1 Einleitung und Grundbegriffe

statische Einheiten oder Merkmalsträger

Die Eigenschaften statistischer Einheiten werden Merkmale oder Variablen genannt.

Die in einer Grundgesamtheit

oder einer Teilmenge einer Population beobachteten Werte

für ein Merkmal nennt man Urwerte, Primärdaten oder Rohdaten.

Fasst man alle Urwerte in einer Liste zusammen, entsteht eine Urliste.

Wenn man, wie in der schließenden Statistik üblich, die Ausprägungen eines Merkmals als das Ergebnis eines Zufallsvorgangs interpretiert (Modellvorstellung), nennt man ein solches Merkmal Zufallsvariable

Menge aller Merkmalsträger

räumlich, sachlich und zeitlich

Eine Stichprobe (n) ist die Teilmenge einer definierten Grundgesamtheit (N), die unter bestimmten Gesichtspunkten ausgewählt wurde

Eine Merkmalsträger ist Träger von Informationen bzw. Eigenschaften, die für eine statistische Untersuchung von Interesse sind.

Der Wert, der bei der Beobachtung bei der einzelnen statistischen Einheit bzw. dem Merkmalsträger festgestellt wurde.

Ein diskretes Merkmal ist ein Merkmal, das nur endlich viele Ausprägungen oder höchstens abzählbar unendlich viele Ausprägungen annehmen kann. Zählvariablen sind stets diskret.

Diskret sind z. B. die Anzahl der Fachsemester von Studierenden, Güteklassen bei Lebensmitteln oder Hotels, der Familienstand einer Person oder die Anzahl der zu einem Haushalt gehörenden Personen.

Ein stetiges Merkmal ist hingegen dadurch gekennzeichnet, dass die Ausprägungen ein Intervall bilden. Für je zwei Merkmalsausprägungen eines stetigen Merkmals gilt, dass auch alle Zwischenwerte angenommen werden können.

Stetig sind Zeitangaben, Längen, Gewichte oder Merkmale zur Quantifizierung der Schadstoffbelastung von Luft und Wasser. Monetäre Größen, etwa Bruttoeinkommen oder Mietpreise in Euro und Cent, sind ebenfalls stetige Merkmale. Auch hypothetische Konstrukte bzw. deren Operationalisierungen, in der Psychologie etwa das Merkmal „Intelligenzquotient einer Person“, werden häufig als stetige Variablen interpretiert.

Als Erhebung bezeichnet man das Sammeln und Auswerten von Daten

Eine Skala repräsentiert eine Vorschrift, die für das interessierende Merkmal jeder Beobachtung bei einer statistischen Einheit einer Stichprobe einen Beobachtungswert (ein Datum) zuordnet. Dieser Wert ist dann die spezielle Ausprägung des Merkmals.

Eine zweite Merkmalsklassifikation basiert auf der Art der verwendeten Messskala. Man unterscheidet drei Skalenniveaus, nämlich Nominalskalen, Ordinalskalen und metrische Skalen.

Eine Nominalskala ist eine Messskala, bei der die Ausprägungen eines Merkmals lediglich Namen oder Kategorien darstellen, etwa Branchenzugehörigkeit von Arbeitnehmern, das Studienfach von Studierenden oder das Transportmedium von Pendlern. Nominalskalierte Daten sind Daten, die anhand einer Nominalskala erfasst werden. Typisch für sie ist, dass es keine natürliche Rangordnung gibt. Die Bildung von Differenzen oder Quotienten ist bei nominalskalierten Daten nicht sinnvoll.

Bei der Ordinalskala oder Rangskala gibt es eine natürliche Rangordnung, aber die Differenzen- und Quotientenbildung ist ebenfalls nicht sinnvoll erklärt. Beispiele für ordinalskalierte Daten sind Schulnoten oder Bonitätsbewertungen von Sparkassenkunden auf einer mehrstufigen

Eine metrische Skala oder Kardinalskala ist dadurch gekennzeichnet, dass hier auch Abstände (Differenzen) zwischen den Merkmalsausprägungen interpretierbar sind. Eine metrische Skala heißt Verhältnisskala oder Ratioskala, wenn ein natürlicher Nullpunkt existiert; ansonsten spricht man von einer Intervallskala. Temperaturmessungen in ◦Celsius erfolgen z. B. auf einer Intervallskala. Letzteres impliziert, dass die Bildung von Quotienten aus zwei Merkmalsausprägungen nicht sinnvoll ist. Das Merkmal „Geschwindigkeit“ ist hingegen ein Merkmal mit natürlichem Nullpunkt. Ein Spezialfall der Verhältnisskala ist die Absolutskala. Bei dieser gibt es außer einem natürlichen Nullpunkt zusätzlich eine natürliche Einheit. Das Merkmal „Anzahl der Fachsemester“ ist ein solches Merkmal.

Nominalskala (Nomen = Name): Wenn die Merkmalsausprägungen

Namen oder Bezeichnungen sind, die ausschließlich

der Kennzeichnung dienen.

Keine Reihenfolge bestimmbar.

Jedem Merkmalsträger der Gesamtheit wird ein Name zugeordnet.

Ordinalskala (Ordnung, Rangfolge): Wenn die Merkmalsausprägung

zusätzlich eine Rangfolge zum Ausdruck bringt.

Jedem Merkmalsträger der Gesamtheit wird eine Rangnummer

oder Rangbezeichnung zugeordnet

Metrische Skala (messen): Wenn darüber hinaus noch Differenzen

und Verhältnisse von Merkmalsausprägungen sinnvoll sind.

Jedem Merkmalsträger der Gesamtheit wird eine reelle Zahl

zugeordnet. Die metrische Skala bei den quantitativen Variablen ist entweder eine Intervallskala, wenn aussagefähige Differenzen der Ausprägungen gebildet werden können, z.B. heute ist es bei 10 Grad Temperatur 5 Grad wärmer als gestern, jedoch nicht doppelt so warm.

Oder eine Verhältnisskala, wenn aussagefähige Quotienten der Ausprägungen gebildet werden können (Müllers haben genau doppelt so viele Kinder wie Meiers). Bei Verhältnisskalen gibt es einen natürlichen Nullpunkt

die Ausprägungen nur isolierte Zahlenwerte annehmen können. (Ausprägungen werden durch einen Zählvorgang ermittelt.)

sie alle Zahlenwerte eines Intervalls annehmen können. (Ausprägungen werden durch einen Messvorgang ermittelt.)

• Kinderzahl

• Einwohnerzahl

• Anzahl der Klausuranmeldungen

• Körpergröße

• Gewicht

• Alter

1. Sortierte Urliste

2. Gruppieren

3. Ermittlung der absoluten Häufigkeiten

4. Ermittlung der relativen und prozentualen relativen Häufigkeiten

5. Darstellung der Häufigkeitsverteilung

6. Ermittlung der kumulierten Häufigkeiten

Die Beurteilung der Qualität von Messverfahren erfolgt anhand dreier Kriterien. Es sind dies die Objektivität (intersubjektive Nachvollziehbarkeit), die Reliabilität (Messgenauigkeit) sowie die Validität (Gültigkeit) des Verfahrens.