Schreibe Exponenten
Die Schreibweise a^n steht für das Produkt aus n Faktoren mit dem Wert a.
Faktor wie ein Graph an der x-achse gespiegelt wird
• wird an der x-Achse gespiegelt, indem man den gesamten Funktionsterm mit - 1 multipliziert
Art der Graph einer quadratischen Gleichung an der y-chse gestreckt wird.
• wird in y-Richtung gestreckt, indem man den quadratischen Teil des Funktionsterms mit einer Zahl größer als 1 multipliziert. Ist diese Zahl kleiner als 1, so wird der Graph in y-Richtung gestaucht. Den Betrag dieses Faktors kann man durch den Vergleich mit dem Graph der Normalparabel ermitteln.
Definition Hyperbel
Eine Hyperbel ist eine Kurve, die zu den Kegelschnitten gehört. Sie entsteht, wenn eine Ebene einen Doppelkegel so schneidet, dass beide Teile des Kegels durchdrungen werden. Die Hyperbel besteht aus zwei getrennten Ästen, die symmetrisch zur Achse des Kegels sind.
In der Mathematik spielt die Hyperbel in verschiedenen Anwendungen wie der Astronomie, Optik oder Physik eine wichtige Rolle.
Wichtiger Faktor Verlauf von Graphen mit negativen Potenzen
Die Graphen von Potenzfunktionen mit negativ ganzzahligen Exponenten besitzen zwei Äste, die sich asymptotisch den Koordinatenachsen nähern.
Wichtiger Faktor für den Vlerauf eines Graphen einer Funkion mit geraden Exponenten
Ist der Exponent der Funktionsgleichung gerade, so ist der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur y-Achse und besitzt nur positive Funktionswerte. Alle Graphen dieser Art verlaufen durch die Punkte (1 | 1) und (- 1 | 1).
Faktor Verschiebung des Graphen einer quadratischen Funktion in senkrechter Richtung
• wird in senkrechter Richtung durch das Anbringen eines zusätzlichen Summanden an den quadrierten Teil des Funktionsterms verschoben. Ist dieser Summand positiv, so wandert der Graph nach oben, bei negativen Werten nach unten.
Faktor Verschiebung eines Graphen einer quadratischen Funkton in waagerechter Richtung
• wird in waagrechter Richtung durch das Anbringen eines zusätzlichen Summanden direkt an der Variablen verschoben. Damit der Exponent auch für diesen Summanden gilt, muss eine Klammer gesetzt werden. Ist dieser Summand positiv, wandert der Graph nach links, bei negativen Werten nach rechts
Kehrwertfunktoin von f(x) = x^2
Zur Funktion f(x) = x^2 gehört die Umkehrfunktion f^-1 (x) = Wurzel aus x
Zur Funktion g(x) = Wurzel aus x gehört die Umkehrfunktion g^-1 = x^2
Wichtiger Faktor zum Verlauf von geraden Potenzfunktionen
• Die Graphen aller geraden Potenzfunktionen verlaufen durch (- 1 | 1).
Wichtiger Faktor zum Verlauf des Graphen von ungeraden Potenzfunktionen
Die Graphen aller ungeraden Potenzfunktionen verlaufen durch (- 1 | - 1)
Regel Wert des Bruches bei sinkendem Nenner
Wird der Nenner eines Bruchs bei gleich bleibendem Zähler immer kleiner, so steigt der Wert des Bruchs über alle Grenzen.
Bei dieser Entwicklung bleibt das Vorzeichen erhalten
Der Graph der Funktion y = x ^- 1 ist eine Hyperbel. Die beiden Teile dieser Hyperbel nennt man ihre Äste. Diese Äste nähern sich den Koordinatenachsen an. Dies bezeichnet man als asymptotischen Verlauf des Graphen und nennt die Linien, an die sich der Graph annähert, Asymptoten. In diesem Fall sind dies die x- und die y-Achse.
Wichtiger Faktor Vereinfachung von Thermen
Ein Term gilt dann als weitestgehend vereinfacht, wenn er weder gebrochene noch negative Exponenten enthält. Dies bedeutet, d
Funktion der Normalparabel
f(x) = x^2
Definition Funktion
Eine Funktion ist eine Vorschrift, die einem Element aus einer bestimmten Ausgangsmenge genau ein Element einer bestimmten Wertemenge zuordnet.
Definition Funktionsgleichung
Die mathematische Formulierung dieser Zuordnung nennt man Funktionsgleichung.
Definition Polinomfunktion
(Funktion mit viele Namen) - verschiedenwertige Variablen werden miteinander verglichen.
Regel für einen monotonsteigenden Graphen
Ein Graph heißt streng monoton steigend, wenn für alle x = ℝ gilt: x(2) > x(1) -> f(x2) > f(x1)
Regel für einen monoton fallenden Graphen
Der Graph einer Funktion heißt streng monoton fallend, wenn für alle x = ℝ gilt: x2 > x1 -> f(x2) < f(x1)
Regel für Punktsymmetrie
Eine Funktion f heißt punktsymmetrisch zum Ursprung, falls gilt: f(x) = - f (- x) für alle x als Element von ℝ
Regel für Achsensymmetrie mit der y-Achse
Eine Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, falls für alle x als Elementvon ℝ gilt: f(x) = f(–x)
Faktor bei geraden Exponenten
Ist der Exponent einer Potenzfunktion gerade (x^2, x^4 , x^6 , …), so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Es gilt: f(x) = f (- x)
Faktor bei ungerade Exponenten
Ist der Exponent einer Potenzfunktion ungerade (x^3, x^5 , x^7 , …), verläuft der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. Es gilt: f(x) = - f (- x)
Wichtiger Faktor über den Verlauf aller Graphen von Expontentialfunktionen
• Die Graphen aller Potenzfunktionen verlaufen durch (0 | 0) und (1 | 1).
Umrechnung von gebrochen rationalen Potenzen ohne Quadrat
Die Potenz 1/a^n steht für die n-te Wurzel aus a. In der gewohnten Wurzelschreibweise wird der Wurzelexponent n auf den „Balkon“ des Wurzelzeichen geschrieben:
1/a^n = nte Wurzel aus a
Bei Quadratwurzeln wird die (eigentlich erforderliche) 2 auf dem Wurzelzeichen weggelassen.
Rechenregel potenzieren von Potenzen
(n Wurzel von a)^m = (a^1/n)^m = a^m/n, a ist Element von ℝ, n + m sind Element von ℤ, n ist ungleich 0
Wichtige Regel a^0
a^0 gilt für jeden Wert als 1
Umrechnen von gebrochenen Potenzen in Quadratwurzeln
Die Potenz a^1/2 steht für die Quadratwurzel aus a: . So gilt z. B.:
4^1/2 = Wurzel aus 4 = 2
Diese Definition entsteht aus der Grundregel der Potenzrechnung, denn es gilt
a^1/2 * a^1/2 =
Wichtige Regel beim Wechsel der Potenz auf die andere Seite des Bruchstrichs
a^-n = 1/a^n und 1/a^-n = a^n
Rechenregel Division von zwei Potenzen mit gleichem Exponenten
a^m/b^m = (a/b)^m, a + b sind Elemente von ℝ, m ist Element von ℕ
Wichtige Regel wenn die Potenzen in einer Rechnung weder den gleichen Nenner noch den gleichen Teiler haben.
Zwei miteinander multiplizierte Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten lassen sich nicht zu einer Potenz zusammenfassen!
Rechenregel Division von Potenzen mit negativen Exponenten
Trägt eine Zahl a = ℝ einen negativen Exponenten, so steht diese Potenz für den Kehrwert der Potenz mit dem entsprechenden positiven Exponenten. So gilt z. B.:
3^-2 = 1/3^2 = 1/9
Definitoin Radikand
Zahl unter der Wurzel
Regeln bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis
a^m · a^n = a^m + n, a ist Element von ℝ, m, n ist Element von ℕ
Multipliziert man zwei Potenzen mit gleicher Basis, so bleibt diese Basis erhalten. Der neue Exponent ist die Summe aus den beiden ursprünglichen Exponenten.
Rechenregel für die Division von Potenzen mit der gleichen Basis
a^m/a^n = a^m-n, a ist Element von ℝ und a ungleich 0, n ist Element von ℕ
Dividiert man zwei Potenzen mit gleicher Basis, so bleibt diese Basis erhalten. Der neue Exponent ist die Differenz aus den beiden ursprünglichen Exponenten.
Rechenregel Multiplikation von Potenzen mit dem gleichen Exponenten
a^m + b^m = (a*b)^m, a + b sind Elemente von ℝ, m ist Element von ℕ
Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten werden miteinander multipliziert, indem man die beiden Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. Lässt sich das Produkt der beiden Basen nicht berechnen (weil es z. B. Variablen enthält), so muss man um dieses Produkt eine Klammer setzen, um die Rechenreihenfolge „Potenz vor Punkt“ außer Kraft zu setzen.
Bitte berechnen Sie ohne den Einsatz des Taschenrechners:
2 · 2^2 - (- 2^3 - (- 2)^3)^2
2 · 2^2 - (- 2^3 - (- 2)^3)^2 = 2 · 4 - (- 8 - (- 8))^2 = 8 - (- 8 - 8)2 = 8 - 0 = 8
Bitte vereinfachen Sie die Terme und überprüfen Sie anschließend Ihr Ergebnis durch das Eingeben des Terms (ohne Zwischenergebnisse!) in den Taschenrechner:
Wurzel aus 3 - (3/Wurzel aus 3)
= Wurzel aus 3 - Wurzel aus 3 = 0
Schreibeweise Multiplikation mit zwei Wurzeln
Wurzel a * Wurzel b
Wurzel aus a * b
Schreibweise Division durch zwei Brüche
Wurzel aus a/ Wurzel aus b = Wurzel aus a/b
Bestandteile einer Potens
Basis (a) und Exponent (n)
Rechenregel in der 3 Ebene
Potenz vor Punkt vor Strich
Bedeutung Zeichen IR
Die irrationalen Zahlen erweitern den Zahlbereich ℚ der rationalen Zahlen durch die nicht-abbrechenden und nicht-periodischen Dezimalbrüche. Eine irrationale Zahl lässt sich deshalb immer nur als Rundungswert angeben. Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden die irrationalen Zahlen den Zahlbereich ℝ der reellen Zahlen.
Wichtige Rechenregel bei der Subtraktion oder Addition von Wurzeln
Die Wurzel aus der Summe bzw. der Differenz der Radikanden ist ungleich der Summe bzw. der Differenz der beiden Wurzeln. Wurzeln kann man in dieser Weise nicht addieren und subtrahieren!
2^2 + (3^3 - 2 · 2^3)
2^2 + (3^3 - 2 · 2^3) = 4 + (27 - 2 · 8) = 4 + (27 - 16) = 4 + 11 = 15
2 · ( 2^2 - 2^3 )
2 · ( 2^2 - 2^3 ) = 2 · (4 - 8) = 2 · (- 4) = - 8
3^3 - (- 3)^3 - 3 · (- 3)^2
3^3 - (- 3)^3 - 3 · (- 3)^2 = 27 - (- 27) - 3 · (- 9) = 27 + 27 - 27 = 27
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