Mathematik - Stereometrie

Eine n-seitige Pyramide mit der Grundfläche G und der Höhe h hat den Rauminhalt:

V = 1/3 * Gh

1. Kriterien nach ICD-10/DSM-5: Symptome müssen mindestens einen Monat anhalten und zu deutlichem Leidensdruck oder Beeinträchtigung führen.

2. Anamnese: Detaillierte Erhebung der Traumahistorie.

3. Screening-Tools: Fragebögen wie Impact of Event Scale (IES) oder Clinician-Administered PTSD Scale (CAPS).

4. Differenzialdiagnostik: Abgrenzung zu anderen psychischen Störungen.

• Psychotherapie:

  • Traumafokussierte kognitive Verhaltenstherapie (CBT).

  • EMDR (Eye Movement Desensitization and Reprocessing).

• Medikamentöse Therapie:

  • SSRI (z. B. Sertralin, Paroxetin).

  • Seltener Antipsychotika bei schwereren Fällen.

• Entspannungstechniken: z. B. progressive Muskelentspannung, Achtsamkeitstraining.

1. Beziehungsaufbau: Vertrauensvolle Beziehung schaffen, empathisch kommunizieren.

2. Förderung der Sicherheit: Sichere Umgebung schaffen, um Trigger zu vermeiden.

3. Unterstützung bei der Bewältigung: Anleiten zu Entspannungsübungen und Stressbewältigungsstrategien.

4. Krisenintervention: Bei akuten Symptomen beruhigend und stabilisierend eingreifen.

5. Förderung der Selbstfürsorge: Patienten ermutigen, auf eigene Bedürfnisse zu achten (z. B. Schlaf, Ernährung).

6. Information und Psychoedukation: Aufklärung über PTBS, Symptome und Behandlungsmöglichkeiten.

• Intrusionen: Wiederkehrende belastende Erinnerungen oder Flashbacks.

• Albträume: Wiederkehrende Träume vom traumatischen Ereignis.

• Vermeidungsverhalten: Meidung von Orten, Personen oder Situationen, die an das Trauma erinnern.

• Hyperarousal: Übererregbarkeit wie Schlafstörungen, Reizbarkeit, Konzentrationsprobleme, erhöhte Schreckhaftigkeit.

• Emotionale Taubheit: Gefühl von Entfremdung, Gleichgültigkeit gegenüber anderen.

• Depressive Symptome: Schuldgefühle, Hoffnungslosigkeit.

1. Traumatische Erlebnisse: z. B. Krieg, Unfälle, Gewalt, Missbrauch, Naturkatastrophen.

2. Individuelle Risikofaktoren: Frühkindliche Traumata, fehlende soziale Unterstützung, genetische Prädisposition.

3. Neurobiologie: Veränderungen in Gehirnregionen wie Amygdala, Hippocampus und präfrontalem Kortex.

• Chronifizierung der Symptome.

• Entwicklung von Begleiterkrankungen wie Depressionen, Angststörungen, Substanzmissbrauch.

• Beeinträchtigung der sozialen und beruflichen Funktionsfähigkeit.

• Erhöhtes Suizidrisiko.

– Posttraumatische Belastungsstörung

– Komplexe Posttraumatische Belastungsstörung

– Verlängerte Trauerstörung

– Anpassungsstörung – Reaktive Bindungsstörung

– Störung der sozialen Bindung mit enthemmten Verhalten

– Das Wiedererleben des Traumas in der Gegenwart: Durch Flashbacks oder in Alpträumen wird das Trauma im Hier und Jetzt lebendig. Damit einhergehend sind überwältigende Emotionen, wie sie in der traumatischen Situation selbst erlebt wurden, wie Angst und Entsetzen, aber auch starke Körperempfindungen (Bar-Haim et al., 2021).

– Vermeidungsverhalten: Gedanken, Personen, Orte und Situationen, die an das Trauma erinnern und dieses wieder heraufbeschwören können, werden gemieden. Es muss sich dabei um ein bewusstes, aktives Vermeidungsverhalten handeln. Das heißt, die traumatisierte Person kann reflektieren, dass sie ganz bewusst dieses Verhalten ausführt. Darunter fallen somit keine zeitlichen oder inhaltlichen Gedächtnisstörungen, die Gedanken an das Trauma „vermeiden“.

– Wahrnehmung einer Bedrohung: Die Betroffenen haben das Gefühl, in der Gegenwart weiterhin einer Bedrohung ausgesetzt zu sein. Sie zeigen eine erhöhte Wachsamkeit und Schreckreaktionen.

Die Posttraumatische Belastungsstörung (PTBS) ist eine psychische Erkrankung, die nach dem Erleben oder Beobachten eines traumatischen Ereignisses auftreten kann. Sie ist gekennzeichnet durch wiederkehrende Erinnerungen, emotionale Abstumpfung, Vermeidungsverhalten und eine gesteigerte Erregung.

V = 1/6 * h * r (3 * r(1)^2 + 3 * r(2)^2 + h^2)

Schneidet eine Ebene E eine Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r, so entstehen zwei Kugelabschnitte mit den Höhen h und h (Abb. 37 a)). Die Schnittfläche ist eine Kreisfläche.

O = Pi · r (2 · h + r1)

V = 2/3 * Pi * r^2 * h

V = 4/3 * Pi * r^2

Zwei zueinander parallele Ebenen E1 und E2 mögen die Kugel (mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M) in je einer Kreisfläche schneiden (Abb. 34). Dann wird die Vereinigungsmenge aus den beiden Kreisflächen und der Menge aller zwischen ihnen liegenden Kugelpunkte als Kugelschicht bezeichnet. Der Abstand der zwei Ebenen E1 und E2 heißt Höhe der Kugelschicht.

Eine Kugelschicht ergibt sich also aus einer Kugel, wenn Sie die Gesamtheit aller Punkte zweier (gegenüberliegender) Kugelabschnitte aus derjenigen Punktmenge, die Kugel genannt wird, herausnehmen. (Mengentheoretisch ist eine Kugelschicht demnach das Komplement zweier gegenüber liegender Kugelabschnitte bezüglich der Punktmenge „Kugel“.) Mit Mantel der Kugelschicht – in der Literatur wird er auch Kugelzone genannt – bezeichnet man den Durchschnitt der Oberfläche der Schicht mit der Oberfläche ihrer „Ergänzungs“-Kugel. Die Vereinigungsmenge aus Mantel und den beiden die Kugelschicht noch begrenzenden Kreisflächen heißt Oberfläche der Kugelschicht.

M = 2 * Pi * r * h

M = 2 · Pi · r · h,

Die Menge aller Punkte des Raumes, die von einem festen Punkt M eine Entfernung haben, welche kleiner oder gleich einer konstanten Entfernung r ist, heißt Kugel (bzw. Kugelkörper) mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r (Abb. 28). Die Menge aller Raumpunkte, die von einem festen Punkt M die konstante Entfernung r haben, heißt Kugelfläche; der Durchschnitt von Ebenen, die durch den Mittelpunkt M gehen, mit dieser Kugelfläche heißt Großkreis. Alle anderen Schnittkreise haben Radien, die kleiner als r sind; sie heißen deshalb Kleinkreise.

Im Fall a = 0 geht die Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt M; und eine durch die Oberfläche einerseits und diese Schnittebene E andererseits begrenzte räumliche Punktmenge heißt Halbkugel; bei ihr ist die Höhe h gerade gleich r. Der Durchschnitt des Kugelabschnitts mit der Oberfläche heißt Kugelabschnittsmantel, gelegentlich auch Kugelkappe genannt.

Die Rauminhalte der einzelnen Zylinder-Platten können nach Satz 13 berechnet und zu Vi bzw. Va, den Rauminhalten der beiden Treppenkörper, summiert werden. Verdoppeln Sie die Teilungen der Höhe h nach und nach, so kommen Vi und Va einander beliebig nahe: sie streben gegen einen gemeinsamen Grenzwert V, den Sie als Rauminhalt des Kugelabschnitts definieren können.

V = 1/3 * Pi * h^2 * ( 3* h - h)

O = 4 * Pi * r^2

M = Pi · r · s,

O = Pi · r^2 + Pi · r · s = Pi · r · (r + s)

V = 1/3 * Pi * r^2 * h

Schneidet man einen Kegel mit einer Parallelebene E2 zur Grundflächenebene E1, so heißt die räumliche Punktmenge, die die beiden parallelen Schnittebenen mit der Mantelfläche des Kegels einschließen, Kegelstumpf. Der Kegel, der den Kegelstumpf zum Gesamtkegel ergänzt, heißt Ergänzungskegel. Die Grundfläche des Ausgangskegels und die des Ergänzungskegels zusammen nennt man die Grundflächen, ihren Abstand die Höhe des Kegelstumpfes. Der Durchschnitt des Mantels des Ausgangskegels mit dem Stumpf heißt Mantel des Kegelstumpfes. Mit Mantellinie des Stumpfes bezeichnet man den Durchschnitt einer Mantellinie des Ausgangskegels mit dem Kegelstumpf.

V = 1/3 * Pi * h * (r(1)^2 + r(1) * r(2) + r(2)^2

M = Pi * s * (r(1) + r(2))

M=2· Pi · p · h,

Rotiert eine von einem gleichschenkligen Dreieck begrenzte Fläche im Raum um ihre Dreiecks-Symmetrieachse, so entsteht ein Körper, welcher senkrechter Kreiskegel heißt (im Folgenden auch einfach Kegel genannt). Jeder Punkt der Dreiecksfläche beschreibt also bei der Bewegung einen Kreis, und die Vereinigungsmenge aller dieser Kreise heißt Kegel. Die Fläche, die von den beiden gleich langen Schenkeln des Dreiecks überstrichen wird, heißt Mantel, die von der Basis des Dreiecks überstrichene Fläche Grundfläche des Kegels. Der Kreis, der die Grundfläche begrenzt, wird Grundkreis genannt. Die Spitze S des gedrehten Dreiecks (Abb. 23) wird zugleich Spitze des Kegels genannt. Ihr Abstand h von der Grundfläche heißt Höhe des Kegels. Der Winkel an der Spitze des gedrehten Dreiecks heißt Öffnungswinkel des Kegels, und schließlich wird jede Strecke, deren einer Endpunkt ein Punkt des Grundkreises und deren anderer die Spitze S ist, als Mantellinie s bezeichnet. Unter der Oberfläche des Kegels versteht man natürlich die Vereinigungsmenge aus Grundkreisfläche und Mantel

M 1= 1/2 * u * h

M(Pyr) = U(n)/2 h’ (n)

M(Keg) = (2 * Pi * r/2) * s

Schneidet man eine Pyramide mit einer Parallelebene E2 zur Grundebene E1, so heißt diejenige räumliche Punktmenge, die die beiden parallelen Ebenen E1 und E2 mit der Mantelfläche der Pyramide einschließen, Pyramidenstumpf (Abb. 22). Die Pyramide, die den Pyramidenstumpf zur Gesamtpyramide ergänzt, heißt Ergänzungspyramide. Die Grundfläche der Ausgangspyramide und die der Ergänzungspyramide nennt man zusammen die Grundflächen, ihren Abstand die Höhe des Pyramidenstumpfes. Die Vereinigungsmenge der Seitenflächen des Pyramidenstumpfes bezeichnet man als Mantel dieses Körpers.

Ein Pyramidenstumpf mit den Grundflächen G1 und G2 und der Höhe h besitzt den Rauminhalt:

V = 1/3 * IhI * (IG1I + Wurzel aus IG1I * IG2I + IG2I

Eine dreiseitige Pyramide heißt Tetraeder, wenn ihre vier Begrenzungsflächen von kongruenten gleichseitigen Dreiecken umschlossen werden.

V = Wurzel aus 2/12

Wurzel aus 3 * a^2

Zerlegt man die Höhe der n-seitigen Pyramide nach und nach in immer kürzere Strecken (gleicher Länge), wächst also die Anzahl der prismatischen Platten, die den um- bzw. einbeschriebenen Treppenkörper ausmachen, so wird der Rauminhalt der untersten Platte, die Differenz Va – Vi also, beliebig klein. Die Werte Va bzw. Vi kommen daher von oben bzw. von unten einem gemeinsamen Grenzwert beliebig nahe. Dieser gemeinsame Grenzwert von Va und Vi heißt Rauminhalt der n-seitigen Pyramide.

Besitzen zwei dreiseitige Pyramiden Grundflächen von gleichem Flächeninhalt, sind die Höhen gleich und liegen beide Grundflächen in derselben Ebene E, so werden die Pyramiden von jeder zu E parallelen Ebene in Dreiecksflächen geschnitten, deren Flächeninhalte paarweise gleich sind.

Zwei dreiseitige Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhenlage besitzen den gleichen Rauminhalt.

Eine dreiseitige Pyramide mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h hat den Rauminhalt:

V = 1/3 * G * h

In einer Ebene E sei ein n-Eck gegeben, dessen Fläche mit F bezeichnet werde; sei S ein Punkt außerhalb von E, also S ist kein Element von E. Verbindet man alle Punkte von F geradlinig mit dem Punkt S, so ist die Vereinigungsmenge aller dieser Verbindungsstrecken eine räumliche Punktmenge, die n-seitige Pyramide heißt. Die Vielecksfläche F heißt Grundfläche der Pyramide, die sie begrenzenden n-Eckseiten Grundkanten, der Punkt S Spitze der Pyramide. Die Verbindungsstrecken der Spitze mit den Eckpunkten des n-Ecks heißen Seitenkanten. Grundkanten und Seitenkanten fasst man zusammen unter dem Begriff Kanten. Schnittpunkte von Kanten heißen Eckpunkte der Pyramide. Zwei benachbarte Seitenkanten begrenzen mit der zugehörigen Vielecksseite eine Seitenfläche. Die Vereinigungsmenge aller Seitenflächen heißt Mantel der Pyramide. Fügt man die Grundfläche hinzu, so erhält man ihre Oberfläche. Und schließlich heißt der Abstand der Spitze S von der Ebene E (das ist die Länge des Lotes, das von der Spitze auf die Ebene gefällt wird) Höhe der Pyramide. Ist die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck und liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des n-Ecks, so heißt die Pyramide regelmäßig.

Jede n-seitige Pyramide ist zerlegbar in n-2 dreiseitige Pyramiden.

Kennt man den Rauminhalt der dreiseitigen Pyramide, so auch den jeder Pyramide.

M = 2 · Pi · r · h

O = 2 · Pi · r · (h + r)

F(alpha) = Pi * r^2/360 * IalphaI

F(alpha) = r/2 * b(alpha)

Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen E1 und E2, deren Abstand IhI betrage, sowie ein Kreis in der Ebene E1. Bewegt man jeden Punkt der Kreisfläche so, dass er eine zu h parallele Strecke der Länge IhI durch läuft, so bezeichnet man die von der Gesamtheit der Kreisflächenpunkte überstrichene räumliche Punktmenge als Kreiszylinder. Die vom Grundkreis in der Ebene E1 bei der Bewegung überstrichene Fläche im Raum heißt Mantel des Zylinders, die vom Grundkreis umschlossene Fläche heißt Grundfläche des Zylinders, die gegenüberliegende Fläche Deckfläche. Mit Oberfläche des Zylinders bezeichnet man die Summe der Inhalte von Grund-, Deckfläche und Mantel. Natürlich heißt der Abstand IhI der beiden Ebenen voneinander Höhe des Zylinders.

Der Grenzwert der Prismenrauminhalte wird als Rauminhalt des Zylinders bezeichnet, der Grenzwert der Flächeninhalte der Prismenmäntel heißt Mantelflächeninhalt des Zylinders.

V = Pi · r^2 · h

Ist fn der Flächeninhalt eines dem Kreis vom Radius r einbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks der Dreiecksfolge, so lässt sich der Flächeninhalt f2n des regelmäßigen Vielecks mit doppelter Eckenzahl nach der Formel berechnen, wobei n der Inkreisradius des n-Ecks ist.

Ist u der Umfang und der Inkreisradius eines regelmäßigen n-Ecks, so ist sein Flächeninhalt gegeben durch

Unter dem Flächeninhalt F0 des Kreises mit dem Radius r versteht man den (gemeinsamen) Grenzwert der Folgen f3, f6, f12, ... und F3, F6, F12, ...

Die von einem Kreis mit dem Radius r umschlossene Fläche hat den Flächeninhalt wobei Pi = 3,14 ist.

Sind u3, u6, u12, ... bzw. U3, U6, U12, ... die Umfänge der dem Kreis vom Radius r ein- bzw. umbeschriebenen regelmäßigen n-Ecke der Dreiecksfolge, so versteht man unter dem Umfang des Kreises den (gemeinsamen) Grenzwert der Folgen u3, u6, u12, ... und U3, U6, U12, ...

u(o) = 2 * Pi * r

F(0) = Pi * r^2

Ein Kreisbogen mit dem Mittelpunktswinkel Alpha hat die Länge · b(alpha)= (Pi*r)/180 * IalphaI, wobei r den Kreisradius und IalphaI das Winkelmaß von  bedeutet.

Eine umkehrbare eindeutige Abbildung der Menge aller Punkte des Raumes auf sich heißt Scherung im Raum (oder räumliche Scherung), wenn gilt:

1. Die Abbildung ist geradentreu, d. h., Geraden gehen in Geraden über.

2. Alle Punkte einer und nur einer Ebene sind Fixpunkte, diese Ebene ist also eine Fixpunktebene; sie heißt die Scherungsebene (Scherungsebene in Abb. 6 ist die Grundebene E1).

3. Die Abbildung ist ebenentreu, d. h., Ebenen werden auf Ebenen abgebildet.

4. Parallelität bleibt erhalten.

5. Ein Punkt und sein Bildpunkt liegen auf einer Geraden, die parallel zur Scherungsebene ist; d. h., alle zur Scherungsebene parallele Ebenen werden auf sich abgebildet, sind also Fixebenen (Abb. 6: z. B. ist jede durch einen Buchdeckel gehende Ebene Fixebene).

6. Der Abstand von Punkt und Bildpunkt ist innerhalb derselben Fixebene konstant.

Körper, die durch eine räumliche Scherung auseinander hervorgehen, werden von Parallelebenen zur Scherungsebene in kongruenten Figuren geschnitten.

Eine räumliche Punktmenge, die durch eine (von der identischen Abbildung verschiedene) Scherung im Raum in ein n-seitiges gerades Prisma übergeführt werden kann, heißt n-seitiges schiefes Prisma.

Kann man zwei Körper so zwischen zwei parallele Ebenen E1 und E2 legen, dass sie von jeder Parallelebene zwischen E1 und E2 in Flächen geschnitten werden, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, so haben beide Körper den gleichen Rauminhalt

Ein schiefes Prisma und ein gerades Prisma mit dem gleichen Grundflächeninhalt und der gleichen Höhe besitzen denselben Rauminhalt.

Der Rauminhalt eines (geraden oder schiefen) Prismas mit der Grundfläche G und der Höhe h ist gegeben durch VP = G · h

n Gegeben sind zwei parallele Ebenen E1 und E2, deren Abstand IhI beträgt, sowie ein n-Eck in der Ebene E1 (n 3). Bewegt man jeden Punkt der n-Ecksfläche so, dass er eine zu h parallele Strecke der Länge IhI durchläuft, so heißt die von der Gesamtheit der Vieleckspunkte überstrichene räumliche Punktmenge n-seitiges gerades Prisma. Der Abstand von E1 und E2 heißt Höhe des Prismas. Das in der Ebene E1 gelegene n-Eck heißt Grundfläche des Prismas, die vom n-Eck in der Ebene E2 begrenzte Fläche heißt Deckfläche, die übrigen das Prisma begrenzenden Flächen werden Seitenflächen genannt. Je zwei benachbarte Seitenflächen schneiden sich in den sogenannten Seitenkanten. Schnittpunkte von Seitenkanten mit n-Ecksseiten heißen Ecken des Prismas. Die Vereinigungsmenge der Seitenflächen heißt Mantel des Prismas, und schließlich bezeichnet man die Vereinigungsmenge von Mantel, Grundfläche und Deckfläche als Oberfläche des geraden Prismas.

Ein vierseitiges gerades Prisma mit rechteckiger Grundfläche heißt Quader.

Mit Würfel bezeichnet man einen Quader, dessen sämtliche Begrenzungsflächen Quadrate sind.

Der Mantel eines geraden Prismas mit der Höhe h und dem Grundflächenumfang u hat den Flächeninhalt M = u · h.

Ein gerades Prisma mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h hat den Rauminhalt V = G · h