Wie funktioniert das Lösen von Gleichungssystemen?
3x = 2
Wie kann ein lineares Gleichungssystem in Form einer Matrix ausgedrückt werden?
Wie kann man ein Gleichungssystem mit Matrizen lösen?
mit der inversen Matrix
Problem beim Finden der Inversen Matrix
Welche zwei Fälle gibt es zur Existenz einer inversen Matrix?
Bedingungen für die Existenz einer inversen Matrix
Determinante: glaub b (Ax=b) darf nicht 0 sein
Inhalte der Vorlesung (zum Verständnis, was gelernt wird)
lineare Abhängigkeit ist nötig zu wissen, um Rang zu bestimmen
Inverse einer Matrix ist nötig zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen
Wann gilt lineare Unabhängigkeit?
Spaltenrang einer Matrix
Beispiel Bestimmung Spaltenrang einer Matrix
Spalten- und Zeilenrang einer Matrix
-> wovon abhängig?
Wie hoch kann der Rang einer Matrix höchstens sein?
Methode zur Rangbestimmung und wie funktioniert sie?
Sweep-Out-Methode
- Matrix durch elementare Zeilenumfomungen in eine einfachere Form bringen = Zeilenstufenform
- Vorgehensweise: 1. Matrix durch Zeilenumformung in Zeilenstufenform bringen 2. folgende Umformungen: vertauschen von zwei Zeilen, multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl ungleich null, addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
-> Pivot-Element: oberstes Element in der Spalte (auf der Diagonalen), das 1 werden soll, alles darunter 0
-> was in der 2., 3. usw. Spalte über der 1 ist, ist egal
Sweep-Out-Methode: Beispiel
Ziel-Form bei der Sweep-Out-Methode
Eigenschaften des Rangs einer Matrix
Wann ist eine Matrix invertierbar?
(Bedingung für Inversion)
Wenn sie vollen Rang besitzt
Wenn eine Matrix keinen vollen Rang hat, gibt es entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen für die Inversion
Bestimmung von inversen Matrizen:
Sonderfall 2x2-Matrix
Formel lieber mal merken
Diagonalmatrizen
Orthogonale Matrzen
Problem der Bestimmung der Inverse bei beliegigen quadratischen Matrizen
Was ist das Ziel bei der Bestimmung der Inversion?
Mit welchem Verfahren kann man die inverse Matrix bestimmen?
Wie funktioniert das Gauss-Jordan-Verfahren allgemein?
die Matrix in die I-Form bringen, sodass dann auf der rechten Seite die inverse Matrix entsteht
Beispiel für ein Gauss-Jordan-Verfahren
Hintergrund des Gauss-Jordan-Verfahrens
Rechenregeln mit inversen Matrizen (nicht auswendig)
Lösung linearer Gleichungssysteme mit Matrizen
Ablauf
was muss gegeben sein?
Fazit
Zuletzt geändertvor 16 Tagen
