Fachbegriffe

• Observation

• entries

Sind die Zahlen der Zeilen in einer Datenmatix

• columns

Anzahl der Spalten

• Der Befehl attach(wage1) bewirkt, dass der Datensatz wage1 in den Suchpfad von R aufgenommen wird.

• Dies bedeutet, dass du direkt auf die Spalten von wage1 zugreifen kannst, ohne den Datensatznamen explizit angeben zu müssen.

• Histogramm

• Mit einem Histogramm kannst du erkennen, wie die Daten verteilt sind, z. B. ob sie normalverteilt sind, Schiefe haben oder multimodal sind (mehrere Peaks)

1. Box:

   • Die Box repräsentiert die Interquartilsspanne (IQR), also den Bereich, der die mittleren 50 % der Daten abdeckt.

   • Der untere Rand der Box zeigt das erste Quartil (Q1) (25. Perzentil) an.

   • Der obere Rand der Box zeigt das dritte Quartil (Q3) (75. Perzentil) an.

2. Median:

   • Die mittlere Linie in der Box ist der Median, der 50. Perzentilwert, also der Wert, bei dem 50 % der Daten kleiner und 50 % der Daten größer sind.

3. Whiskers (Antennen):

   • Die Linien, die von der Box nach oben und unten führen, sind die Whiskers. Sie erstrecken sich normalerweise bis zu 1,5-mal der Länge des IQR (Interquartilsabstand).

   • Sie zeigen den Bereich, in dem die meisten der restlichen Datenpunkte (außer Ausreißern) liegen.

4. Ausreißer:

   • Punkte außerhalb der Whiskers sind potenzielle Ausreißer, also Datenpunkte, die ungewöhnlich weit von den übrigen Werten entfernt sind. Diese werden im Diagramm als einzelne Kreise dargestellt.

1. Oberservationen in der Box (50%)

2. Median = fetter Strich in der Mitte der Box

3. Spannweite = Maximum - Minimum

4. Antennen: Besonderheiten z.B. Abgeschnitten. Berechnung: IQA=Q3-Q1

   Unterer Wisker: Q1-(1,5*IQR)

   Oberer Wisker: Q3+(1,5*IQR)

5. Interquatilsabstand (IQA)

6. Ausreißer (oben, unten)

Erstellt ein Balkendiagramm, das die Verteilung einer Variablen zeigt, wobei die Höhe jedes Balkens die Anzahl der Beobachtungen in jeder Kategorie von der gewählten Variable darstellt.

Beispiel: gf_bar(~educ)

• Streudiagramm

• Erstellt ein Streudiagramm, die Beziehung zwischen zwei numerischen Variablen zeigt. Es hilft zu visualisieren, ob es einen Zusammenhang oder eine Korrelation zwischen diesen beiden Variablen gibt.

Beispiel plot(wage,educ)

Merken an welcher Position welche Variable steht

1. x-Achse: Unabhängige Variable (manipulierte oder vorgegebene Größe).

2. y-Achse: Abhängige Variable (Größe, die als Reaktion auf die unabhängige Variable gemessen wird). Reaktion auf x-Achse

Merkhilfe:

Du kannst dir merken, dass die x-Achse in einem Diagramm immer den Ursprung (0) darstellt und der Auslöser für Veränderungen ist. Die y-Achse zeigt dann das Ergebnis oder die Reaktion auf diese Veränderung

Dies ist die Funktion in R, die die Korrelationskoeffizienten zwischen zwei Variablen berechnet

Beipsiel: cor(educ,wage)

Die Korrelation misst den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen und ergibt einen Wert zwischen -1 und +1:

• 0-0,4: schwach posiziver Zusammenhang

• +1: starke positive Korrelation – Wenn educ zunimmt, nimmt auch wage proportional zu.

• 0-(-0,4):schwacher negativer Zusammenhang

• -1: starke negative Korrelation – Wenn educ zunimmt, nimmt wage proportional ab.

• 0: Keine lineare Korrelation – Es gibt keinen linearen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen.

• Sind Vorhersagen (typischerweise durch ein Modell erzeugt), die mit Daten getestet werden können.

• Eine Hypothese ist eine vermutete Erklärung oder eine Vorhersage über einen Zusammenhang zwischen Variablen, die getestet werden kann. Sie dient als Ausgangspunkt für wissenschaftliche Untersuchungen und Experimente. Hypothesen sind grundlegende Bestandteile der wissenschaftlichen Methode und ermöglichen es Forschern, Annahmen systematisch zu überprüfen.

  Merkmale einer Hypothese:

  1. Testbarkeit: Eine Hypothese muss so formuliert sein, dass sie empirisch überprüft werden kann. Sie muss messbare oder beobachtbare Größen enthalten.

  2. Falsifizierbarkeit: Eine Hypothese muss widerlegbar sein. Es muss möglich sein, durch Experimente oder Beobachtungen zu zeigen, dass die Hypothese falsch ist, falls sie es ist.

  3. Spezifität: Eine Hypothese sollte präzise formuliert sein, sodass klar ist, welche Beziehung zwischen den Variablen erwartet wird.

  Arten von Hypothesen:

  1. Nullhypothese (H₀):

     • Die Nullhypothese ist eine Aussage, die besagt, dass es keinen Effekt oder keinen Unterschied zwischen den untersuchten Variablen gibt. Sie stellt den Standard dar, der widerlegt werden muss.

     • Beispiel: „Es gibt keinen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Bildungsjahre und dem Lohn.“

  2. Alternativhypothese (H₁):

     • Die Alternativhypothese ist die Gegenaussage zur Nullhypothese und behauptet, dass es einen Effekt oder einen Zusammenhang gibt.

     • Beispiel: „Es gibt einen positiven Zusammenhang zwischen der Anzahl der Bildungsjahre und dem Lohn.“

Für die Klausur:

• H_0: beta_1 =0:

• H_A: beta_1 ungleich 0

• H_A: beta_2 ungleich 0

Der Befehl tally(~) in R wird hauptsächlich verwendet, um die Häufigkeit von Werten in einer Variablen oder den Anzahl der Zeilen in einem Datensatz zu zählen.

• Forscher:in muss unabhängig sein

• Keine subjekiven Analysen

Ein Messinstrument ist objektiv, wenn die Ergebnisse unabhängig vom Forscher oder Anwender sind. Das bedeutet, dass verschiedene Personen zum selben Ergebnis kommen sollten, wenn sie dasselbe Instrument benutzen. Ein Beispiel für Objektivität ist ein standardisierter Test, der unabhängig davon, wer ihn durchführt, zu denselben Ergebnissen führt.

• Geeignetes Messinstrument

• Replikation muss möglich sein

Reliabilität bedeutet, dass ein Messinstrument bei wiederholter Anwendung unter gleichen Bedingungen konsistente Ergebnisse liefert. Ein reliables Instrument misst verlässlich und genau. Ein Beispiel wäre eine Waage, die jedes Mal dasselbe Gewicht anzeigt, wenn dieselbe Person sie benutzt.

• Kontrollierte Rahmenbedingungen (z.B. Laborexperiment)

• Gelten die Ergebnisse auch in einem anderen Land bzw. außerhalb des Labors

• Nominalskala: Niedriges Skalenniveau, Dummy-Variable

• Ordinalskala: Rangfolge, Schulnote

• Intervalskala: Größe der Unterschiede einer Rangfolge ist messbar, IQ

• Niedriges Skalenniveau

• Dummy-Variable

Das niedrigste Messniveau, bei dem nur die Zugehörigkeit zu Kategorien gemessen wird. Die Kategorien haben keine natürliche Reihenfolge. Beispiele sind Geschlecht (männlich/weiblich) oder Farben (rot, blau, grün). Rechenoperationen wie Addition oder Mittelwertbildung sind hier nicht möglich.

Beispiel:

Nominalskala (keine Reihenfolge, nur Kategorisierung):

• Geschlecht: männlich, weiblich, divers

• Augenfarbe: blau, grün, braun

• Wohnort: Berlin, Hamburg, München

• Blutgruppe: A, B, AB, 0

Wichtig: Die Werte haben keine Rangfolge, sie sind lediglich verschiedene Kategorien.

• Rangfolge

• Schulnoten

Hier gibt es eine Reihenfolge der Kategorien, aber die Abstände zwischen den Werten sind nicht gleich. Beispiele sind Schulnoten (1, 2, 3, 4) oder Rangordnungen (Platz 1, Platz 2, Platz 3). Es ist möglich, die Daten zu ordnen, aber die Unterschiede zwischen den Rangplätzen sind nicht zwingend gleich.

Beispiel:

Ordinalskala (Reihenfolge vorhanden, aber Abstände nicht gleichmäßig):

• Schulnoten: 1, 2, 3, 4, 5, 6

• Rangordnung in einem Wettbewerb: 1. Platz, 2. Platz, 3. Platz

• Kundenzufriedenheit: sehr unzufrieden, unzufrieden, neutral, zufrieden, sehr zufrieden

• Schmerzskala: kein Schmerz, leichter Schmerz, mittlerer Schmerz, starker Schmerz

Wichtig: Es gibt eine Rangfolge, aber die Abstände zwischen den Werten sind nicht gleichmäßig.

• Größe der Unterschiede einer Rangfolge ist messbar

• IQ

Bei einer Intervallskala haben die Abstände zwischen den Werten eine Bedeutung, aber es gibt keinen absoluten Nullpunkt. Beispiele sind Temperaturen in Grad Celsius oder Jahreszahlen. Man kann Differenzen bilden, aber Verhältnisse (z.B. "doppelt so warm") sind nicht sinnvoll, da kein absoluter Nullpunkt existiert

Beispiel:

Intervallskala (Gleiche Abstände, kein absoluter Nullpunkt):

• Temperatur in Celsius: 0 °C, 10 °C, 20 °C (0 °C ist nicht der absolute Nullpunkt)

• Kalenderjahre: 1990, 2000, 2010

• IQ-Wert: z.B. 85, 100, 115

Wichtig: Die Abstände zwischen den Werten sind gleich, aber es gibt keinen absoluten Nullpunkt (z.B. ist 0 °C nicht "keine Temperatur").

• Mean: Durchschnitt aller Werte, empfindlich gegenüber Ausreißern.

• Median: Mittlerer Wert in einem geordneten Datensatz, robuster gegenüber Ausreißern.

1. Positive Kovarianz: Beide Variablen steigen oder sinken gemeinsam.

2. Negative Kovarianz: Eine Variable steigt, während die andere sinkt.

3. Kovarianz nahe 0: Kein linearer Zusammenhang.

Beispiel:

1. Wenn die Kovarianz positiv ist, bedeutet das, dass höhere Werte von educ (Bildung) mit höheren Werten von wage (Lohn) assoziiert sind. Mit anderen Worten, wenn mehr Bildung typischerweise mit einem höheren Lohn einhergeht, ist die Kovarianz positiv.

2. Wenn die Kovarianz negativ ist, bedeutet das, dass höhere Werte von educ (Bildung) mit niedrigeren Werten von wage (Lohn) assoziiert sind. Das wäre ein ungewöhnliches Ergebnis und würde bedeuten, dass mehr Bildung tendenziell mit einem niedrigeren Lohn verbunden ist.

3. Wenn die Kovarianz nahe 0 liegt, gibt es keinen linearen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen.

Lagemaße beschreiben die zentrale Tendenz eines Datensatzes:

1. Min und Max

2. Arithmetisches Mittel = Mittelwert (Mean):

   Durchschnitt aller Werte. (2+4+6+8+100)/5=24

3. Median: Mittlerer Wert im geordneten Datensatz.

   2, 4, 6, 8, 100 = 6

4. Modus: Am häufigsten vorkommender Wert.

5. Quantile: Q1 und Q3

1. Spannweite: Differenz zwischen Maximum und Minimum, einfach, aber anfällig für Ausreißer.

2. Interquartilsabstand (IQR): Streuung der mittleren 50 % der Daten, robust gegenüber Ausreißern.

3. Varianz: Mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert, empfindlich gegenüber Ausreißern.

4. Standardabweichung: Quadratwurzel der Varianz, leicht interpretierbare Streuung.

Was ist die Varianz

• Streuungsmaß ohne Maßeinheit

• Ist immer positiv

• Streuung um den Mittelwert (Mean)

Wie erfolgt die Berechnung?

Berechnung:

Jeder Wert der Observationen wird vom Mittelwert der Observationen abgezogen, dann quadriert, summiert und durch die Zahl der Observationen dividiert

Was sagen die Werte aus?

1. Hohe Varianz → Große Streuung der Daten (große Unterschiede zwischen den Werten).

2. Niedrige Varianz → Geringe Streuung der Daten (Werte sind ähnlich).

3. Varianz von 0 → Alle Werte sind identisch.

var(total_bill) [1] 79.25294

var(tip) [1] 1.91445

Was ist die Standardabweichung

• Streuungsmaß mit Maßeinheit

• Dies ist der Bestimmtheitsmaß (R²-Wert). Es zeigt, dass etwa 45.66% der Varianz im Trinkgeld durch die Gesamtrechnung erklärt wird. Dies deutet auf einen moderaten Zusammenhang hin.

• 0.7528: Der R²-Wert zeigt an, dass etwa 75.28 % der Varianz des Kraftstoffverbrauchs (mpg) durch das Gewicht des Autos (wt) erklärt werden kann. Das ist ein relativ hoher Wert und deutet darauf hin, dass das Modell den Zusammenhang gut beschreibt.

1. Positiv: Direkter, positiver Zusammenhang

2. Negativ: Inverser, negativer Zusammenhang

3. Null: Kein Zusammenhang

Beispiel:

• Kovarianz: Art des Zusammenhangs (positiv, negativ)

• Korrelationskoeffizient: Stärke des Zusammenhangs (cor liegt zwischen -1 und +1)

• Korrelationskoeffizient = Standardisierte Kovarianz

• Regressionskoeffizent ist Cov(x,y)/Var(x). Damit ist die Kovarianz ein Element des Regressionskoeffizienten

• Kovarianz bestimmt das Vorzeichen des Regressionskoeffizienten

• Regressionskoeffizient ist Cov(x,y)/Var(x) ist die Steigung der Regressionsgerade und quantifiziert damit den Zusammenhang (eine Einheit mehr x führt mehr oder weniger Einheiten y - funktionaler Zusammenhang)

• Korrelationskoeffizient = standardisierte Kovarianz = Cov(x,y)/Produkt der Wurzeln aus der Varianz von x und der Varianz von y

• Kausaler Effekt bedeutet, dass die Veränderung der unabhängigen Variable (total_bill) direkt eine Veränderung in der abhängigen Variable (tip) verursacht. In diesem Fall würde es bedeuten, dass ein höherer Rechnungsbetrag direkt zu einem höheren Trinkgeld führt.

• Multiple R-Squared

• 10% der Verianz y wird durch das Schätzmodell erklärt

• Resample (=ziehen und zurücklegen)

• 10.000 Bootstrap-Stichproben werden generiert durch pärchenweises ziehen und zurücklegen: Jede Stichprobe hat XX Oberservationen

• Histogramm mit den 10.000 geschätzten Bootstrap-Regressionskoeffizienten beta_1_dach_stern

• Entscheidungskriterium:Ist der häufigste Wert 0, dann kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden, ist die Null im Histogramm nicht zu sehen, dann kann die Nullhypothese abgelehnt werden

• Regressionkoeffizient: cov(x,y) / var(x)

• Korrelationskoeffizient: cov(x,y) / sd(x)*sd(y)