3.Vl (Geometrische Projektion)

• Einfachste Kameramodell ist das ide- ale Lochblenden Kameramodell

• Alle Verbindungslinien (Lichtstrahlen) zwis- chen Punkten p im Raum mit den Kam- erakoordinaten X = [X , Y , Z ]⊤ und der Bildebene mit den Bildkoordinaten x = [x , y ]⊤ gehen durch einen Punkt in der Objektivebene, das Projektionszentrum o (die Lochblende)

• Aus dem Strahlensatz ergibt sich folgende Beziehung zwischen Kamera- und Bildkoordinaten des Punktes:

  x=−c*X/Z, y=−c*Y/Z

• Da −c/Z negativ ist wird jedes Objekt kopfstehend auf der Bildebene abgebildet.

• Das kann vermieden werden, indem man entweder die Bildkoordinaten negativ setzt, also das Bild umdreht, oder die Bildebene vor das Projektionszentrum platziert

• Platziert man die Bildebene vor das Projektionszentrum o, ergibt sich für das Bild x = [x,y]⊤ des Punktes p

  x=c*X/Z , y=c*Y/Z

• Bildkoordinaten entstehen durch die Multiplikation von X und Y mit dem Skalierungsfaktor c/Z.

• Damit ist die Entfernung eines Gegen- standes, sowie die wahre Größe über x und y nicht mehr bestimmbar

• Tiefeninformation geht auch die Information über die Winkel in der Szene verloren

Bei der Projektion:

• eines 3D Punktes geht die Information über den Abstand zum Projektionszentrum verloren

• einer 3D Geraden geht die Information über den Abstand zum Projektionszentrum und die Orientierung im 2D Unterraum (welcher durch die Gerade und das Projektionszentrum aufgespannt wird) verloren

• einer 3D Ebene geht die Information über Abstand zum Projektionszentrum und der Orientierung im 3D Raum verloren

• Parallele Linien konvergieren in einem Fluchtpunkt F. Unterschiedliche Ausrichtungen ergeben unterschiedliche Fluchtpunkte. Alle Fluchtpunkte von Linien einer Ebene liegen auf einer Fluchtpunktlinie L.

• Der Bildhorizont H ergibt sich als Schnittlinie zwischen der Bildebene und einer Ebene, die senkrecht auf der Bildebene steht und das Projektions- zentrum beinhaltet

• Punkte werden zu Punkten

• Linien werden zu Linien, außer wenn sie durch das Projektions- zentrum laufen, dann werden sie zu Punkten

• Ebenen werden zum ganzen Bild oder Halbebenen, außer wenn sie das Projektionszentrum beinhalten, dann werden sie zu Linien

• Polygone mit n Kanten werden zu Polygonen mit n Kanten, außer wenn die Eckpunkte des Polygons in einer Ebene liegen, die das Projektionszentrum beinhaltet

• In der Praxis ist die Bildebene räum- lich begrenzt, das bedeutet, nicht jeder Punkt im Raum kann auf die Bildebene projiziert werden

• Es ergibt sich ein Y eingeschränktes Sichtfeld field of view (FOV), das durch den Winkel θ definiert ist

• θ = 2arctan(r/c) (bei flachen Ebene immer kleiner als 180)

Abbildungsprozess eines Punktes im Raum auf die Oberfläche einer Bildmatrix läßt sich mit drei hintereinander ausgeführten Transformationen beschreiben:

• Einer Transformation zwischen Kamera- und Weltkoordinaten

• Einer Zentralprojektion von 3D Raum- auf 2D Bildkoordinaten

• Einer Transformation zwischen Bildmatrix- und Bildkoordinaten

• Aus vorheriger Gleichung folgt, dass zu jedem Objektpunkt X ein Bildpunkt gehört.

• Zu jedem Bildpunkt x gehören jedoch unendlich viele Objektpunkte. Deswegen kann aus einem Bild ein räumliches Objekt ohne Zusatzwissen über die Entfernung nicht rekonstruiert werden.

• x = [x, y] = c/Z * [X, Y]

• X = [X, Y] = Z/c * [x, y]

Wenn ein 3D Kalibrierkörper mit N genau vermessenen 3D Punkten Xi , i = 1, ... , N, vorhanden ist, dann kann die Projek- tionsmatrix Π aus einer einzigen Bildauf- nahme des Kalibrierkörpers berechnet werden. Dazu müssen die 2D Koordi- naten xi der projizierten 3D Punkte des Kalibrierkörpers möglichst genau bes- timmt werden.