2.1 Grundlegende Definitionen

Eine Funktion ist definiert als eine mathematische Vorschrift, die jeder reellen Zahl x eine  eindeutige reelle Zahl zuordnet

Die Variable x bezeichnet man auch  als Funktionsargument. 

Funktionsargument  Die Variable, für die die  Funktion eine Zuord-  nungsvorschrift darstellt,  heißt Funktionsargument. 

Alle Zahlen, die die Variable x (oder das Funktionsargument) annehmen darf, liegen im  DefinitionsbereichD (

Definitionsbereich  Der Definitionsbereich  gibt die Menge aller Zah-  len an, die die Variable x  annehmen darf

solange keine expliziten Einschränkungen erwähnt sind, der Definitionsbe-  reich mit der Menge der reellen Zahlen übereinstimmt, also D =

Funktionswert  Der Funktionswert ent-  spricht der Zahl, die  durch die Funktion f der  Variablen x zugeordnet  wird.

• eine Funktion f und eine Variable x . Dann gibt der Ausdruck f(x).

• Das Symbol f  gibt die Funktion an, also die Zuordnungsvorschrift, während das Symbol f(x) den Wert  der Funktion an der Stelle x anzeigt. Alle zulässigen Funktionswerte definieren den Werte-  bereich W

Der Wertebereich gibt die  Menge aller Funktionswerte an.

In vielen (Anwendungs-)Fällen wird der Funktionswert auch durch die Variable y symbol-  isiert. In diesem Fall gibt y den Wert der Funktion an der Stelle x an. Dieses Vorgehen wird  durch die Funktionsgleichung y = f(x) zum Ausdruck gebracht

Die Variable x wird als unabhängige Variable bezeichnet, da man Zahlen unabhängig, d. h. beliebig, aus dem Definitionsbereich auswählen kann. Die Variable y wird als abhängige Variable bezeichnet, da der Wert von y (oder der Wert f(x)) vom Wert der Variablen x abhängig ist

x wird als exogene Variable bezeichnet, da sie annahmegemäß außerhalb des Modells festgelegt wird und insofern durch das Modell nicht beeinflussbar ist.

Die Variable y wird als endogene Variable bezeichnet, da diese durch das Modell erklärt werden soll

Wertetabellen eignen sich besonders dann, wenn der Definitionsbereich aus nur einigen  Zahlen besteht. Produziert das Unternehmen z. B. hochwertige Stifte, so wird der Definiti-  onsbereich aus der Menge der natürlichen Zahlen bestehen (𝐷 = ℕ), denn 0,25 Stifte zu  produzieren, ist weder sinnvoll noch möglich.

Stellt das Unternehmen hingegen ein ska-  lierbares Produkt her, wie beispielsweise Getränke (Wasser, Milch, Bier), wird die Produk-  tion in Litern gemessen und man kann durchaus 0,25 Liter Wasser erzeugen. Dann besteht  der Definitionsbereich aus der gesamten Menge der positiven reellen Zahlen, es gilt  𝐷 = ℝ+.

Ist der Definitionsbereich identisch mit der Menge der reellen Zahlen, gibt die Wertetabelle nur einen sehr kleinen Ausschnitt der möglichen Funktionswerte an.

Hier ist ein Graph als Darstellung der Funktion sinnvoller. Ein solcher Graph gibt die Menge aller geordneten Wertepaare der Variablen x und des Funktionswertes an, also x, f(x)

• Ein Wertepaar beschreibt  die Variable x und den  dazugehörigen Funktions-  wert f(x).

• 
  

Auf der waagerechten Zahlengeraden wird die Variable x aufgetragen. Wir bezeichnen diese Gerade als x-Achse oder Abszisse.

• Auf der vertikalen Zahlengeraden wird der Funktionswert f(x) bzw. y aufgetragen. Wir bezeichnen diese Gerade als y-Achse oder Ordinate.

• Das Koordinatensystem besteht aus vier Quadranten.

• Im ersten Quadranten nimmt sowohl die Variable x als auch der Funktionswert positive Werte an.

• Im zweiten Quadranten ist der Funktionswert positiv, aber die Variable x nimmt negative Werte an.

• Im dritten Quadranten sind alle Werte negativ, während im

• vierten Quadranten nur der Funktionswert negativ ist. Im Folgenden werden wir aber nur den/die für die Analyse bedeutenden Quadranten darstellen.

• Im Schnittpunkt beider Achsen liegt der Ursprung (oder Nullpunkt) des Koordinatensystems.

Für ökonomische Anwendungsfälle sind folgende ganzrationale  Funktionen relevant:

• konstante,

• ineare,

• quadratische und

• kubische Funktionen.

Beispiel für eine konstante Funktion ist die Fixkostenfunktion.

Grafisch entspricht eine lineare Funktion einer Geraden

Parameter b gibt  den y-Achsenabschnitt der Geraden an, während der Parameter a der Geradensteigung  entspricht. Die Geradensteigung lässt sich auch durch das Steigungsdreieck berechnen.  Für dieses gilt: 

Beispiel: variable Kosten

1. Die Parabel ist nach oben geöffnet, sofern der Parameter a eine positive Zahl  annimmt. Die Parabel ist nach unten geöffnet, sofern der Parameter a eine negative  Zahl annimmt (Tietze 2019, S. 185). 

2. Die Parabel kann eine, zwei oder keine Nullstelle/n aufweisen (Merz/Wüthrich 2012,  S. 350). 

3. Die Parabel hat stets einen Extrempunkt (oder Scheitelpunkt). Handelt es sich dabei  um den tiefsten Punkt, wird der Extrempunkt als Minimum bezeichnet. Der Wert der  Variablen x, bei dem die Parabel ihr Minimum erreicht, heißt Minimalstelle. Der dazu-  gehörige Funktionswert wird als Minimalwert bezeichnet. Handelt es sich hingegen  um den höchsten Punkt, wird der Extrempunkt als Maximum bezeichnet. Der Wert der  Variablen x, bei dem die Parabel ihr Maximum erreicht, heißt Maximalstelle. Der dazu-  gehörige Funktionswert wird als Maximalwert bezeichnet (Opitz et al. 2017, S. 104).  Ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, können wir auch sofort anhand  der Funktion erkennen. Nimmt der Parameter a eine positive Zahl an, so liegt ein Mini-  mum vor. Nimm der Parameter a eine negative Zahl an, so liegt ein Maximum vor

Nullstelle dort, wo der Funktionswert null ist, also f(x)  = 0.

Steigung  Die Steigung eines Gra-  phen ist positiv, wenn die  Funktionswerte steigen  und negativ, wenn die  Funktionswerte sinken,  jeweils bei wachsenden x-  Werten.

Eine nach oben geöffnete Parabel hat daher zunächst eine  negative und nach Erreichen des Minimums eine positive Steigung. Eine nach unten geö-  ffnete Parabel hat zunächst eine positive und nach Erreichen des Maximums eine negative  Steigung

Bei einer allgemeinen quadratischen Funktion

bestimmt der Parameter c den y-Achsenabschnitt der Parabel. Das bedeutet:

• c gibt an, wo die Parabel die y-Achse schneidet (also den Funktionswert an der Stelle x=0).

• Je größer oder kleiner c ist, desto höher oder tiefer liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Mathematisch:

f(0)=a(0)^2 + b(0) + c = c

Das heißt, der Punkt (0, c) liegt immer auf der Parabel.

Stückkostenfunktion

• Diese gibt die durchschnittlichen Kosten an, die je produzierter Einheit anfallen.

Angenommen, der Eigentümer eines produzierenden Unternehmens kommt auf Basis von Vergangenheitswerten zu dem Schluss, dass sich die Stückkosten (pro Tag) durch folgende Funktionsgleichung darstellen lassen: y = f(x) = 0,1x2 – 2x + 11. Die dazugehörige Parabel ist nach oben geöffnet, hat ein Minimum bei x = 10 und y = 1 und keine Nullstelle (siehe folgende Abbildung).

• Erstens zeigt sich, dass die Stückkosten, ausgehend von einer Produktion von null, zunächst sinken.

• Zweitens sind die Stückkosten bei einer Produktionsmenge von 10 am niedrigsten; sie betragen 1 €.

• Drittens nehmen die Stückkosten danach wieder zu. Kosteneffizient wäre es also, pro Tag 10 Gütereinheiten zu produzieren.

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion entspricht dem Quotienten zweier ganzrationaler Funk-  tionen (oder Polynomen). Bezeichnen wir zwei ganzrationale Funktionen mit h und g, so  folgt im Allgemeinen für die gebrochenrationale Funktion 𝑓:

Nenner darf nicht den Wert null anneh-  men, d. h. g(x) ≠ 0. Der Definitionsbereich muss folglich so eingeschränkt werden, dass es  keinen Wert der Variablen x gibt, für den g(x) gleich null ist

1. f(x) = 1/x —> Der Definitionsbereich besteht folg-  lich aus allen reellen Zahlen außer der Null. Wir schreiben dafür: 𝐷 = ℝ | {0}.Den Graphen bezeichnet man als Hyperbel. Hier wird ersichtlich, dass die Variable x den Wert null nicht annehmen kann, sodass sich der Graph der Funktion an die y-Achse annä- hert, aber diese nie berührt oder gar schneidet

2. null bei x=1 —> D = ℝ | {1 }.

   —> die Hyperbel nähert sich also immer der vertikalen Linie an der Stelle auf der X-Achse an für den der Wert im Nenner 0 ergibt

Eine gebrochenrationale Funktion kann eine (oder mehrere) Unendlichkeitsstellen (oder Polstellen) aufweisen. Die Unendlichkeitsstelle entspricht genau dem Wert der Variablen x (oder den Werten), der außerhalb des Definitionsbereichs liegt. Im obigen Beispiel f(x) = 1/x besitzt die Funktion daher eine Unendlichkeitsstelle bei x=0.

Nähern wir uns dieser Unendlichkeitsstelle von rechts (also vom positiven Bereich), sehen wir, dass der Funktionswert steigt. Je näher wir der Unendlichkeitsstelle kommen, desto größer wird der Funktionswert. Diese steigende Entwicklung des Funktionswerts wird niemals aufhören, da wir beliebig nah an die Unendlichkeitsstelle rücken können (x = 0,000001 ist ebenso zulässig wie x = 0,0000000000000001). Wir sagen daher, dass der Funktionswert nach ∞ (Unendlich) strebt.

Nähern wir uns der Funktion hingegen von links (also vom negativen Bereich aus), strebt der Funktionswert nach –∞ (minus Unendlich) . In welche Richtung der Funktionswert an der Unendlichkeitsstelle strebt, ist von Funktion zu Funktion unterschiedlich, siehe Bsps

Bei einer gebrochenrationalen Funktion der Form

f(x)=P(x) / Q(x)

wird eine Lücke oder eine Unendlichkeitsstelle (Polstelle) durch die Nullstellen des Nenners Q(x) bestimmt.

Vorgehensweise:

Nullstellen des Nenners finden Löse Q(x)=0, um die kritischen Stellen zu bestimmen.

Prüfen, ob die Stelle auch eine Nullstelle des Zählers ist Setze die gefundenen Werte in P(x) ein:

Falls P(x) an dieser Stelle ebenfalls 0 wird, liegt eine entfernbare Lücke (hebbarer Definitionslücke) vor, wenn sich der Ausdruck kürzen lässt.

Falls P(x) nicht 0 wird, handelt es sich um eine Polstelle (Unendlichkeitsstelle).

Beispiel:

Gegeben die Funktion:

f(x)=(x^2−4) / (x−2)

Nullstelle des Nenners: x−2=0⇒x=2

Nullstelle des Zählers prüfen: x^2−4=(x−2)(x+2)

Einsetzen von x=2

(2−2)(2+2)=0

→ Da der Zähler ebenfalls 0 wird, liegt eine Lücke vor, da sich der Ausdruck zu f(x)=x+2 für x≠2x kürzen lässt.

Beispiel einer Polstelle:

f(x)= (x+1) / (x−2)

Nullstelle des Nenners: x−2=0⇒x=2

Nullstelle des Zählers prüfen:

x+1 = 2+1= 3≠0

→ Da der Zähler nicht 0 wird, handelt es sich um eine Polstelle mit einer senkrechten Asymptote bei x=2.

Zusammenfassung:

Wenn Zähler und Nenner gleichzeitig 0 → Lücke (falls kürzbar).

Wenn nur der Nenner 0 wird → Polstelle (Unendlichkeitsstelle).

Falls eine genauere Unterscheidung von Polstellen (z.B. mit Vorzeichenwechsel oder Asymptotenverhalten) nötig ist, kann man noch eine Grenzwertbetrachtung durchführen.

eine gebrochenrationale Funktion kann eine (oder mehrere) Lücken aufweisen. Die Lücke entspricht genau dem Wert der Variablen x (oder den Werten), der außerhalb des Definitionsbereichs liegt. Betrachtet sei dazu ein weiteres Beispiel. Die (gebrochenrationale) Funktion

hat den Definitionsbereich D = ℝ\{1}. In der Nähe der Stelle x = 1 nimmt der Funktionswert allerdings keinen unendlich niedrigen oder hohen Wert an (siehe folgende Abbildung). Daher handelt es sich bei der Nullstelle des Nenners um eine Lücke – diese wird angedeutet durch den Punkt in der Abbildung.

Die Nullstelle des Nenners einer gebrochenrationalen Funktion wird als Lücke bezeichnet, sofern die Funktionswerte in der Nähe dieser Stelle nicht nach plus oder minus unendlich streben

Vorgehensweise:

1. Nullstellen des Nenners finden Löse Q(x)=0, um die kritischen Stellen zu bestimmen.

2. Prüfen, ob die Stelle auch eine Nullstelle des Zählers ist Setze die gefundenen Werte in P(x) ein:

   • Falls P(x) an dieser Stelle ebenfalls 0 wird, liegt eine entfernbare Lücke (hebbarer Definitionslücke) vor, wenn sich der Ausdruck kürzen lässt.

   • Falls P(x) nicht 0 wird, handelt es sich um eine Polstelle (Unendlichkeitsstelle)

Zusammenfassung:

• Wenn Zähler und Nenner gleichzeitig 0 → Lücke (falls kürzbar).

• Wenn nur der Nenner 0 wird → Polstelle (Unendlichkeitsstelle).

Als ökonomischer Anwendungsfall dient die Stückkostenfunktion, die die durchschnittli-  chen Produktionskosten angibt.

Angenommen, der Eigentümer eines  Unternehmens schätzt, dass 𝑓 𝑥 = (0,9𝑥 + 25)/x

offensichtlich kosteneffizi-  ent ist, so viele Güter wie möglich zu produzieren – immerhin sinken die Durchschnittskos-  ten kontinuierlich mit der Produktionsmenge x. Haben Stückkosten einen solchen Verlauf,  hat dies auch Implikationen für die Politik. Es ist sinnvoll, dass nur ein einziges sehr gro-  ßes Unternehmen am Markt produziert (bzw. einige wenige sehr großen Unternehmen),  denn durch die Größe kann das Unternehmen eine sehr hohe Produktionsmenge herstel-  len und die Stückkosten sind entsprechend niedrig. Dies wird häufig als Argument dafür  verwendet, Unternehmenszusammenschlüsse zu bewilligen und/oder marktbeherr-  schende Stellungen von Unternehmen zuzulassen.

Potenzfunktionen

Der Parameter a

• kann grundsätzlich jede reelle Zahl annehmen außer der Null. Aus Verein-  fachungsgründen wollen wir hier aber annehmen, dass der Parameter a einer positiven  reellen Zahl entspricht. Der Parameter b (entspricht hier auch dem Exponenten) darf jede  reelle Zahl annehmen. Es gilt folglich a ∈   ℝ+ und b ∈   ℝ. 

Der Definitionsbereich

• dieser Funktion ist abhängig vom Wert des Parameters b. Ist dieser  positiv (b>0), gilt D = ℝ; ist dieser negativ (b<0), gilt D = ℝ ohne 0.In jedem Fall ist der  Definitionsbereich so beschränkt, dass für die Variable x reelle Zahlen eingesetzt werden  dürfen wir gemeinhin davon aus, dass der Definitionsbereich nur nichtnegativ reelle Zah-  len enthalten soll

Parameters b

• können Potenzfunktionen außerdem klassifiziert werden. Dies  zeigen die folgenden Überlegungen, bei denen zur Vereinfachung stets a = 1 unterstellt  ist

  • 1. Gilt b > 1, so weist der Graph der Potenzfunktion eine positive Steigung auf. Außer-  dem ist der Graph konvex gekrümmt, das bedeutet, der Graph wird mit zunehmen-  den x-Werten immer steiler, siehe Beispiel: fx=x^3. 

  • 2. Gilt 0 < b < 1, so weist der Graph der Potenzfunktion auch eine positive Steigung  auf. Allerdings ist der Graph konkav gekrümmt – der Graph wird mit zunehmenden x-  Werten immer flacher, siehe Beispiel: f x = x^1/3  . 

  • 3. Gilt b < 0, besitzt der Graph der Potenzfunktion eine negative Steigung. Außerdem ist  der Graph konvex gekrümmt, er wird also mit zunehmenden x-Werten immer flacher,  siehe Beispiel: f x = x^‐1/2 

Im ökonomischen Kontext

• vor allem in der Produktion e

Beispiel die Technologie einer Firma durch

dargestellt werden, wobei

• 20 die  Anzahl der Maschinen,

• unabhängige Variable x die Anzahl der Mitarbeiter

• abhängige Variable y die Höhe der Produktion angeben.

• Werden 100 Mitarbeiter beschäf-  tigt, so können y=f(100)=200 Güter hergestellt werden. Verdoppelt sich die Anzahl der  Mitarbeiter auf 200, werden y=f(200)=282,84≈283 Güter produziert. Dies zeigt: Die Pro-  duktionserhöhung ist im Verhältnis zur Erhöhung der Belegschaft unterproportional (trotz  Verdopplung der Mitarbeiter, steigt die Produktion nur um knapp die Hälfte). Diese  Erkenntnis sieht man dem Graphen der Funktion (folgende Abbildung) unmittelbar an. Da  der Exponent eine Zahl zwischen null und eins ist, liegt eine positive Steigung, aber kon-  kave Krümmung vor. Der Graph wird immer flacher, das bedeutet, dass zusätzliche Mitar-  beiter immer weniger zusätzliche Güter herstellen können

Parameter b darf jede positive reelle Zahl annehmen (und wird hier auch als Basis  bezeichnet). Der Parameter a kann jede reelle Zahl annehmen, während der Parameter c  alle reellen Zahlen außer der Null annehmen darf. Aus Vereinfachungsgründen wird im  Folgenden unterstellt, dass der Parameter a nur positive reelle Zahlen und der Parameter  c nur positive rationale Zahlen annehmen darf. Es gilt folglich a,   b ∈ R+ und  c ∈   ℚ+. Die wichtigste Eigenschaft der Exponentialfunktion ist, dass die Variable x ein  Exponent ist

Parameters b lässt sich die allgemeine Exponentialfunktion klassifizieren 

• Gilt 0 < b < 1, hat der Graph der allgemeinen Exponentialfunktion eine negative Stei-  gung und ist konvex gekrümmt. Außerdem entspricht der Schnittpunkt mit der y-Achse  dem Parameterwert a und der Graph weist keine Nullstelle auf. Siehe Beispiel: f(x) = 10  · 0,5^1·x 

• Gilt b > 1, hat der Graph der allgemeinen Exponentialfunktion eine positive Steigung  und ist konvex gekrümmt. Außerdem entspricht der Schnittpunkt mit der y-Achse dem  Parameterwert a und der Graph weist keine Nullstelle auf. Siehe Beispiel: f(x) = 10 · 2^1·x 

Zusammengefasst: Eine echte Exponentialfunktion hat keine Nullstellen.

Begründung:

1. Eine allgemeine Exponentialfunktion ist für alle reellen Zahlen definiert und nimmt nie den Wert null an.

2. Wenn man die Gleichung lösen will, müsste gelten. Da eine Potenz mit positiver Basis niemals null werden kann, existiert keine Lösung für .

3. Der Graph einer Exponentialfunktion kann sich der x-Achse nur asymptotisch annähern, aber nie schneiden.

ökonomischen Kontext

• bei  der Berechnung des Wirtschaftswachstums, bei der privaten Vermögensrechnung (Ent-  wicklung der Spareinlagen, Kredittilgungen, Zinsrechnungen etc.) und bei der Bewertung  des Kapitalvermögens eines Unternehmens (insbesondere für Abschreibungspläne)

Der Buchstabe e symbolisiert nun eine Konstante, und zwar die Eulersche Zahl. Der Para-  meter c kann jede beliebige reelle Zahl annehmen, außer der Null. Der Parameter a kann  grundsätzlich jede reelle Zahl annehmen, wir wollen uns aber im Folgenden auf den posi-  tiven Bereich beschränken. Es gilt folglich a ∈   ℝ+ und c ∈ ℝ\ {0} .

c dient zur Klassifizierung der natürlichen Exponentialfunktion

• Gilt c < 0, hat der Graph der natürlichen Exponentialfunktion eine negative Steigung  und ist konvex gekrümmt. Außerdem entspricht der Schnittpunkt mit der y-Achse dem  Parameterwert aund der Graph weist keine Nullstelle auf.

Gilt c > 0, hat der Graph der natürlichen Exponentialfunktion eine positive Steigung  und ist konvex gekrümmt. Zudem ist der Schnittpunkt mit der y-Achse gleich dem Para-  meterwert aund der Graph weist keine Nullstelle auf.

Wir erkennen: Die natürliche Exponentialfunktion ist ein Spezialfall der allgemeinen Expo-  nentialfunktion mit b = e und c ∈ ℝ 0 . Die ökonomischen Anwendungsgebiete korres-  pondieren entsprechend mit den weiter oben genannten.

natürli-  chen Logarithmusfunktion

Die Variable x kann nur positive reelle Zahlen annehmen. Der Definitionsbereich ist  D = ℝ+. Der Parameter a kann jede beliebige reelle Zahl außer der Null annehmen. Es gilt  folglich

Parameter a bestimmt die Steigung und über das Vorzeichen auch das Krümmungs-  verhalten: 

• Gilt a > 0, weist der Graph eine positive Steigung auf und ist konkav gekrümmt. 

• Gilt a < 0, weist der Graph eine negative Steigung auf und ist konvex gekrümmt. 

• Alle Graphen laufen durch den Punkt (1;0).

Eine monotone Funktion ist eine Funktion, deren Funktionswert mit zunehmendem x-  Wert entweder stets zunimmt oder stets abnimmt oder ggf. auch konstant bleibt

• streng monoton steigend, wenn der Funktionswert mit wachsenden x-  Werten kontinuierlich zunimmt, die Steigung des Graphen mithin stets positiv ist

• monoton steigend, wenn der Funktionswert mit wachsenden x-Werten  zunimmt oder konstant bleibt. Die Steigung des Graphen ist mithin stets positiv oder  null. 

• streng monoton fallend, wenn der Funktionswert mit wachsenden x-  Werten kontinuierlich abnimmt, die Steigung des Graphen mithin stets negativ ist. 

• ist monoton fallend, wenn der Funktionswert mit wachsenden x-Werten  abnimmt oder konstant bleibt. Die Steigung des Graphen ist mithin stets negativ oder  null. 

Stetigkeit 

• immer dann stetig, wenn die Funktion als ein zusammenhängender  Graph dargestellt werden kann (

• unstetig, wenn sogenannte Unstetigkeitsstellen existieren

Unstetigkeitsstellen

• die Unendlichkeitsstelle und die Lücke. In beiden Fällen verläuft  der Graph der Funktion nicht kontinuierlich.

• Sprungstelle. Hier springt der Funktionswert bei einer kleinen Verände-  rung der Variable x, was in der folgenden Abbildung demonstriert ist

Zuord-  nungsvorschrift für unterschiedliche x-Werte wechseln darf. Zum Beispiel könnte man sich  vorstellen, dass eine Funktion zwischen den x-Werten null und zwei zunächst linear ist und  anschließend quadratisch. Für negative x-Werte ist der Funktionswert immer null. Die line-  are Funktion könnte 2x sein, während die quadratische Funktion 2x2 entspricht. Mathema-  tisch schreiben wir: 

1. Es ist nur der positive Bereich der x-Achse veranschaulicht, da im negativen Bereich  der Funktionswert null beträgt und der Graph daher mit der x-Achse identisch ist. 

2. Die Funktion springt an der Stelle x = 2. Für den vertikalen Sprung ist hier alternativ  zur obigen Abbildung eine vertikale, durchgezogene Linie verwendet worden, welche  ebenfalls den Sprung des Funktionswertes markiert. 

3. Die Funktion ist aufgrund der Sprungstelle nicht stetig, aber dennoch monoton wach-  send, da der Funktionswert mit steigenden x-Werten stets zunimmt oder für negative  x-Werte gleich bleibt.. 

4. Man sieht, dass der Graph im ersten Abschnitt einer Geraden entspricht und im zwei-  ten Abschnitt einer Parabel (genauer: deren rechtem Teil).

1. Angenommen, es liegen zwei Funktionen h und g vor. Beide Funktionen weisen identi-  sche Definitionsbereiche auf. Es ist dann zulässig, durch Addition, Subtraktion oder  Multiplikation beider Funktionen eine neue Funktion f zu generieren: 

2. Angenommen, es liegen zwei Funktionen g und h vor. Beide Funktionen weisen identi-  sche Definitionsbereiche auf, wobei die Funktion h nicht null werden kann. Es ist dann  zulässig, durch Division beider Funktionen eine neue Funktion f zu generieren:

3. Zwei Funktionen h und g können verkettet (oder komponiert) sein, wenn sie sich als  äußere und innere Funktion darstellen lassen. Wir schreiben dann:

Die Funktion g ist die äußere Funktion, die Funktion h die innere.

Die äußere Funktion ist die Potenzfunktion g(z) = z3, wobei wir die Variable z als  Platzhalter für den Term in der Klammer verwendet haben. 

ökonomische Anwendung

Verknüpfungen von Funktionen sind bei ökonomischen Anwendungsfällen alltäglich. So  ist z. B. der Eigentümer eines Unternehmens vor allem am Gewinn interessiert. Zur Ermitt-  lung der Gewinnfunktion verknüpft er die Umsatzfunktion mit der Kostenfunktion.  Genauer: Die Gewinnfunktion entsteht dadurch, dass die Kostenfunktion von der Umsatz-  funktion abgezogen wird.