Wichtige Faktoren für eine Gleichung
• Eine Gleichung enthält als zentrales Element das Gleichheitszeichen.
• Eine Gleichung enthält (mindestens) einen Term mit einer (oder mehreren) Variablen.
• Nach dem Einsetzen eines bestimmten Wertes für die Variable(n) findet sich auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jeweils eine Zahl. Sind diese Zahlen gleich, so gilt das Zeichen „=“. Ergeben sich durch das Einsetzen aber unterschiedliche Werte auf den beiden Seiten der Gleichung, so gilt das Zeiche„=“ nicht und muss durch das Ungleichheitszeichen („≠“) ersetzt werden.
Löse nach x auf
2/ (2x + 1) = x/ (x + 2)
1 Schritt: Mit dem Hauptnenner multiplizieren
2 Schritt 2x (x + 2) = x (2x + 1)
3 Schritt 2x^2 + 4x = 2x^2 + x
4 Schritt 4x = x
5 Schritt 3x = 0
6 Schritt x = 0
Benenne den Definitionsbereich
D = R/ {-0,5} {-2}
((x + 1)/(2x - 1)) = ((x + 5)/(2x + 1))
D = R/ {0,5} {-0,5}
1 Schritt: Mit dem Haupt Nennter Multiplizieren
2 Schritt: (x + 1) (2x + 1) = (x+ 5) (2x - 1)
3 Schritt 2x^2 + x + 2x + 1 = 2x^2 - x + 10x - 5
4 Schritt 3x + 1 = 9x - 5
5 Schritt -6x = - 6
6 Schritt x = 1
Defininiere den Definitionsbereich
1 / (x - 2) - 2x/ (x + 3) = - 1
D = R / {2} {-3}
1 Schritt Mit dem Hauptnenner multiplizieren
2 Schritt: x (x + 3) - 2x (x-2) = - 1 (x-2) (x+3)
3 Schritt: x^2 + 3x - 2x^2 + 4x = - 1(x^2 + 3x - 2x - 6)
4 Schritt -x^2 + 7x = - x^2 - x + 6
5 Schritt: 8x = 6
6 Schritt: x = 6/8
((3x + 4)/(x+4)) = 5 - ((2x - 5) / (x - 3))
D = R /{-4} {3}
Regeln Seitenwchsel von Faktoren durch Multiplikationen in einer Gleichung
• Muss eine Bruchgleichung durch mehrere Multiplikationen nennerfrei gemacht werden, so ist jeder Summand in der Gleichung zu berücksichtigen!
• Beim Multiplizieren müssen Summen eingeklammert werden!
• Das Zusammenfassen bzw. das Ausmultiplizieren sollte erst nach der vollständigen Beseitigung der Nenner erfolgen.
Gib die Definitionsmenge an (2/(x-2)) = -2
D= Q /{2}
Rechne nach x auf
(2/(x-2)) = 2
2 Schritt: 2 = -2(x-2)
3 Schritt 2 = -2x + 4
4 Schritt -2x = 6
5 Schritt x = 3
Die vier Kinder Sarah, David, Alexander und Larissa erhalten zusammen 71 € Taschengeld. Dabei erhält Larissa 5,50 € und Alexander 8 € mehr Taschengeld als David. Sarah als Jüngste erhält 4,50 € weniger als David. Welchen Betrag erhält jedes der Kinder?
1 Schritt: David = x
2 Schritt: Larissa = 5,50 € + x
3 Schritt: Alex = 8,00 € + x
4 Schritt: Sarah = x - 4,50 €
5 Schritt: x + (5,50 +x) + (8 + x) + (x -4,50) = 71
6 Schritt 4x + 9 = 71
7 Schritt 4x = 62
8 Schritt: 15,50 € (David)
9 Schritt: 15,50 € + 5,50 € = 21,00 € (Larissa)
10 Schritt: 15,50 € + 8,00 € = 23,50 € (Alex)
11 Schritt: 15,50 € - 4,50 € = 11,00 € (Sarah)
12 Schritt 15,50 € + 21,00 € + 23,50 € + 11,00 € =
Hans sagt zu Franz: „Denke dir eine Zahl, subtrahiere 4, multipliziere das Ergebnis mit 3 und addiere nun 12. Was ergibt das?“ Nachdem Franz geantwortet hat „42“, sagt ihm Hans, das er sich die Zahl 14 gedacht hat. Wie geht das?
Schritt 1: x (gedachte Zahl)
Schritt 2: 3(x-4) + 12 = 42
Schritt 3: 3(x-4) = 30
Schritt 4: 3x - 12 = 30
Schritt 5: 3x = 42
Schritt 6 = 14
Regel Seitenwechsel Faktor in einer Gleichung
Wechselt ein Faktor die Seite des Gleichheitszeichens, so werden in ihm Zähler und Nenner vertauscht.Schritt 1: 9x = 27
Regeln Klammern in einer Gleichung
Bevor mit der eigentlichen Lösung einer linearen Gleichung begonnen werden kann, sind alle Klammern aufzulösen.
Regel gleicher Summand auf beiden Seiten einer GLeichung
Findet sich auf beiden Seiten einer Gleichung der gleiche Summand mit dem gleichen Rechenzeichen, so kann man ihn auf beiden Seiten aus der Gleichung herausstreichen
Definition WIderspruch in einer GLeichung
• Ergibt sich am Ende der Rechnung ein Widerspruch (z.B. 2 = 3), so ist diese Gleichung nicht lösbar: Keine Zahl x ∈ ℚ erfüllt diese Gleichung
Definition Identität in einer Gleichung
Ergibt sich am Ende der Rechnung eine Identität (z.B. 4 = 4 oder 0 = 0), so hat diese Gleichung unendlich viele Lösungen: Jede Zahl x ∈ ℚ erfüllt diese Gleichung
Bitte lösen Sie die Gleichung
3(x + 3) − (x − 3) = 2x − 4(x − 1)
1 Schritt: 3x + 9 - x + 3 = 2x - 4x + 4
2 Schritt 2x + 12 = -2x + 4
3 Schritt: 4x = -8
4 Schritt x = -2
2(x − 5) − 3(x + 2) = 3 − (2x − 5)
Schritt 1: 2x - 10 - 3x - 6 = 3 - 2x + 5
Schritt 2: -x -16 = -2x + 8
Schritt 3 x = 24
x − 2(− 4x + 6) + 2(3x + 7) = 3(x − (x − 1) − 3(2 − x))
Schritt 1: x + 8x - 12 + 6x+ 14 = 3(x - x + 1 - 6 + 3x)
Schritt 2: 15x + 2 = 9 x -15
Schritt 3: 6x = -17
Ein Großvater ist 50 Jahre älter als sein Enkel und doppelt so alt wie sein Sohn. Zusammen sind sie 100 Jahre alt. Wie alt ist jeder der drei?
1 Schritt: x = Enkel
2 Schritt: x + 50 = Großvater
3 Schritt: 1/2 ( x + 50) = Sohn
4 Schritt: x + (x + 50) + 1/2(x + 50) = 100
5Schritt 2x + 50 + 1/2x + 25 = 100
6 Schritt 2,5x = 25
7 Schritt x = 10 (Enkel)
8 Schritt x = 10 + 50
9 Schritt x = 60 (Sohn)
10 Schritt x = 60/2 = 30
11 Schritt: 60 + 30 + 10 = 100 Jahre
Herr Huber ist heute 10mal so alt wie seine Enkelin Sara. In vier Jahren sind sie zusammen 85 Jahre alt. Wie alt sind die beiden heute?
Schritt 1: (x + 4) + (10x + 4) = 85
Schritt 2: 11x + 8 = 85
Schritt 3: 11x = 77
Schritt 4: x = 7 (Enkel)
Schritt: 10 * 7 = 70 (Großvater)
In einem Terrarium sitzen gleich viele Käfer und Spinnen. Käfer haben 6 Beine, Spinnen acht. Insgesamt haben die Tiere 112 Beine. Wie viele Käfer und wie viele Spinnen sind es?
1 Schritt 6x + 8x = 112
2 Schritt 14x = 112
3 Schritt x = 8
Reihenfolge Auflösung von Gleichungen
Erst die Strichrechnungen auflösen
Dann die Punktrechnungen
Bitte lösen Sie die folgenden Gleichungen
) x + 3 = 12
9
Löse die Gleichung
x + 5 = 21
x = 19
Bitte lösen Sie die folgenden Gleichungen:
a − 4 = 4
a = 8
x/4 = -5
x = - 20
1/3x = -5
x = - 15
x/7 = 4
x = 28
3x + 5 = − 6x + 32
1 Schritt: 9x = 27
2 Schritt x = 3
5x + 9 = − 3x + 65
1 Schritt 8x = 56
2 Schritt x = 7
9z − 23 = 25 − 3z
Schritt 1 12x = 48
Schritt 2 x = 4
17x + 35 = 90 − 5x
Schritt 1 22x = 55
Schritt 2 x = 55/22
4x − 3 + 2x = 33 + 3x
Schritt 1: 6x + 3 = 33 + 3x
Schritt 2: 3x = 30
Schritt 3 x = 10
4 − 9x − 15 = − 11x + 29 + 4x
Schritt 1: - 9 x - 11 =-7x + 29
Schritt 2: -2x = 40
Schritt 3: - 20
Bitte dei folgenden Gleichungen ausrechnen
) 42x − 45 − 81x = − 32x − 7 − 2x
1schritt: -41x - 45 = -30 x - 7
“schritt: -11x = -52
3 Schritt x =
Definitin LÖsung in einer Gleichung
Die Lösung bzw. die Lösungen einer Gleichung sind diejenigen Zahlen, die nach Einsetzen das Gleichheitszeichen gelten lassen. Man sagt auch: Eine Lösung erfüllt eine Gleichung.
Definiton lineare Gleichung
Gleichungen mit nur einer und nicht als Potenz vorkommenden Variablen bezeichnet man als lineare Gleichung mit einer Variablen
Bedeutung Äquivalenzumformung
Eine Äquivalenzumformung verändert die Lösung einer Gleichung nicht. Die einfachsten Äquivalenzumformungen sind das Addieren bzw. das Subtrahieren der gleichen Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung sowie die Multiplikation bzw. Division einer Gleichung mit einer Zahl. Die Äquivalenz von Gleichungen wird durch einen Äquivalenzpfeil (⇔) ausgedrückt.
Bedeutug (⇔)
Äquivalenzpfeil
Faktor gelöste Gleichung
Eine Gleichung ist dann gelöst, wenn „x alleine auf einer Seite steht“.
Wie Strichrechnungselemente die Seite wechseln in der Gleichung
Strichrechnungen werden durch (die entgegengesetzten) Strichrechnungen beseitigt
Wie Punktrechnungselemente die Seite wechseln in enier Gleichung
Punktrechnungen werden durch (die entgegengesetzten) Punktrechnungen beseitigt!
Zuletzt geändertvor 19 Tagen