4.Vl (Optik & Epipolargeometrie)

• Brennweite f

• Blendenöffnung D

• Bildweite b

• Beschreibt die optischen Eigenschaften einer Linse

• Die Brennweite entspricht dem Abstand des Brennpunkts F von der Hauptebene einer Linse und ist bei Sammellinsen positiv f > 0

• Die Brennweite läßt sich aus der Brechzahl des Linsenmaterials n, der Brechzahl des umgebenden Mediums n0 (für Luft gilt n0 = 1), sowie den Krümmungsradien R1 und R2, und der Dicke d der Linse berechnen

• Die Brechzahl n der Linse kennzeichnet die Brechung und das Reflexionsver- halten von Lichtwellen beim Treffen auf die Linsenoberfläche.

• Sie ist durch das Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeiten einer Lichtwelle im Vakuum c0 und im Material der Linse c definiert.

  —> n = c0/c > 1

• Wenn Lichtwellen eine Linse durchqueren, dann reduziert sich die Ausbre- itungsgeschwindigkeit c. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle hängt von ihrer Wellenlänge λ und der Frequenz ν ab:

  —> c = λν = c0/n

  
  

• Vernachlässigt man die Dicke d der Linse erhält man das Modell der dünnen Linse

• Es wird angenommen, dass die Bildebene parallel zur Linsenebene liegt und beide senkrecht auf der optischen Achse stehen, wobei die optische Achse durch das Pro- jektionszentrum der Linse verläuft.

• Linsenfehler sowie Beugungserscheinungen werden vernachlässigt

• Treffen sich alle Strahlen eines parallelen Lichtbündels in der Brennebene und man erhält das strahlenoptische Grundgesetz

• Der Abbildungsmaßstab β ist definiert als Verhältnis zwis- chen Bildgröße B eines abgebildeten Gegenstandes und der realen Gegenstandsgröße G

  —> β=B/G = b/g = (b−f)/f

• Je kleiner Objektabstand g, desto größer β

• Je länger Brennweite f, desto größer β

• Unterhalb diesem Mindestabstand gmin zum Objekt ist es nicht mehr möglich auf das Objekt zu fokussieren (Maximaler Abbildungsmaßstab)

• Falls die Entfernung zum Motiv größer als die Brennweite ist g > f , erhält man für das Sichtfeld bzw. den Bildwinkel

  —> θ = 2arctan(Bmax/2f ).

• Bei einer flachen Bildebene ist dieser Winkel immer kleiner als θ ≤ 180◦

• Je kleiner die Brennweite f , desto größer ist das

  Sichtfeld θ

Die Blendenzahl κ bezeichnet das Verhältnis der Brennweite f zum Durchmesser D der Eintrittspupille des Objektivs. Die Eintrittspupille ist die Öffnung des Objektivs, das die einfallenden Strahlenbündel begrenzt.

κ=f/D

Je kleiner κ,

▶ desto mehr Lichteinfall vorhanden,

▶ desto kürzere Belichtungszeit notwendig,

▶ desto größere Bildwiederholrate möglich,

▶ desto weniger Bewegungsunschärfe tritt auf,

▶ desto kleiner die Schärfentiefe (siehe Abschnitt Schärfentiefe).

Vernachlässigt man Auswirkungen wie Linsenfehler und Beugungserscheinungen, dann gibt es für jede Gegenstandsweite g eine bestimmte Bildweite b in der es zu einer punktförmigen Wiedervereinigung aller Lichtstrahlen kommt

• Alle Gegenstände vor gv oder hinter gh der eingestellten Gegenstandsweite g werden auf der Bildebene mit Abstand b unscharf mit einem Zerstreuungskreis vom Durchmesser ε abgebildet

• Das bedeutet, dass alle Gegenstände im Bereich der Schärfentiefe ∆g = gh − gv auf der Bildebene mit einem Zerstreuungskreis kleiner als ε abgebildet werden

• Man nennt ε die Tiefenschärfe, wobei für eine Digitalkamera eine Tiefenschärfe von unter einem Pixel angestrebt werden muss, um eine scharfe Abbildung in Abhängigkeit von der Pixelgröße zu erreichen.

Die Blendenöffnung D und die Tiefenschärfe ε hän- gen über die Bildweiten b, bv und bh folgendermaßen zusammen:

Durch Einsetzen der Beziehung für b, bv und bh ergibt sich mit der Blendenzahl κ und einer gewün- schten Tiefenschärfe ε der Schärfentiefebereich um einen Abstand g bei dem ein Gegenstand optimal scharf ε → 0 abgebildet wird:

Wenn gv und gh des Arbeitsbereiches vorgegeben sind, dann erhält man die Gegenstandsweite g, bei der die Tiefenschärfe ε optimal klein ist:

Wenn der Schärfentiefenbereich für ein vorgegebenes ε zwischen gv (g) und gh = ∞ liegen soll, dann ergibt sich g zu:

Wenn die eingestellte Gegenstandsweite g und die tatsächliche Gegenstandsweite gi bekannt sind, dann kann für gi ≥ g die resultierende Tiefenschärfe berechnet werden:

Und für Fernaufnahmen g ≫ f, b ≈ f, ergibt sich näherungsweise:

• Die Schärfentiefe ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Brennweite. Damit ergeben kleinere Brennweiten trotz einer zu f proportionalen Bildgröße eine größere Schärfentiefe.

• Eine kleinere Blendenöffnung und damit eine größere Blendenzahl, vergrößert den Bereich der Schärfentiefe.

• Eine kleine Blendenöffnung jedoch verringert die Lichtmenge, deswegen muss die Belichtungszeit erhöht werden.

• Abbildungsfehler oder Aberrationen sind Abweichungen von der idealen optischen Abbildung, die ein unscharfes oder verzerrtes Bild bewirken

• Gründen für solche Abweichungen:

  • Beugungsunschärfe

  • Sphärische Aberration

  • Astigmatismus

  • Chromatische Aberration

  • Verzeichnungen

  • Bildfeldwölbung

  • Helligkeitsverteilung (natürlicher Randlichtabfall, Vignettierung)

  • Umwelteinflüsse (Temperatur, Verschmutzung, Alterung)

Beugungsscheibchen mit theoretischem Gesamtdurchmesser:

Praktisch entspricht die Beugungsunschärfe näherungsweise der Blendenzahl

—> Je kleiner die Blendenöffnung D, desto größer wird die Beugungsunschärfe und desto weniger Licht kommt durch die Blende hindurch.

• Bei der sphärischen Abberation bilden sphärisch geschliffene Linsen parallele Lichtstrahlen nicht mehr exakt im Brennpunkt ab.

• Effekt:

  • Verschwommenes Bild, scharfes Kernbild wird von einem unscharfen überlagert.

• Abhilfe:

  • Vorschalten von Blenden

• Trifft ein divergierender Lichtstrahl nicht senkrecht sondern schräg auf die Linsenoberfläche und verläuft dadurch un- symmetrisch zur optischen Achse, tritt an sphärischen Linsenoberflächen Astigmatismus auf.

• Ursache:

  • Unterschiedliche lokale Krümmungsradien der Linse

• Effekt:

  • Es entstehen unterschiedliche Brennpunkte und Brennweiten für unterschiedliche Teilstrahlengänge

  • Das Kamerabild wirkt für den Betrachter nicht mehr scharf fokussiert, da ein Szenenpunkt nicht mehr als Bildpunkt sondern unscharf abgebildet wird (punktlos)

• Brennweite f von der Wellen- länge und damit der Farbe des Lichtes abhängig:

• Das hat zur Folge, dass auch das optische Au- flösungsvermögen von der Wellenlänge abhängt.

• Kurzwelliges Licht wird stärker als langwelliges Licht gebrochen, deswegen werden die Spektralanteile des weißen Lichtes unterschiedlich fokussiert und damit an unterschiedlichen Orten auf der Bildebene abgebildet.

• Das nennt man auch chromatische Abberation.

• Eine Verzeichnung ist eine nichtlineare optische Verzer- rung, die lokal den Abbildungsmaßstab verändert

• Sie wird z.B. durch die Abweichung des Ein- und Austrittswinkels eines Strahles bei einem realen optischen System, der Abweichung von der mechanisch realisierten Bildweite zur optischen Bildweite oder Zentrierfehlern der Linsen im Ob- jektiv hervorgerufen

Besonders bei Weitwinkelobjektiven kann eine starke radiale Verzeichnung auftreten. Sie äußern sich in einer tonnen- oder kissenförmigen Verzerrung gerader Linien im Bild.

• Tatsächliche Verzerrung x′d = (xd′ , yd′ )⊤ eines Bildes korrigieren und ein entzerrtes Bild x′u = (xu′ , yu′ )⊤ berechnen

• Betrachtet man die zeitliche Änderung x ̇ (x Punkt) der Projektion einer statischen 3D Szene auf die Bildebene einer sich bewegen-den Kamera und beschreibt die Abhängigkeiten zwischen den Koordinaten der Projektion x und des Dralls (ω, ν), dann spricht man von kontinuierlicher Epipolargeometrie.

• Das sich ergebende Vektorfeld der Projektionsänderungen nennt man auch eigeninduzierter Optischer Fluss u.

Werden die Bildebenen zweier Kameras parallel zueinander in der gleichen Ebene ausgerichtet, was einer Relativpose von (RLR,TL) (siehe oben) entspricht, dann kann die Entfernung jedes Punktes p über die Punktkorrespondenz der projizierten Koordinaten (xL,xR) und die bekannte Relativpose rekonstruiert werden