LE 7 - Grundlagen der induktiven Statistik

• Ziel: Schlussfolgerungen von einer Stichprobe auf die gesamte Population ziehen.

• Methoden: Hypothesentests, Konfidenzintervalle, Schätzverfahren.

• Unsicherheit: Berücksichtigt den Zufallsfehler der Stichprobenauswahl.

• Verallgemeinerung: Erkenntnisse aus Stichproben werden auf die Grundgesamtheit übertragen.

Beispiele sind der t-Test und die Berechnung von Konfidenzintervallen.

• Population = Grundgesamtheit einer empirischen Untersuchung über die Aussagen getroffen werden sollen

• Stichprobe = Untersuchungseinheiten N der interessierenden Population

• Stichprobengröße Anzahl der in STichprobe betrachteten Fälle

• Repräsentativität = Stichprobe spiegelt für empirische Untersuchung relevante Merkmale

  • möglich durch Zufallsauswahl von Elementen einer Population

• Irrtumswahrscheinlichkeit (auch Signifikanzniveau α) = Wahrscheinlichkeit der fälschlichen Einstufung eines statistischen Testergebnisses als signifikant

  —> Effekt in Wirklichkeit in Population nicht vorhanden

  • Fehler erster Art: Entscheidung gegen Nullhypothese, obwohl diese wahr ist

    • Wahrscheinlichkeit des Irrens bei dieser Entscheidung = alpha

  • Fehler zweiter Art: Entscheidung gegen Forschungs-/Alternativhypothese, obwohl diese wahr ist

    • Wahrscheinlichkeit des Irrens bei Entscheidung = beta

  • Beispiel: Bei α = 0,05 besteht eine 5 % Chance, dass ein Ergebnis zufällig signifikant erscheint.

  • Strenge: Je kleiner das α, desto strenger der Test, aber höheres Risiko für Fehler 2. Art (falsche Beibehaltung der Nullhypothese).

    
    

1. Definition: Verteilung von Kennwerten (z. B. Mittelwerten), die aus mehreren Stichproben derselben Größe einer Population berechnet wurden.

2. Beispiel: Verteilung der Mittelwerte, wenn viele Stichproben aus derselben Population gezogen werden.

3. Eigenschaften:

   • Erwartungswert: Mittelwert der Stichprobenkennwertverteilung entspricht dem Populationsmittelwert.

   • Standardfehler: Standardabweichung der Stichprobenkennwertverteilung, misst die Streuung der Kennwerte um den Populationswert.

4. Bedeutung: Grundlage für Inferenzstatistik und Hypothesentests.

1. Definition: Eine Funktion, die jeder möglichen Ausprägung einer Zufallsvariablen eine Wahrscheinlichkeit zuordnet

   • Chancen, mit denen verschiedene Ergebnisse bei einem Zufallsprozess auftreten können

2. Definition: Funktion, die Wahrscheinlichkeiten bestimmten Werten einer Zufallsvariablen zuordnet.

3. Typen:

   • Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Für Zufallsvariablen mit lediglich ganzen Werten zwischen 1 und 9 (z. B. Würfelwurf) Beispiel: Binomialverteilung, Poisson-Verteilung

   • Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung: Für Zufallsvariablen, die jeden Wert in einem Intervall annehmen können (z. B. Körpergröße) Beispiel: Normalverteilung, Exponentialverteilung

4. Verwendung: Grundlage für statistische Analysen, Hypothesentests und Modellierung von Zufallsprozessen

5. Graphische Darstellung:

   • Diskrete: Säulendiagramm.

   • Stetige: Glockenkurve

• Bildung einer Hypothese aus zwei Komponenten

  • Stand der Forschung

  • theoretischer Hintergrund

• Beschreibung von Existenz, Richtung und Stärke eines bestimmten Effekts

• Forschungshypothese/ Alternativhypothese = Behauptung, dass in Population ein Effekt oder Unterschied in zu untersuchender Population gibt

• Nullhypothese = Behauptung, dass Effekt od. Unterschied nicht besteht

  • nur wichtig für einzelne Schritte

• Unterschied- und Zusammenhangshypothese

  • Untersuchung von Zusammenhängen und Unterschieden verscheidener Gruppen

  • Vergleich von Häufigkeiten oder Mittelwerten

  • Identifikation von Zusammenhängen —> Entstehung von Aussagen über Korrelation zw. Variablen

• Veränderungshypothese:

  • Definition: Hypothese, die eine Annahme über eine Veränderung in einer Variablen oder einem Phänomen formuliert.

  • Ziel: Überprüfen, ob eine Intervention oder Maßnahme einen signifikanten Einfluss auf eine abhängige Variable hat.

  • Beispiel: „Die Einführung eines neuen Trainingsprogramms verbessert die Mitarbeiterproduktivität.“

• Ungerichtete und gerichtete Hypothesen

  • Ungerichtete Unterschiedshypothesen liefern keine Angaben in Bezug auf vermuteten Unterschied

  • Gerichtete Hypothesen legen bestimmte Richtung des Effekts fest à werden vor allem in Forschungspraxis genutzt

• Unspezifische und spezifische Hypothesen

  • Unspezifische Hypothese = Stärke des vermuteten Zusammenhangs wird nicht angegeben

  • Spezifische Hypothese = Stärke des Zusammenhangs wird angegeben

• Schritt 1: Übersetzung in statistische Hypothesen

  • Übersetzung der beschriebenen Hypothesen in statistische Daten

  • Hypothese bezieht sich auf interessierenden statistischen Kennwert (ein oder mehrere Populationsparameter)

• Schritt 2: Berechnung empirischer Kennwerte

  • Analyse der vorliegenden Stichprobe

  • Berechnung der ausgewählten empirischen Kennwerte

• Schritt 3: Bestimmung der Kennwerteverteilung

  • Wahrscheinlichkeitsverteilung, welcher der betrachtete Kennwert theoretisch folgt

• Schritt 4: Treffen einer statistischen Entscheidung

  • Entscheidung über Zuordnung der empirischen gefundenen Kennwerte zur Forschungs- oder Nullhypothese

• 
  

• Nutzung des t-Tests zum Vergleich von unterschieden zwischen zwei Gruppen

• Meist Vergleich von Mittelwerten à Unterscheidung zwischen drei verschiedenen Fällen:

• T- Tests für zwei unabhängige Stichproben

  • Bildung von zwei verschiedenen Gruppen .—> Gruppe A beeinflusst Gruppe B nicht  

  • Kein Zusammenhang zwischen einzelnen Stichprobenelementen

• T-Test für abhängige Stichproben

  • Zusammenhang liegt vor

  • Vergleich mehrerer Kennwerte einer Gruppe zu zwei unterschiedlichen Messzeitpunkten —>lhi Veränderung des Messzeitpunkts à Aufstellung einer Veränderungshypothese notwendig

• T-Test für eine Stichprobe (sehr selten)

• Allgemeiner Ablauf des Tests in vier Schritten

  • Schritt 1: Differenz des arithmetischen Mittels berechnen

  • Schritt 2: Levene- Test durchführen

  • Schritt 3: Standardfehler und t-Wert ermitteln

  • Schritt 4: Signifikanzniveau zuweisen

• T- Werte können immer positives oder negatives Ergebnis haben à wichtig ist immer der Betrag

• Korrelationsanalyse

  • Überprüfung von Korrelation zwischen zwei Variablen (auch bivariater Zusammenhang)

  • Mittelpunkt der Überprüfung steht Zusammenhang zwischen abhängiger und unabhängiger Variablen

• Schritt 1: Deskriptivstatistische Analyse

  • Beschreibung des Zusammenhangs auf drei zentrale Aspekte

    • Vorhandensein

    • Richtung

    • Stärke

  • Verallgemeinerung der Werte mit diesen Infos noch nicht möglich

  • Berechnung des Korrelationskoeffizienten (r)

• Schritt 2: Interpretation des Ergebnisses

  • Drei konkrete Fragen als Interpretationsgrundlage

    • Weicht die errechnete Größe signifikant von Null ab?

      • Je größer die Stichprobe, desto eher werden numerisch niedrige Koeffizienten statistisch bedeutsam

      • Korrelationskoeffizient nur mit Signifikanztest zulässig

    • Welche Richtung wird durch den Koeffizienten angezeigt?

      • Überprüfung, ob Koeffizient mit expliziter Hypothese übereinstimmt oder widerspricht

    • Wie stark ist der Zusammenhang?

      • Stärke des Zusammenhangs nicht abhängig von jeweiliger Stichprobengröße

      • Interpretation der Größe der Korrelation nach Cohen

1. Ziel: Überprüfung, ob ein Zusammenhang zwischen zwei kategorialen Variablen besteht.

2. Hypothesen:

   • Nullhypothese (H₀): Variablen sind unabhängig (kein Zusammenhang).

   • Alternativhypothese (H₁): Variablen sind abhängig (es gibt einen Zusammenhang).

3. Anwendung:

   • Soziale Forschung (z. B. Geschlecht und Produktpräferenz).

   • Marktforschung (z. B. Alter und Kaufverhalten).

   • Gesundheitsforschung (z. B. Risikofaktoren und Krankheiten).

4. Voraussetzungen:

   • Unabhängige Beobachtungen.

   • Ausreichende Stichprobengröße (mindestens 5 in jeder Zelle).

5. Interpretation: Signifikantes Ergebnis (p-Wert < 0,05) deutet auf einen Zusammenhang zwischen den Variablen hin.

• Schritt 1: Formulierung der Nullhypothese

  • Herleitung der Nullhypothese aus Forschungshypothese

• Schritt 2: Erstellung einer Hilfstabelle

  • Erstellung einer Tabelle mit den Merkmalsausprägungen der Variablen  

• Schritt 3: Ableitung von Kombinationsmöglichkeiten

  • Aufführung aller Kombinationsmöglichkeiten in der Tabelle

• Schritt 4: Vierfelder- Kreuztabelle

  • Ergänzung der Beobachteten Häufigkeiten

  • Auch 2x2- Kontigenztabelle genannt

• Schritt 5: Prozentuale Häufigkeiten ermitteln

• Schritt 6: Stichproben- und Zufallsfehler ausschließen

  • Mithilfe von Wahrscheinlichkeitskonzept der erwarteten Häufigkeit

• Schritt 7: Chi²- Wert ermitteln und statistische Entscheidung treffen

  • Vergleich der einzelnen beobachteten und erwarteten Werte durch Berechnung des CFhi²- wertes (x²)

  • Berechnung des Freiheitsgrades (df)

  • Auswertung und statistische Entscheidung auf Grundlage der Verteilungstabelle