II. 7.einige theoretische Verteilungen

Aufgabe 7.3:

Binomialverteilung – Erbleiden

Beide Partner eines Elternpaares haben die Anlage für ein rezessives Erbleiden im heterozygoten Zustand. Sie haben n Kinder; X sei die Anzahl der Kinder mit heterozygoten Erbanlagen. Welche Aussage trifft nicht zu?

1. X folgt einer Binomialverteilung.

2. Der Erwartungswert von X beträgt n / 2 .

3. Die Varianz von X beträgt n / 4 .

4. Die Verteilung von X ist symmetrisch.

5. X hat denselben Erwartungswert wie die Zufallsvariable, die die Anzahl der homozygot erkrankten Kinder beschreibt.

Aufgabe 7.4: Poissonverteilung – Kinder mit Down–Syndrom

Die Anzahl der am Klinikum Mannheim geborenen Kinder beträgt etwa n = 2000 pro Jahr. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Neugeborenes mit einem Down-Syndrom zur Welt kommt, betrage p=1/1000. Wir nehmen an, daß die Ereignisse unabhängig

voneinander sind. Die Anzahl der Kinder mit Down-Syndrom sei X. Welche Aussage trifft nicht zu?

1. X kann durch eine Poissonverteilung approximiert werden.

2. Der Erwartungswert von X beträgt 2.

3. Die Standardabweichung von X beträgt 2.

4. Die Varianz von X beträgt 2.

5. X ist eine diskrete Zufallsvariable, die theoretisch alle Werte zwischen 0 und 2000 annehmen kann.

Aufgabe 7.6 Verteilung von Wochentagen

Wir nehmen an, daß der Wochentag keinen Einfluß auf das Eintreten einer Spontange- burt hat. Dann folgt die Verteilung der Geburtszeiten auf die Wochentage

1. einer Poissonverteilung

2. einer diskreten Gleichverteilung

3. einer Binomialverteilung

4. einer Normalverteilung

5. einer Polynomialverteilung

Aufgabe 7.7 Spezielle Normalverteilungen

Welche der folgenden Merkmale bzw. Zufallsvariablen können als normalverteilt an- gesehen werden?

1. die Körpergröße erwachsener Frauen

2. die Körpergröße der gesamten erwachsenen Bevölkerung

3. das Körpergewicht erwachsener Frauen

4. Meßfehler

5. Lebensdauern

6. die Mittelwerte, die aus zahlreichen Stichproben des Umfangs n = 30 aus einer

   bestimmten Grundgesamtheit berechnet werden

7. eine binomialverteilte Zufallsvariable X : B(100;0,2)

1. A ) nur 1, 4, 6 und 7

2. B ) nur 6 und 7

3. C ) nur 1–5

4. D ) keines

5. E ) alle

Aufgabe 7.8 Normalverteilung – allgemeine Eigenschaften

Welche Aussage ist richtig?

1. Bei einer Normalverteilung liegen alle Werte zwischen μ − 3σ und μ + 3σ.

2. Je größer die Varianz, desto flacher verläuft die Glockenkurve.

3. In der Regel stimmen der Erwartungswert und der Median nicht überein.

4. Der Erwartungswert ist immer gleich 0.

5. Der Erwartungswert kann keine negativen Werte annehmen.

Aufgabe 7.9 Normalverteilung – Dichtefunktion

Welche Aussage ist falsch?

1. Die spezielle Form der Glockenkurve ist unabhängig von der Varianz σ2 .

2. Die Dichtefunktion wird durch eine Glockenkurve graphisch dargestellt.

3. Die Dichtefunktion ist symmetrisch bzgl. des Erwartungswerts μ .

4. Das Integral unter der gesamten Kurve hat den Wert 1.

5. Die Dichtefunktion hat für alle x-Werte zwischen − ∞ und + ∞ einen Funkti-

   onswert, der größer als 0 ist.

Aufgabe 7.10 Standardnormalverteilung

Sei X : N (μ, σ2 ) und Z standardnormalverteilt. Welche Aussagen sind richtig?

1. Z : N (0,1)

2. Z : N (1,0)

3. Durch ( X − μ) / σ2 wird X in Z transformiert.

4. Eine Rücktransformation von Z in X ist nicht immer möglich.

1. A ) Nur 1 und 3 sind richtig.

2. B ) Nur 2 und 3 sind richtig.

3. C ) Nur 1, 3 und 4 ist richtig.

4. D ) Nur 2, 3 und 4 ist richtig.

5. E ) Nur 1 ist richtig.

Aufgabe 7.11: Normalverteilung – Transformationen von X Sei X : N (μ, σ2 ) normalverteilt. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

• A: Y = X − a ist normalverteilt mit

  —> Y : N(μ− a,σ2)

• B: Y = ( X − μ) / σ ist standardnormalverteilt.

• C: Y = X / σ ist normalverteilt mit

  —> Y : N (μ / σ, 1)

• D: Y = X^2 ist normalverteilt mit

  —>Y : N(μ ,σ )

• E: Y = aX + b ist normalverteilt mit

  —> Y : N (aμ + b,a2σ2 )

Aufgabe 7.12: Normalverteilung – Referenzbereiche

Die Körpergröße männlicher Studenten sei normalverteilt mit einem Erwartungswert von μ=180cm und einer Standardabweichung von σ=6cm. Wieviel Prozent der

Studenten sind dann größer als 186 cm oder kleiner als 168 cm?

1. etwa 32 %

2. etwa 5 %

3. etwa 18,5 %

4. etwa 34,5 %

5. etwa 95 %

Aufgabe 7.13: Symmetrische Verteilungen

Welche der folgenden Verteilungen sind symmetrisch?

1. Standardnormalverteilung

2. Normalverteilung allgemein

3. Binomialverteilung B(n, p) mit p = 0,5

4. Poissonverteilung P(λ)

5. diskrete Gleichverteilung

6. Verteilung zur Beschreibung von Lebensdauern von Personen

7. t-Verteilung

8. Chi2-Verteilung

1. A ) nur 1 ist symmetrisch

2. B ) nur 1 und 2 sind symmetrisch

3. C ) nur 1, 2, 3, 5 und 7 sind symmetrisch

4. D ) alle außer 4 und 6 sind symmetrisch

5. E ) alle außer 6 sind symmetrisch

Aufgabe 7.14: Verteilung von Mittelwerten

Der systolische Blutdruck bei gesunden Männern zwischen 20 und 30 Jahren ist sym- metrisch verteilt mit μ = 120 mmHg und σ = 10 mmHg. Wie sind dann die Mittelwerte

verteilt, die aus den Blutdruckwerten von 25 zufällig ausgewählten Studenten berechnet werden?

1. genauso verteilt wie die Blutdruckwerte der Studenten

2. normalverteilt mit μ = 120 mmHg und unbekannter Varianz

3. normalverteilt mit μ = 120 mmHg und σx̄ = 0,4 mmHg

4. normalverteilt mit μ = 120 mmHg

   und σx̄ = 2 mmHg

5. Über die Verteilung der Mittelwerte kann nichts ausgesagt werden.