperatura si può comunque rappresentare con un ramo di parabola, che va da Ts verso T∞, fino ad arrivare allo strato limite termico.

In questo caso particolare, il moto del fluido è causato dalle forze di galleggiamento, che sono causate dalla variazione di temperatura delle particelle del fluido, quindi i due fenomeni sono tra di loro contrastanti. Più aumenta la temperatura, più aumenta la velocità e all’aumentare di una certa lunghezza, si innesca il moto turbolento.

Per la lastra piana verticale in regime laminare, quindi Rayleigh minore di 10⁹, Nusselt lo calcoliamo come una costante per Rayleigh calcolato per quella lunghezza specifica, elevato alla ¼.

Rayleigh è g per β per Ts - T∞ per L³, diviso α per ν. α, la diffusività termica e ν, la viscosità cinematica, vanno calcolate entrambe alla temperatura di film e anche β che, nel caso di un gas perfetto, è uguale a 1/T, dove T è la temperatura di film. Questo vale in regime laminare, quando abbiamo invece un regime turbolento, Rayleigh va da 10⁹ fino a 10¹³.

Nusselt in regime turbolento è 0.10 per Rayleigh alla ¼, oppure al posto di queste due correlazioni, possiamo utilizzare la correlazione di Churchill-Chu che vale per Rayleigh che va da 0 fino a 10¹³, quindi per tutta la gamma dei numeri di Rayleigh. Il valore si trova nelle slide.

Della lastra verticale, vediamo la piastra piana orizzontale. Quindi se abbiamo una lastra piana o piastra piana orizzontale se è di dimensioni non troppo elevate. In convezione naturale, possiamo incontrare 4 casistiche:

1. La piastra si trova ad una temperatura Ts > T∞ ed è adiabatica sul lato superiore. Quindi l’aria si riscalda e va verso l’alto. Le particelle d’aria a contatto con la piastra si caldano e vanno verso l’alto. 

2. La piastra si trova ad una temperatura Ts < T∞ ed è adiabatica sul lato inferiore. Avendo la temperatura inferiore, le particelle a contatto con la lastra si raffreddano e vanno verso il basso.

3. La piastra si trova ad una temperatura Ts > T∞ ed è adiabatica sul lato inferiore. Le particelle d’aria creano dei vortici, perché si scaldano a contatto con la lastra calda, vanno verso l’alto. Richiamano altre particelle fredde che si scaldano e vanno verso l’alto, quindi si creano dei vortici.

4. La piastra si trova ad una temperatura Ts < T∞ ed è adiabatica sul lato superiore. L’aria va a contatto con la lastra fredda, si raffredda e va verso il basso, richiama aria calda e si creano i vortici.

Nusselt medio vale 0.27 per Rayleigh alla ¼, quando Rayleigh è interno al range 10⁵ fino a 10¹⁰. Questa correlazione è valida per i casi a) e b).

Per i casi c) e d), Nusselt lo calcoliamo come 0.54 per Rayleigh calcolato sulla lunghezza L, quando Rayleigh va da 10⁵ fino a 10⁷, oppure lo calcoliamo con la formula 0.15 per Rayleigh alla ⅓ quando Rayleigh va da 10⁷ a 10¹¹.

Poi rimangono il cilindro e la sfera. Quando abbiamo cilindro o sfera, si risolvono con correlazioni simili, perché lo sviluppo dello strato limite è simile. Consideriamo una sfera o una sezione di un cilindro, definiamo un angolo ϑ; la sfera o il cilindro si trovano ad una temperatura Ts > T∞.

Lo strato limite aumenta con ϑ, va verso l’alto, quindi la forma esterna rappresenta lo strato limite termico. Oltre questo confine, la temperatura del fluido rimane a T∞, oltre questo confine, si ha una variazione.

Quindi simile al caso della piastra verticale, facciamo come se avessimo raggomitolato la piastra a formare un cilindro, come se avessimo formato un cilindro a partire da una piastra piana orizzontale.

ϑ è un angolo, se aumenta ϑ, δt è lo spessore dello strato limite che aumenta con ϑ, quindi per ogni valore di ϑ possiamo individuare lo spessore dello strato limite e poi andare ad individuare un andamento di questo tipo, all’interno del fluido perturbato.

Anche in questo caso quando Rayleigh supera 10⁹, entriamo in regime turbolento. Lo strato limite non parte esattamente da 0, perché è influenzato dalla geometria del problema.

In questo caso, utilizziamo le correlazioni di Morgan, in funzione del numero di Rayleigh abbiamo 3 correlazioni.

Si tratta di una sfera, il numero di Rayleigh lo calcoliamo come g per β per Ts - T∞ per D³, diametro della sfera o del cilindro, diviso α per ν. Quindi sempre β, α e ν vengono calcolati alla temperatura di film.

Altrimenti quella di Churchill-Chu, che si utilizza per Rayleigh da 0 a 10¹².

Morgan e Churchill-Chu vanno bene per il cilindro, mentre quando abbiamo la sfera, dobbiamo utilizzare la correlazione di Churchill-Chu.

Comunque, nell’ambito degli esercizi, verrà indicata la correlazione da utilizzare.

A livello di esame orale potrà essere richiesta la forma generale, cioè C per Reynolds alla m per Prandtl alla n, … Tutte le correlazioni specifiche no, vengono date qualora si debba risolvere un esercizio nello scritto.

Ora introduciamo la convezione per i flussi interni.

I flussi interni riguardano i fluidi che scorrono all’interno delle tubazioni.

Prendiamo il nostro tubo. Se abbiamo una certa quantità di fluido con questo profilo di velocità u e ad una certa temperatura T costante. È come nel caso di flussi esterni, quando dicevamo corrente libera a velocità u∞ e temperatura T∞.

Cosa succede al fluido nel passaggio interno della tubazione? Dal punto di vista fluidodinamico, ipotizziamo la temperatura della superficie interna della tubazione uguale a T, quindi il tubo non perturba la temperatura del fluido che passa interno della tubazione. Si sviluppa, sempre per condizioni di aderenza, lo strato limite fluidodinamico, quindi si genera, dopo una certa lunghezza, un profilo di velocità parabolico che si raggiunge per una lunghezza xfd, che è la lunghezza di completo sviluppo fluidodinamico.

Da questa quota xfd in poi, il profilo è completamente sviluppato in forma parabolica, quindi se vado a disegnare il nostro strato limite fluidodinamico, dovrei ottenere una cosa così.

Ad un certo punto, ottengo che δ, lo strato limite fluidodinamico, è uguale al raggio r₀ della tubazione. In tratteggiato c’è lo strato limite fluidodinamico, quindi si parte dall’esterno.

Il numero di Reynolds calcolato su questo diametro sarà u, velocità iniziale, per diametro, diviso ν. Di solito, si identifica la u come um, che sta per velocità media del fluido all’interno della tubazione. Si identifica una portata in massa come ρ per V punto, dove V punto è la portata volumetrica oppure ρ per A per um. A è l’area, quindi se abbiamo una tubazione circolare è ρ per π D²/d per um. Quindi um la possiamo calcolare conoscendo la portata in massa come m punto per 4/ρ π D².

Di solito viene data la portata in massa m punto in kg al secondo, um, velocità media prima dello sviluppo fluidodinamico si calcola in questo modo ed è la stessa velocità media che viene utilizzata per calcolare Reynolds. Siamo in regime laminare quando Reynolds è inferiore a 2300. Mentre quando Reynolds è maggiore di 10 000, siamo in regime turbolento e cambia lo scambio termico.

La lunghezza xfd è identificata in funzione del fluido, della scabrezza delle pareti, ecc. Nell’intervallo che va da 10 a 60. Di solito però è prassi prendere xfd maggiore di 10 volte il diametro. Si ha un completo sviluppo dello strato limite fluidodinamico, quindi andamento parabolico per una coordinata d’ingresso fluidodinamica di 10 volte il diametro della tubazione. Oltre quell’xfd abbiamo un completo sviluppo fluidodinamico.

Cosa succede allo sviluppo termico? Prendiamo sempre un tratto di tubo. Questa volta in ingresso ho il profilo di temperatura T prima di entrare nella tubazione che ha un profilo di forma rettangolare.

Se T è minore rispetto a Ts, quindi ho una temperatura superficiale interna della tubazione costante e maggiore, in questo caso si sviluppa uno strato limite termico. La temperatura a parete diventa Ts > T e poi mano a mano che il fluido percorre la tubazione, si instaura un andamento parabolico con concavità opposta rispetto al caso precedente, quindi da questo punto in poi abbiamo un andamento parabolico completamente sviluppato. Posso individuare uno strato limite termico δt.

Cosa succede per la lunghezza ∞? Da un certo punto in poi, il nostro fluido continuerà ad aumentare di temperatura fino ad arrivare ad un profilo di temperatura costante pari a Ts. La regione termicamente sviluppata si ha da questo punto in poi, quindi possiamo individuare una coordinata di sviluppo termico xt.

In regime laminare, xt diviso D è uguale a 0.05 Reynolds calcolato sul diametro per Prandtl. Quindi questo è regime laminare è minore di 2300 Reynolds.

Mentre in regime turbolento, con Reynolds calcolato sul diametro maggiore di 10 000, il rapporto è uguale a 10. Quindi dopo 10 diametri abbiamo un completo sviluppo termico.

Da un lato abbiamo un profilo di questo tipo di velocità, dall’altro lato abbiamo un profilo termico che è parabolico poi diventa rettilineo, quindi generalmente oltre lo strato di sviluppo sia termico sia fluidodinamico, abbiamo due profili, uno di velocità e uno di temperatura che sono molto differenti tra di loro.

Se prendiamo un pezzo di tubo oltre xfd e xt, quindi c’è un completo sviluppo fluidodinamico e termico, disegno l’andamento di velocità completamente sviluppata, quindi questo è il profilo di velocità u in funzione di r e poi abbiamo un profilo di temperatura che varia in funzione della coordinata x, quindi si modifica ulteriormente. Se consideriamo questo profilo, quindi questa coordinata x specifica, possiamo dire che qui si sta scambiando una certa quantità di flusso termico specifico q’’s, perché ipotizzo Ts della tubazione maggiore rispetto a T₀, cioè la temperatura del fluido prima dell’ingresso della tubazione.

Non si riesce, però si può dire ‘ma perché non considero dei pezzettini, suddivido la mia tubazione in tanti pezzettini infinitesimi di area frontale dAc, nella nostra tubazione sta entrando una portata m punto, quindi per ogni pezzettino di tubazione sta entrando un prodotto ρ per u, dove u è la velocità specifica in funzione del raggio r. Quello che voglio imporre è avere una quantità di energia entrante pari ad un’entalpia che è ρ cp per una temperatura Tb, che è la temperatura di bulk, per um per Ac.

Questo rappresenta una quantità di energia entrante per una temperatura fittizia che si chiama temperatura di bulk e una velocità fittizia che si chiama velocità media. Io mi riporto a condizioni di temperatura media e velocità media. Da un lato abbiamo un’entalpia, ρ cp per una temperatura Tb, um per Ac  invece la possiamo considerare come un’energia cinetica che sta entrando.

Se la voglio descrivere considerando il profilo di velocità, dobbiamo fare l’integrale in Ac di u che dipende da r per ρ per cp per T in dAc. A destra ho i due andamenti, uno di velocità e di temperatura, lo eguaglio ad una quantità a sinistra dove ci sono una temperatura media e una velocità media. Facendo questa uguaglianza, posso calcolare Tb come integrale in Ac, che sarebbe l’area frontale della tubazione, integrale di superficie di u per ρ per cp per T per dAc per T in dAc, diviso ρ cp per um per Ac.

Possiamo semplificare ρ cp, perché consideriamo il fluido a densità costante e il calore specifico costante, quindi facciamo l’ipotesi ρ per cp costante con la temperatura. Possiamo scrivere integrale di superficie di u per T in dAc, diviso um per Ac.

Se consideriamo una tubazione circolare, facciamo un’ipotesi di tubazione a sezione circolare, possiamo riscrivere tutto secondo il raggio, quindi è 2 per u per T per r in dr, diviso um per r₀².

Quindi la temperatura di bulk la calcoliamo considerando l’andamento di temperatura e di velocità paraboliche. Quando vogliamo risolvere i problemi di scambio termico, per semplificarci il problema, non consideriamo un andamento parabolico della temperatura, ma consideriamo il fluido formato da tanti pezzettini alla temperatura Tb. Possiamo discretizzare la nostra tubazione in tante fettine, dove la temperatura media all’interno del fluido Tb è una temperatura per cui si ha lo stesso trasporto di energia all’interno del fluido. D’ora in poi non consideriamo più andamenti di temperatura come questo tipo, ma consideriamo un andamento che sarà più o meno la media, una sorta di velocità media, però fatta sulla temperatura.

Quando vogliamo calcolare lo scambio termico tra un fluido e la tubazione, abbiamo due casi, temperatura superficiale costante e flusso termico specifico fra tubo e fluido costante. Il fluido lo trattiamo a temperatura costante con la sua Tb, quindi vuol dire che in questo caso se abbiamo la temperatura Ts superficiale costante, possiamo calcolare la potenza termica specifica q’’s come h per A per Ts - Tb. Quindi consideriamo il fluido in ogni punto del tubo ad una coordinata x differente, come se avesse lungo la coordinata y quindi lungo tutta la superficie del tubo, un temperatura media Ts tale per cui si abbia lo stesso trasporto di energia.

Prendiamo un tratto di tubazione che viene percorso dalla portata di fluido m punto. Consideriamo un calore specifico a pressione costante cp, costante la temperatura e abbiamo una condizione che può essere di temperatura interna del fluido costante, quindi Ts costante e la chiamiamo condizione 1, in alternativa a questa condizione, possiamo avere una condizione 2 che è q’’s costante. Queste sono nella pratica le due condizioni principali che si possono avere quando si ha un fluido che attraversa un tubo. A prescindere dalla condizione 1 o 2, possiamo sempre fare un bilancio entalpico tra ingresso che chiamiamo con il pedice i e uscita con il pedice u.

Facciamo un bilancio di sistema aperto, immaginando di mettere il volume di controllo come il volume interno della tubazione. Possiamo sempre scrivere che la potenza termica scambiata tra il fluido e la tubazione si scambia per convezione, perché abbiamo un moto quindi abbiamo un solido che scambia calore con un fluido in moto, quindi q convezione. A prescindere dalla condizione 1 o 2, la possiamo sempre calcolare come m punto cp per Tb,u - Tb,i. Non consideriamo variazioni di energia cinetica o potenziale, quindi la potenza scambiata è uguale alla variazione di entalpia che è cp ΔTb, moltiplicati per m punto, quindi abbiamo una potenza termica.

Se invece vogliamo capire cosa succede nella condizione 1 e nella condizione 2 in termini di temperatura, prendiamo un pezzettino infinitesimo di tubo e questo pezzettino avrà spessore infinitesimo dx, entrerà una certa portata di fluido con il suo calore specifico cp alla temperatura Tb dx e uscirà la stessa portata di fluido m punto per cp, però siccome scambia calore o per convezione o a temperatura Ts costante, immagino che la temperatura sia diversa, quindi dopo una certa lunghezza infinitesima dx ho una temperatura Tb alla coordinata x + dx.

Inoltre ho anche lo scambio termico in corrispondenza della parete, quindi immaginiamo lungo tutto il perimetro del tubo. Questo scambio termico lo posso scrivere in maniera infinitesima come dq che è uguale a q’’s per P dx. Se andiamo a risolvere l’equazione di bilancio di energia di questo volumetto infinitesimo, possiamo scrivere due cose, possiamo scrivere partendo da questa, che è dq convettivo = m punto cp per dTb, ma possiamo anche scrivere che dq convettivo è uguale a q’’s per P per dx. Se eguagliamo queste due equazioni, otteniamo che m punto cp dTb è uguale a q’’s P dx.

Porto dx a primo membro, quindi posso scrivere dTb su dx. La derivata della temperatura di bulk rispetto alla coordinata x è funzione del flusso termico specifico scambiato per il perimetro della tubazione per m punto cp.

A questo punto posso verificare le due condizioni che abbiamo visto prima.

Se q’’s è costante, possiamo fare l’integrale da 0 ad L, oppure la generica coordinata x. Integrando, otteniamo che la Tb in funzione della coordinata x è uguale alla Tb in ingresso e la otteniamo facilmente, applicando le condizioni al contorno. Sappiamo che Tb quando x = 0 è uguale a Tb, quindi la costante C₁ è Tb. Questa ci dice com’è l’andamento della temperatura di bulk. Consideriamo la regione completamente sviluppata, abbiamo un andamento rettilineo della Tb e questo invece è l’andamento della Ts, dal punto di vista del completo sviluppo termico.

Abbiamo quindi un ΔT, quando q’’s è costante. Se abbiamo q’’s costante, la derivata è costante quindi questa derivata è una retta e q’’s costante per definizione la possiamo scrivere anche come h per Ts - Tb. Quindi se Tb aumenta linearmente, anche Ts deve aumentare linearmente, per avere q’’s costante a parità di m punto.

Il secondo caso è invece quando abbiamo Ts costante, quindi vediamo l’andamento. E’ di tipo esponenziale e vediamo come facciamo a trovarlo. So che ΔT è Ts - Tb, quindi so che dTb su dx è uguale anche a - dΔT su dx. Facciamo la derivata rispetto a x di ΔT e otteniamo q’’s = h per Ts - Tb. Lo possiamo scrivere anche come h per ΔT, quindi q’’s lo posso andare a sostituire ed è h per ΔT per P, diviso m punto per cp.

Sposto il meno al secondo membro e ottengo h per P, m punto cp dx.

Posso calcolare il coefficiente globale di scambio termico per convezione in questo modo, come 1/L, integrale da 0 a x di h locale per dx. Posso andare a scrivere questo come - P, diviso m punto cp, integrale da 0 ad x di h dx. Vado ad integrare dall’inizio alla fine, quindi avrò ln di ΔTu/ΔTi per la regola dei logaritmi = - P per L diviso m punto per cp per h medio.

Se applico l’esponenziale avrò ΔTu/ΔTi = e elevato alla - P per L, diviso m punto cp per h medio.

Poi posso andare avanti e ottenere l’andamento di Tb, perché ΔTu/ΔTi sarà Ts - Tb in uscita, diviso Ts - Tb in ingresso. Posso tenere Tb in uscita, lo porto a secondo membro, quindi avrò Ts - (Ts - Tb,i) per l’esponenziale di - P per L, diviso m punto per cp per h medio.

Al posto dell’uscita possiamo prendere una qualsiasi coordinata x, quindi ottengo Ts - Tb(x), diviso Ts - Tb,i = e alla - P per x, diviso m punto per cp per h calcolato da 0 ad x.

E quindi abbiamo questo andamento di Tb.

Se voglio calcolare la potenza scambiata, nel primo caso era semplice, perché può essere costante, conosciamo l’area e calcoliamo subito la potenza.

Nel secondo, o calcoliamo se conosciamo m punto per cp, Tb in ingresso e in uscita, possiamo calcolarla anche in un altro modo, quindi con Ts costante, la potenza scambiata per convezione è pari a m punto per cp per Tb in uscita - Tb in ingresso. Posso anche aggiungere nella parentesi un Ts, quindi posso scrivere Ts - Tb in ingresso - Ts - Tb in uscita. Quindi ho aggiunto e ho sottratto Ts dentro alla parentesi tonda. Quello che succede è che posso scriverlo come m punto per cp per ΔT in ingresso - ΔT in uscita.

Avevamo scritto che il logaritmo di ΔTu/ΔTi = - P per L, diviso m punto cp per h medio. m punto cp lo posso anche scrivere come - P per L per h medio, diviso logaritmo di ΔTu/ΔTi, in pratica ho portato m punto cp a sinistra.

Posso sostituire m punto cp e ottengo - P per L, diviso logaritmo di ΔTu/ΔTi per h medio per ΔTi - ΔTu. Quindi q per convezione, il - lo porto dentro alla parentesi, quindi salta fuori che è P per L per h medio per ΔTu - ΔTi, diviso logaritmo di ΔTu/ΔTi. P per L è l’area di scambio termico, è l’area totale. h è il coefficiente di scambio termico medio e poi abbiamo la differenza media logaritmica di temperatura, ΔTlm, uguale a ΔTu - ΔTi, diviso logaritmo di ΔTu/ΔTi. Non ho nessuna influenza in termini di portata e cp, perché l’area è calcolata sulla geometria del problema, h medio vediamo come calcolarlo, ΔTlm è calcolato in base alle temperature, quindi abbiamo a disposizione un’equazione che vale sempre e un’altra, che è quella precedente, che danno dei valori equivalenti.

Ora complichiamo leggermente il problema e diciamo, al posto di avere una tubazione come questa appena vista, abbiamo una tubazione in cui scorre il fluido e una condizione convettiva esterna, cioè la tubazione esposta all’aria ambiente. Quindi il fluido entra sempre con la sua temperatura di mescolamento Tb,i, uscirà con la temperatura di mescolamento Tb,u. Se queste temperature sono differenti, se la temperatura d’ingresso è diversa da T∞, scambierà calore, perché il fluido attraversando la tubazione, la superficie della tubazione sarà ad una temperatura diversa a causa dello scambio convettivo esterno con il fluido esterno.

In questo caso, possiamo sempre applicare una condizione che è simile a quella di Ts costante, perché al posto di Ts devo mettere T∞ e al posto di h devo mettere il coefficiente globale di scambio termico U.

All’aumentare della coordinata x, quindi quando il fluido percorre la tubazione, tenderà a raggiungere la temperatura T∞. L’area è sempre P per L, che chiamiamo As.

Sappiamo che la resistenza totale è 1/U per As.

Avremo 3 resistenze, una certa potenza scambiata q e la prima resistenza convettiva interna, la resistenza conduttiva e la resistenza convettiva esterna. Per interna si intende che il fluido scorre dentro alla tubazione, ci sarà uno spessore s di tubazione che dà luogo ad una resistenza conduttiva. Al posto di As su U possiamo scrivere che ΔTu/ΔTi è uguale a e alla - 1 su RTOT per m punto per cp.

RTOT lo calcoliamo come 1 su h convettivo interno per l’area interna, che è πD per L + ln di ΔTu/ΔTi, 2 π L λ + 1 su A esterna. L’area interna sarà π D interno per L, l’area esterna sarà π D esterno per L.

h, il coefficiente convettivo interno; quello esterno lo abbiamo già calcolato quando abbiamo fatto la convezione, abbiamo visto come calcolarlo se abbiamo un cilindro, una sfera, una parete piana, …

Consideriamo h medio lungo tutta la tubazione, dobbiamo fare Nusselt per λ su L, dove λ è la conduttività del fluido.

Se abbiamo un flusso completamente sviluppato in condizioni laminari, abbiamo superato la regione d’ingresso di sviluppo termico, Nusselt lo calcoliamo come una costante pari a 4.36. La lunghezza caratteristica non è la lunghezza del tubo, ma il diametro esterno quando abbiamo q’’s costante, oppure Nusselt medio vale 3.66 quando abbiamo Ts costante, oppure T∞. In questo caso λ la calcoliamo alla temperatura di mescolamento medio, pari a Tb,u + Tb,i/2. Quindi in funzione del fluido che abbiamo e della temperatura di mescolamento media, troviamo nelle tabelle la conduttività.

Se invece siamo in regime turbolento, completamente sviluppato, quando abbiamo delle differenze tra Ts e Tb poco elevate, meno di 50°C, utilizziamo la correlazione di Dittus-Boelter, che dice che Nusselt è uguale a 0.023 per Reynolds calcolato sul diametro alla ⅘ per Prandtl alla n.

Questa correlazione vale quando Prandtl è contenuto in 0.6 e 160 e Reynolds calcolato sul diametro, che è velocità media per il diametro, diviso viscosità cinematica, deve essere ≥ 10.000, quindi siamo in regime turbolento e quando L/D ≥ 10, quindi la lunghezza della tubazione è almeno 10 volte il diametro.

Il coefficiente n può essere pari a 0.4 se il fluido si riscalda, oppure è 0.3 se il fluido si raffredda. Tutte le altre proprietà, quindi viscosità cinematica e numero di Prandtl, devono essere calcolate alla temperatura di mescolamento media. Tramite questa correlazione, siamo in grado di calere il numero di Nusselt e quindi h, quando la differenza è poco marcata.

Quando siamo oltre, cioè la differenza di temperatura è più elevata, bisogna utilizzare un’altra correlazione. Quindi quando si ha una grande differenza di temperatura tra la superficie del tubo o anche prendere Ts molto simile a T∞, si utilizza una correlazione che si chiama Sieder-Tate, simile alla precedente, che dice che il numero di Nusselt medio è 0.027 per Reynolds calcolato sul diametro alla ⅘ per Prandtl alla ⅓, che moltiplica μ su μs alla 0.14.

Questa vale per Prandtl da 0.7 a 16700, Reynolds calcolato sul diametro ≥ 10 000 e L/D ≥ 10. La differenza in questo caso è che tutte le proprietà devono essere calcolate alla temperatura di mescolamento medio, eccetto μs, la viscosità dinamica che deve essere calcolata alla temperatura Ts, mentre per le altre si utilizza la temperatura di mescolamento media.

Finora abbiamo sempre parlato di tubazioni a sezione circolare. Quando abbiamo una sezione che non è circolare, ma è rettangolare, prismatica, quadrata, triangolare, oppure una sezione a corona circolare, quindi il fluido scorre esternamente alla tubazione 1. In tutti questi casi possiamo utilizzare il diametro equivalente idraulico, che si calcola come 4 volte l’area, diviso il perimetro. Il perimetro bagnato sarà la circonferenza interna  + la circonferenza esterna. Possiamo risolvere i problemi con tubazioni sempre circolari, ma a sezione diversa. Funziona bene questo metodo del diametro idraulico per angoli non troppo accentuati.

Quando abbiamo degli angoli molto accentuati, sotto i 20°C, iniziamo ad avere degli errori abbastanza elevati. In tutti gli altri casi, possiamo calcolare il coefficiente convettivo partendo dal numero di Reynolds, valutato sul diametro equivalente e anche nel calcolo di Nusselt utilizziamo sempre il diametro equivalente. Quindi quando dobbiamo fare h = Nusselt su λ, che è la conduttività del fluido, diviso il diametro equivalente.

Non solo l’applicazione automobilistica è importante, immaginiamo l’impiantistica industriale. L’acqua calda che si usa nelle case viene riscaldata attraverso l’utilizzo di uno scambiatore di calore, oppure a livello industriale, immaginiamo un ciclo di potenza con una turbina, quindi il classico ciclo Rankine. Il fluido di lavoro deve essere riscaldato nella caldaia e raffreddato nel condensatore, tramite gli scambiatori di calore, che si trovano anche nei frigoriferi in casa; la serpentina che si trova dietro al frigorifero è un condensatore, è uno scambiatore di calore che serve a condensare il fluido.

Generalmente, il più semplice scambiatore di calore è lo scambiatore tubo in tubo, che nella pratica non è tanto utilizzato, perché non è così efficiente.

Quindi nello scambiatore tubo in tubo, entra il fluido o caldo o freddo con portata m₁ punto, percorre la tubazione ed esce dall’altra parte sempre con la portata m₁ punto. Se metto il fluido, chiamato fluido 2, entra nello scambiatore ad una certa portata m₂ punto ed esce con la portata m₂ punto.

Studiamo gli scambiatori di calore in regime stazionario, quindi consideriamo queste portate costanti nel tempo. Il fluido 1 attraversa il tubo e il fluido 2 attraversa una sorta di corona circolare. Lo scambio termico tra due fluidi se sono a temperatura diversa avviene attraverso questa intercapedine metallica, quindi attraverso un tubo metallico.

Di solito la parte esterna si considera adiabatica, quindi gli scambiatori sono bene isolati esternamente, quindi il fluido 2 non scambia calore con l’ambiente esterno. Lo scambio di calore avviene solo tra fluido 1 e fluido 2, attraverso una tubazione di spessore molto piccolo.

• Se i due fluidi hanno direzione di attraversamento coincidente, si parla di scambiatore tubo in tubo equicorrente, perché tutte e due vanno da sinistra verso destra.

• Se invece un fluido si sposta in una direzione e l’altro fluido si sposta nella stessa direzione, ma di verso opposto. Immaginiamo di cambiare direzione del fluido 1 e farlo andare da destra verso sinistra, si parla di scambiatore tubo in tubo controcorrente.

Quindi stessa geometria, siamo noi che li utilizziamo in maniera diversa. Invece di creare un flusso da sinistra verso destra, lo creiamo andando a pompare il fluido 1 da destra verso sinistra. Mentre il fluido 2 è uguale. Non è detto che per forza deve essere il fluido 1, potrebbe essere anche il fluido 2, quindi possiamo spostare il verso del fluido 2, ottenendo sempre uno scambiatore controcorrente. Quindi in generale, quando si ha la stessa direzione, verso uguale, equicorrente; stessa direzione e verso opposto, controcorrente.

Questo è quello più semplice in assoluto, esistono degli scambiatori più efficienti e anche più resistenti, per esempio allo sporco. Se per esempio si depositano della ruggine o del calcare, questi possono andare a ridurre lo scambio termico.

Esistono delle soluzioni tipo scambiatore a tubi e mantello. Si hanno dei tubi dove scorre il fluido 1 che entra dal basso attraverso lo scambiatore dentro tanti tubicini e poi esce dall’alto. Il fluido 2 invece entra attraverso lo scambiatore da sinistra verso destra e poi esce dal basso, quindi lo scambio termico avviene tra i tubi e tanti intercapedini che si formano. Questo è molto più efficiente perché nello stesso spazio che ha uno scambiatore di calore tubo in tubo, si riesce ad avere una maggiore area di scambio termico.

In sezione, abbiamo tanti tubi concentrici, nei quali scorre il fluido 1, il mantello invece quello esterno, è isolato verso l’esterno. Quindi non c’è scambio di calore tra la parete esterna e la parete, si ipotizza uno scambio termico nullo. Nei tubi scorre il fluido 1 e nel mantello scorre il fluido 2.

I radiatori dell’auto sono scambiatori di calore a correnti incrociate. Abbiamo un flusso d’aria che investe il radiatore, in questi tubi scorre del fluido nel motore. Vedendolo lateralmente, questi tubi attraversano una serie di lamelle e quindi il fluido attraversando i tubi, scambia calore prima con la superficie del tubo, e i tubi stessi scambiano calore attraverso le alette di raffreddamento con l’aria esterna. C’è un flusso d’aria che raffredda il pacco di lamelle. Questo è quello che si utilizza di più quando abbiamo un fluido con un basso calore specifico e con bassa densità come aria, che deve scambiare calore con un fluido tipo olio o tipo acqua ad alto calore specifico e densità.

Poi esistono delle varianti, ci sono quelle a correnti incrociate con doppio tubo, triplo tubo, oppure gli scambiatori di calore a piastre, in cui il fluido 1 entra ed esce dalle tubazioni di sinistra, il fluido 2 entra ed esce dalle tubazioni di destra. Se facciamo una sezione, ci sono tante piastre, è tipo una versione dei tubi e mantello bidimensionale. In alcune intercapedini scorre il fluido 1, che va dall’alto verso il basso, il fluido 2 entra e scorre dal basso verso l’alto. Uno è caldo e uno è freddo, si ha un contatto indiretto attraverso una parete metallica, quindi l’area di scambio termico è molto elevata, perché è pari all’area dello scambiatore stesso. L’area di scambio termico sarà b • h per il numero di piastre. Quindi in pochissimo spazio abbiamo una grande area di scambio termico.

La potenza scambiata è A per U per ΔT. Più è alta questa potenza scambiata, a parità di h e ΔT, più è alta l’area di scambio termico, maggiore è la potenza scambiata.

Andiamo a studiare dal punto di vista dello scambio termico, prendendo il caso del tubo in tubo. Semplifichiamo la geometria dello scambiatore di calore e identifichiamo due volumi di controllo, un fluido caldo e un fluido freddo. Immaginiamo che si abbia una portata mc punto ad una temperatura Tc,i, poi abbiamo una portata mf punto e Tf,i, dove c sta per caldo e f sta per freddo.

In uscita abbiamo una portata mc punto ad una temperatura Tc,u, poi abbiamo una portata mf punto e Tf,u. Esternamente è adiabatico, quello che avviene è lo scambio termico dal caldo verso il freddo q.

Ipotizziamo i due fluidi a calore specifico a pressione costante, quindi chiamiamo cp,c il calore specifico a pressione costante del fluido caldo e cp,f il calore specifico a pressione costante del fluido freddo. Per semplicità li poniamo costanti e questa è un’ipotesi valida se le ΔT in ingresso e in uscita non sono molto elevate.

Quindi la potenza scambiata sarà mc punto per cp,c per Tc,i - Tc,u. Ci sarà un piccolo spessore metallico ad alta conduttività, quindi una resistenza termica quasi nulla. Questa potenza termica viene ceduta dal fluido caldo verso il fluido freddo, quindi possiamo scrivere mf punto per cp,f per Tf,u - Tf,i. Se vogliamo q positivo, il fluido caldo si raffredda quindi Tc,i è maggiore di Tc,u, allora abbiamo q positivo. 

q lo possiamo scrivere anche come Cc, cioè capacità termica istantanea del fluido caldo oppure Cf, cioè capacità termica istantanea del fluido freddo, che moltiplica Tc,i - Tc,u e il secondo moltiplica Tf,u - Tf,i.

Possiamo utilizzare la capacità termica istantanea e l’andamento di temperatura, se L è la lunghezza dello scambiatore, l’andamento della temperatura del fluido caldo cala, perché cede calore al fluido freddo all’infinito, quindi per x di T∞, arriverei alla stessa temperatura, quindi mi aspetto che ΔTu arrivi a 0.

Calcoliamo la potenza termica scambiata q, conoscendo le temperature e le portate in massa e i calori specifici, però la potenza scambiata da questo scambiatore è anche uguale a U per A per ΔTml.

U è il coefficiente globale di scambio termico tra il fluido 1 e il fluido freddo, A è l’area di scambio termico, quindi possiamo scrivere che RTOT è uguale a 1/U per A. Usiamo ΔTml perché per ogni coordinata x dello scambiatore, ΔT varia, quindi ci vuole il ΔTml che permette il calcolo della potenza termica scambiata; U per A di solito sono dei dati di progetto dello scambiatore di calore, prestazioni. ΔTml è una differenza di temperatura media logaritmica che, come abbiamo fatto per la temperatura di bulk, dà un valore di differenza di temperatura tale per cui faccio quadrare i conti. Quindi è una differenza di temperatura media che mi serve per il calcolo della potenza e non è costante, quindi bisogna fare una sorta di media su tutta la superficie, cioè la media logaritmica.

La resistenza termica totale è 1/h del fluido caldo per l’area di scambio termico del fluido caldo + la resistenza conduttiva + 1/h del fluido freddo per l’area di scambio termico del fluido freddo. Scrivo area conduttiva perché dipende dalla geometria, quindi se abbiamo una geometria cilindrica, ci vuole una resistenza per la geometria cilindrica. Se siamo in geometria piana come in questo caso, ci vuole una resistenza in geometria piana. La resistenza convettiva interna ed esterna dipende dal moto del fluido, dalla temperatura del fluido e di solito si riesce ad ottenere tramite le correlazioni di Dittus-Boelter per i flussi interni. L’area se siamo in geometria piana è la stessa, se siamo in geometria cilindrica, quindi uno scambiatore di calore dove il tubo è cilindrico, nel tubo centrale ad esempio scorre il fluido caldo e nella corona circolare esterna scorre il fluido freddo, in quel caso 1/U per A è uguale a 1/U interno per l’area interna + 1/U esterno per l’area esterna.

Se lo spessore s di questo tubo è molto piccolo, quasi tendente a 0, possiamo identificare una sola area di scambio termico, quindi U equivale circa 1/h interno + 1/h esterno, solamente se s è molto piccolo, quindi ad esempio se s è di pochi millimetri e il tubo è di 100/200 mm. Se lo spessore è circa l’1% del diametro, è molto conduttivo, quindi la resistenza conduttiva è il logaritmo di d esterno d interno su 2 π L per λ del materiale, se λ è molto alto e d esterno è molto vicino a d interno, questa tende a 0, quindi la possiamo eliminare dalla rete delle resistenze e approssimare il coefficiente globale di scambio termico U in questo modo. h interno e h esterno li calcoliamo con il numero di Nusselt dei flussi interni.

Facciamo la dimostrazione del ΔTml, cioè differenza media logaritmica di temperatura. Per farla, dobbiamo prendere un pezzettino infinitesimo come abbiamo fatto quando abbiamo calcolato lo scambio termico di un flusso interno. Dobbiamo prendere un pezzettino infinitesimo dx, avrò Tc + dTc in ingresso e Tf + dTf in uscita.

Avrò una capacità termica instantanea a caldo, una a freddo, temperatura Tc e Tf.

Lo scambio termico infinitesimo è dq, dal fluido caldo al fluido freddo. Scambia calore attraverso l’area infinitesima.

Posso scrivere per il fluido caldo che dq = - Cc per dTc, c’è il - perché il fluido caldo, siamo nel caso equicorrente, cala, quindi il calore sta uscendo, quindi il fluido caldo sta andando verso il fluido freddo, infatti dq che va verso il fluido freddo è Cf per dTf.

ΔT è Tc - Tf, quindi se vogliamo fare il differenziale dΔT sarà dTc - dTf. dTf è dq su Cf e Cc è -dq su Cc. Posso portare fuori il meno e ottengo -dq che moltiplica 1 su Cc + 1 su Cf. Questo dq lo scriveremo come U per ΔT per dA, dove dA è l’area infinitesima di scambio termico, U è il coefficiente globale di scambio termico, ΔT è il ΔT alla coordinata x. Da cui posso andare a sostituire ΔT, quindi scrivo dq = U per dA per ΔT, dΔT = - U per dA per ΔT per 1 su Cc + 1 su Cf.

dΔT/ΔT è uguale a -U per dA per 1 su Cc + 1 su Cf. Faccio l’integrale, quindi chiamo l’ingresso sezione 1 e l’uscita sezione 2. Faccio un integrale da 1 a 2 di dΔT su ΔT, che è uguale a -U che moltiplica 1 su Cc + 1 su Cf, integrale tra 1 e 2 di dA.

Otterrò il logaritmo di ΔT₂ su ΔT₁, uguale a -U per A per 1 su Cc + 1 su Cf. Prima ho scritto che q era Cc per Tc,i - Tc,u, uguale a Cf per Tf,u - Tf,i. Quindi 1 su Cc lo posso scrivere come Tc,i - Tc,u, diviso q e 1 su Cf lo posso scrivere come Tf,u - Tf,i, diviso q.

Lo vado a sostituire di sopra e diventa -U per A per Tc,i - Tc,u, diviso q + Tf,u - Tf,i, diviso q.  Tc,i - Tf,i sono ΔT₁, - Tc,u - Tf,u sono ΔT₂. Quindi questo lo possiamo scrivere come - U per A, diviso q, che moltiplica ΔT₁ - ΔT₂. Ricordiamo che questo è il logaritmo di ΔT₂ su ΔT₁. q sarà uguale a U per A per ΔT₂ - ΔT₁, perché c’è il segno - fuori, diviso ln di ΔT₂ su ΔT₁.

Possiamo calcolare la potenza, conoscendo la temperatura di ingresso e di uscita e le caratteristiche dello scambiatore e quindi il coefficiente globale di scambio termico. Questo è l’andamento del caso equicorrente.

Nel caso controcorrente si può fare una dimostrazione simile. L’andamento in controcorrente sempre tubo in tubo; i fluidi vanno da sinistra verso destra, poi abbiamo il fluido caldo che va da sinistra verso destra e il fluido freddo che va da destra verso sinistra.

Nello stesso scambiatore, si può notare come la temperatura di uscita del fluido freddo è più elevata della temperatura di uscita del fluido caldo. Quindi con lo scambiatore controcorrente possiamo arrivare fino a queste prestazioni molto più elevate dell’equicorrente. In questo caso, lo scambio termico controcorrente è molto maggiore perché ΔTml è pari a ΔT₂ - ΔT₁, diviso logaritmo di ΔT₂ su ΔT₁. In questo caso è molto maggiore del ΔTml in equicorrente. Essendo maggiore, a parte di area, la potenza termica è maggiore.

Quindi uno scambiatore controcorrente utilizzato in maniera controcorrente è sempre più efficiente di uno scambiatore gemello, utilizzato equicorrente.

Nel caso controcorrente, il calcolo del ΔTml è uguale, come prima, solo che prima i fluidi entravano tutti e due da un verso e uscivano tutti e due dall’altro verso, qui invece è il contrario.

Poi abbiamo dei casi più particolari, in cui possiamo avere un fluido caldo in condensazione (a). La sua temperatura rimane costante e la temperatura del fluido freddo aumenta lungo lo scambiatore, fino a completata transizione di fase. Quando poi questo cambierà di fase, allora si raffredderà. Di solito, in questi casi, la potenza scambiata dal fluido che condensa è m punto per Δh, calcato come m punto per h₂ - h₁. Questa è la variazione di entalpia che si ha nel fluido che condensa. Può condensare del tutto fino ad arrivare a liquido saturo, oppure può condensare, se siamo sotto alla campana di Andrews, nel diagramma di Andrews, il fluido che condensa a fine espansione, possiamo arrivare fino alla completa condensazione.

Oppure in alcuni casi non arriviamo fino a completa condensazione, quindi dobbiamo calcolare Δh tra situazione finale e situazione iniziale. In questi casi, equicorrente e controcorrente è dato dalla stessa prestazione, perché sia che il fluido vada da una parte o dall’altra, il risultato non cambia, quindi le due modalità di funzionamento sono analoghe.

Abbiamo poi il caso speculare, del fluido che invece sta evaporando (b). In questo caso il fluido freddo sta evaporando, quindi sta aumentando la sua entalpia. Immaginiamo di avere il ciclo Rankine, passando da un punto all’altro. Il fluido freddo sta evaporando, sta passando dal liquido saturo a vapore saturo secco, grazie ad un fluido più caldo, che sono i gas di combustione nel generatore di vapore, quindi c’è un fluido più caldo che si raffredda cedendo calore al fluido freddo. Anche qui, se dobbiamo andare da una parte o dall’altra, è indifferente perché il fluido rimane a temperatura costante, finché non si raggiunge la completa vaporizzazione e q si può calcolare come m punto del fluido freddo per Δh, e dipende dalle potenze in gioco.

Se arriviamo a completa evaporazione, abbiamo h₂ - h₁. Δh è anche detta entalpia di vaporizzazione, che è uguale all’entalpia di condensazione alla medesima pressione, se lo scambiatore è dimensionato per fare questo salto, ma di solito sì.

La pendenza delle curve dipende dalla capacità termiche istantanee, più sono pendenti, minore è la capacità termica. Infatti, in caso di evaporazione e condensazione abbiamo una capacità termica istantanea Cf che tende ad infinito. 

Quando siamo in condensazione, oppure in evaporazione, la capacità termica è come se fosse infinita e maggiore è la pendenza, minore è la capacità termica in generale.

Per passare da geometrie semplici tubo in tubo, a geometrie più complesse, possiamo utilizzare il fattore correttivo F, quando abbiamo scambiatori a tubi e mantello o a correnti incrociate. Abbiamo un solo tubo che entra ed esce, entra con ti ed esce con tu sopra. Ci sono dei setti che permettono un completo scambio termico.

ΔTml è uguale al fattore correttivo F per ΔTml del caso controcorrente, quindi Tu - Ti è ΔT₁ e ΔT₂ è Ti - Tu. Per calcolare F, si deve utilizzare un grafico dove in x abbiamo un parametro P che è funzione delle temperature e in y abbiamo il fattore correttivo F e ci sono tante curve di questo tipo, ognuna di queste per un valore di R, anch’esso calcolato in funzione della temperatura, in particolare R lo calcoliamo come Ti - T₀, diviso tu - ti.

P lo calcoliamo come tu - ti, diviso Ti - ti. Calcoliamo R, quindi scegliamo la curva che ci interessa, calcoliamo P sulle x, tiro una linea verticale fino ad incontrare la curva che mi interessa, poi tiro una linea orizzontale. Troviamo F e a quel punto si può calcolare q come U per A per ΔTml.

L’altro fattore correttivo si può utilizzare con lo scambiatore a correnti incrociate, quello di tipo automobilistico. Anche lì cambia la geometria del problema. Il procedimento è analogo, si calcola P, R, poi si va sul grafico per estrapolare il valore di F, che si mette nel calcolo del ΔTml. Non è lo stesso grafico, ma è diverso, perché lo scambiatore ha una geometria differente.

Tramite la differenza media di temperatura, posso risolvere problemi di dimensionamento degli scambiatori, perché se io conosco le temperature, quindi conosco le portate m punto del fluido caldo e del fluido freddo, conosco il cp del fluido caldo e del fluido freddo e impongo le temperature d’ingresso e d’uscita del fluido caldo e del fluido freddo, tramite la ΔTml, cioè la differenza media logaritmica di temperatura, posso calcolare la potenza come mc punto caldo per T caldo in ingresso - T caldo in uscita.

Il ΔTml è ΔT₁ - ΔT₂, diviso il logaritmo. Quindi posso andare a ricavare il prodotto U per A, che è l’incognita del problema. Quindi posso risolvere i problemi di dimensionamento e conoscere quanto grande fare lo scambiatore, soprattutto l’area di scambio termico.

Se voglio risolvere problemi invece di efficacia, cioè ho uno scambiatore già fatto e voglio capire come si comporta, date le portate, le capacità termiche e i calori specifici, posso utilizzare il metodo ε-NTU.

La differenza media logaritmica di temperatura è il rapporto tra una differenza di temperatura sul logaritmo che, negli scambiatori di calore, serve per dimensionarli. Se impostiamo le portate dei fluidi che scorrono all’interno dello scambiatore e le temperature d’ingresso e d’uscita, possiamo arrivare al calcolo del prodotto U per A, cioè per dimensionare lo scambiatore di calore. Cosa diversa invece si fa con il metodo ε-NTU.

In questo caso, il prodotto U per A  è la quantità nota, mentre non sono note le temperature di uscita del fluido. Sono note le temperature d’ingresso, quindi Tc in ingresso e Tf in ingresso. Non sono note Tc in uscita e Tf in uscita. Immaginiamo di conoscere anche le portate e i calori specifici, quindi conosciamo le capacità termiche istantanee Cc e Cf. Come facciamo a calcolare le temperature d’uscita, quindi come facciamo a calcolare la potenza termica scambiata? Questo metodo ε-NTU è un metodo per analizzare le prestazioni degli scambiatori di calore.

Si dice che l’efficacia ε di qualsiasi scambiatore di calore si può calcolare come la potenza termica scambiata Q punto o q, diviso la potenza termica massima scambiabile.

La potenza massima scambiabile è pari al calore specifico minimo, quindi dobbiamo scegliere il minimo tra la capacità termica del fluido caldo e la capacità termica istantanea del fluido freddo. Dobbiamo calcolare, facendo il minimo tra i due, moltiplicato per la differenza massima di temperatura, che è ΔT. Da un lato dello scambiatore sarà Tc in ingresso - Tf in ingresso. Queste due temperature sono note, perché sappiamo le condizioni iniziali dei due fluidi, quindi le capacità termiche istantanee sono note, quindi Qmax lo possiamo ottenere. A questo punto ε è calcolabile in funzione di un parametro NTU e di un parametro Cr.

Cr è il rapporto Cmin su Cmax, quindi il minimo tra Cc e Cf, diviso il massimo tra Cc e Cf.

NTU invece, Number of Thermal Units, è U per A, diviso il minimo tra Cc e Cf.

Per scambiatore equicorrente tubo in tubo abbiamo che ε (non bisogna ricordarlo a memoria, perché se occorre è dato nello scritto) è 1 - e alla - NTU per 1 + Cr, diviso 1 + Cr.

Controcorrente invece è uguale a 1 - e alla -NTU per 1 - Cr, diviso 1 - Cr per e alla - NTU per 1 - Cr.

Da queste due forme, funzione di NTU e Cr noti, possiamo calcolare ε e quindi possiamo calcolare la potenza termica Q punto come ε per Qmax punto, che sarà uguale anche a Cf che moltiplica Tf in uscita - Tf in ingresso, quindi da questa formula posso ricavare Tf in uscita, ma è anche uguale alla Cc, che moltiplica Tc in ingresso - Tc in uscita, quindi da questa posso ottenere la temperatura del fluido caldo in uscita che non conoscevo.

Al posto delle funzioni, potevamo utilizzare dei metodi grafici, che valgono per diverse tipologie di scambiatori. Vediamo il caso del tubo e mantello. Abbiamo due fluidi, il fluido lato mantello e un fluido lato tubi. Esistono dei grafici ε-NTU. Ognuna di queste curve è per un rapporto Cr, quindi ad esempio = 0, 0.25, 0.50, 0.75, o 1. Per calcolare ε, calcolo il numero NTU, quindi una volta calcolato questo valore, lo identifico sulle ascisse poi tiro una linea verticale fino ad incrociare la curva Cr che mi interessa. Quindi calcolo Cr, in questo caso ho Cr = 0.25, poi traccio una linea orizzontale e arrivo a trovare il valore di ε = 0.9. Quindi in questo problema NTU è 2, Cr è 0.25. In questo modo ottengo direttamente sul grafico il valore di ε.

Ci sono alcuni problemi dove ε viene dato o è noto, oppure viene data la potenza termica scambiata Q punto e tutti gli altri valori, quindi si riesce a calcolare ε e si può interpretare il grafico a ritroso, cioè conoscendo Cr, conoscendo ε, si può calcolare NTU, che è U per A, diviso il minimo. Quindi si può ricavare U per A.

ε non può superare l’unità e il valore Cr = 0 si ha quando uno dei due fluidi è in transizione di fase, proprio perché Cr è il rapporto tra la minima capacità termica instantanea e la massima, se un fluido è in transizione di fase, la sua capacità termica istantanea tende ad infinito, quindi Cr tende a 0.

Se per esempio il fluido freddo è aria e il fluido caldo è vapore d’acqua in condensazione, avremo un certo valore Cf che sarà pari a Cmin, mentre per il fluido avremo un certo valore di Cc, che sarà tendente ad infinito, per cui Cr è Cmin, diviso Cmax, che sarà tendente a 0, per cui dobbiamo prendere la curva più alta.