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F

Der Deformationsgradient FFF ist eine Tensorgröße, die die lokale Deformation eines Kontinuums beschreibt. Er gibt an, wie sich ein Punkt im Material unter einer Deformation verschiebt und wie die ursprüngliche Form verändert wird. Mathematisch wird er definiert als der Gradient der Verformung:

x ist der Ortsvektor der deformierten Konfiguration,

X ist der Ortsvektor der Ausgangskonfiguration.

Er beschreibt sowohl Streckung asl auch Drehung eines infinitesimalen Materialelements

Ist nicht invariatn gegenüber starren Körberbewegungen (Drehung/Verschiebung).

-> Formulierung von Materialgesetzten mit Verzerrungstensoren wie Green-Lagrange (E)

C

Multiplikation der starken Differentialgleichung mit einer beliebigen Testfunktion v ∈ V(Ω)

Integration über den Bereich Ω, auf den die PDGL definiert ist

Anwendung partieller Integration

->Kann nicht differenzierbare Lösungen haben

1. Problem formulieren (PDGL, RB,AB)

2. Diskretisierung

3. Ansatz und Testfunktionen

4. Testfunktionen müssen im gleichen Raum wie Ansatzfunktionen liegen und RB erfüllen

5. Aufstellen schwache Formulierung

   1. DGL mit Test Funktion multiplizieren + über Gebiet integriern

6. Gleichungssystem Aufstellen

7. Gleichungssystem numerisch lösen

8. Post Processing (Analyse und Visualisierung)

1. Die Testfunktion vvv muss im Allgemeinen dieselben Regularitätseigenschaften haben wie die gesuchte Lösung u.

2. Häufig wird gefordert, dass die Testfunktion in den Randpunkten, an denen Dirichlet-Randbedingungen vorliegen, verschwindet. Das bedeutet, v=0v = 0v=0 an diesen Rändern.

Galerkin-Orthogonalität besagt, dass der Fehler e=u−uke = u - u^ke=u−uk in der schwachen Formulierung orthogonal zum Raum der Testfunktionen V:

u = reales Ergbeniss der DGL

uk = numerisches Ergebniss der DGL

c = Konstante

h = Größe der FE Eelemente

p = Ordnung der Ansatzfunktion

Galerkin Mehtoden helfen Fehler zu analysieren und Abzuschätzen.

A-Priori Feherleabschätzung gibt Vorstellung wie der Fehler abhängig von Netzgröße und Orndung der Ansatzfunktion schrumpft/wächst.

Es sind:

Ωe Das Gebiet des Elements e

B der Verzerrungs-Nabla-Matrixoperator (enthält Ableitungen der Ansatzfunktionen)

C Der Materialtensor der linearen Elastizität

F= Vektor aller Kräfte

K= Steifigkeitsmatrix

u= Vektor aller Verschiebungen

Globale Steifigkeitsmatrix wird aus den lokalen Steifigkeitsmatritzen der einzelnen Knoten der einzelnen Elemente zusammengefügt

1. Lokalität: Die Ansatzfunktionen sind nur in dem jeweiligen Element definiert und nur dort von 0 verschieden.

2. Interpolatorische Eigenschaften: Die Ansatzfunktionen nehmen in den Knoten des Elements den Wert 1 an in allen anderen Knoten den Wert 0.

3. Kontinuität: Die Ansatzfunktionen müssen in bestimmten Sobolev-Räumen H^1 definiert sein, um die notwendige Kontinuität für die Lösung von Problemen wie der Poissongleichung oder linearer Elastizität zu gewährleisten.

4. Formfelxibilität: Die Ansatzfunktionen passen sich der Form des Elements an, da sie isoparametrisch sind. d.h. beschreiben die gleichen Funktionen sowohl die Form des Elements als auch seine physikalischen Eigenschaften.

Generelle Form:

PHI=1/4 (η1-1)*(η2-1)

mit *(-1) Für Knoten mit unterscheidlichen VZ an den Koordinaten

Gauß Quadratur

Es ist:

ηk​ : Stützstellen der Quadraturregel

αk : Die zugehörigen Wichtungsfaktoren

u^h(ηk​): Die Funktionswerte an den Stützstellen

Das Isoparametrische Konzept dient um die Gemoetrie von Elemneten und die Interpolation z.b. von Verschiebungen mit den selben Ansatzfunktionen zu beschreiben.

Besonders wichtig in Fällen in denen die Elemente komplexe Gemoetrien haben.

1. Darstellung der physikalischen Koordinaten X1,X2 als Funktion isoparametrischer Koordinaten η1​,η2 (typischerweise in normierten Bereich (-1,1) definiert)

2. Geometrie Interpolation: Interpolationd der Knotenpunkte des Elements und der Felder über die Ansatzfunktionen

   1. Darstellung der phsysichen Koordinaten über die Isoparametrischen

3. Die Transformation von isoparatmetrisch nach physisch wird wird von der Jacobi Matrix J aus den partiellen Ableitungen der X nach den η besteht

Eckknoten:

PHI(η)= 1/4 η1 (η1+-1) η2 (η2+-1)

(+-1: -1 wenn η negativ, +1 wenn η positiv)

Zentralknoten:

PHI(η)= (η1-1)(η1+1)(η2-1)(η2+)

Strekckenknoten:

PHI(η)= -1/2*ηx (ηx+-1)(ηy-1)(ηx+1)

ηx=+-1, ηy=0, +-1: VZ wie bei ηx