7. Vl (Bildstatistik)

• Grauwert G eines Bildes an einem bestimmten Pixel ist ein Maß für die gemessene Bestrahlungsstärke E

• Da der Messprozess statistischen Schwankungen unterworfen ist, muss die Bestrahlungsstärke bzw. der Grauwert eines jeden Pixel als Zufallsvariable mit einer bestimmten kontinuierlichen p(x = E) bzw. diskreten p(X= G) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) angenommen werden

• Zwei Bedingungen:

(Q entspricht den Quantisierungsstufen)

• Wenn man annimmt, dass die Zufallsvariable X unabhängig vom Bildort ist, dann kann die pdf durch ein Histogramm angenähert werden

• Ein Histogramm entspricht der Häufigkeitsverteilung der Variablen z.B. der Grauwerte in einem Bild:

—> Nx: Anzahl der jeweiligen Variable X (z.B. des jeweiligen Grauwertes)

—> Es gilt:

Korrelation:

Korrelationskoeffizienten:

Rauschmodell für Bildsensoren:

—> Diskrete Verteilung der Elektronenzahl N ist poissonverteilt:

—> Der Mittelwert und die Varianz sind abhängig von λ, also auch von der Bestrahlungsstärke, und identisch:

Die eindimensionale Normalverteilung bzw. Gaußverteilung N(x|µ, σ^2) über der Zufallsvariablen x mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ2 (bzw. der Präzision β = 1/σ^2) hat die Form:

Die multivariate Gaußverteilung N(x|µ,Σ) über einer multiplen D-dimensionalen Zufallsvariablen x mit den Mittelwerten µ und der Kovarianzmatrix Σ bzw. der Präzisionsmatrix Λ = Σ^(−1) hat die Form:

wobei |Σ|die Determinante der Kovarianzmatrix bezeichnet. Der Exponent beinhaltet die sogenannte Mahalanobis Distanz ∆2 = (x−µ)⊤Λ(x− µ) die der Euklidischen Distanz entspricht, wenn die Kovarianzmatrix der Einheitsmatrix entspricht Λ = I

Die Kovarianzmatrix läßt sich immer in eine gewichtete Summe von folgenden separablen Matrizen zerlegen:

Die Vektoren ui entsprechen den Eigenvektoren von Σ und bilden eine Orthonormalbasis. Die Gewichte λi entsprechen den Eigenwerten von Σ.

Alternativ:

—> S = diag(λi ) , i = 1, ... , D

—> y= U(x−µ)

—> N(x|µ, Σ) = N(y|0, S)

Produkt univariater Normalverteilungen:

3 Kategorien:

a) allgemeine anisotrope Σ

b) separierbare anisotrope Σ = diag(σi^2)

c) separierbare isotrope Σ = σ^2*I