3. Differentation

Zur Analyse von Änderungstendenzen (oder Steigungen) stehen grundsätzlich zwei Instru-  mente zur Verfügung: der Differenzenquotient und der Differentialquotient. 

Steigung zwischen zwei Punkten (Differenzenquotient) 

Geradensteigung der Sekante ms auch durch folgende Formel ausdrücken: 

Zur Berechnung der Stei-  gung der Kurve in Punkt A verwenden wir eine spezielle Gerade: die Tangente. Die Tan-  gente zu Punkt A ist die Gerade, die die Kurve in Punkt A nur berührt und nicht schneidet.  Die Geradensteigung der Tangente lässt sich wieder durch das Steigungsdreieck ermitteln.

Die Tangente können wir uns auch als Grenzwert einer Sekante vorstellen

diese Formel nötig ?

Synonyme:

• Funktions-  steigung

• Ableitung der Funktion.

Ableitung

Die Ableitung einer Funk-  tion entspricht dem Diffe-  rentialquotienten. Mit  ihrer Hilfe kann die Stei-  gung in jedem Punkt  bestimmt werden.

Das Differential gibt an, um  wie viele Einheiten sich der Funktionswert f(x) bzw. die abhängige Variable y näherungs-  weise ändern, wenn die unabhängige Variable x um dx Einheiten variiert wird. Mathema-  tisch ist das Differential wie folgt definiert

Gegeben sei y = f(x) = 0,1x2. Die Ableitung der Funktion f ist f'(x) = 0,2x (wie wir im nächsten Lernzyklus zeigen werden). Im Ausgangspunkt soll x = 2 gelten. Ändert sich die Variable x um eine Einheit, also dx = 1, dann gilt für das Differential:

 Differential  Durch das Differential las-  sen sich näherungsweise  Änderungen des Funkti-  onswertes bei Änderun-  gen der unabhängigen  Variablen berechnen.

Angaben auf Basis des Differentials nur als Nähe-  rungswerte zu verstehen.

der Näherungswert, der durch das Differential  berechnet wird, umso genauer, je kleiner die Veränderung der unabhängigen Variablen x  ist.

Zweitens wird  im ökonomischen Kontext das Differential häufig dann angewendet, wenn die verwende-  ten Modelle komplex sind. 

Die 1.  Ableitung bezeichnet die Ableitung der Funktion f selbst und wird durch f' symbolisiert.  Sie gibt die Steigung der Kurve der Funktion f an.

Die 2. Ableitung bezeichnet die Ableitung  der 1. Ableitung und wird durch f'' symbolisiert. Sie gibt an, wie sich die Steigung der  Kurve der Funktion f verändert.

Eine Funktion f ist streng monoton ansteigend und konkav, falls

Eine Funktion f ist streng monoton ansteigend und konvex, falls

Eine Funktion f ist streng monoton fallend und konkav, falls 

Eine Funktion f ist streng monoton fallend und konvex, falls

Grenzkosten 

GRENZKOSTEN  Die 1. Ableitung der Kostenfunktion wird im ökonomischen Kontext auch als  Grenzkostenfunktion bezeichnet. Der Wert der Grenzkostenfunktion selbst gibt  die Grenzkosten an

rot: wenn die Produktion um ein kleines bisschen (infinitesimal) erhöht wird (in diesem BSP um 1 da sich keine halben Stifte produzieren lassen) dann steigen die Kosten näherungsweise um 7 an

grün: “ “ “ dann steigen die Kosten um 14 an

Die näherungsweise Kosten wenn ich die Produktion um ein bisschen erhöhe = 1. Abl -> f´(x)

Für das Unternehmen sind diese Erkenntnisse wichtig, um die Kostenentwicklung gut ein-  schätzen zu können. Beispielsweise zeigt sich, dass zwar die gesamten Produktionskosten  überproportional zunehmen (linker Teil der vorangestellten Abbildung), die Grenzkosten  hingegen steigen stets proportional zur Produktionsmenge (rechter Teil der Abbildung).  Verdoppelt sich folglich die Produktionsmenge, verdoppeln sich auch die Grenzkosten.  Dies deutet darauf hin, dass die Produktionstechnologie kosteneffizient ist

Grenzerlös

GRENZERLÖS  Die 1. Ableitung der Umsatz- oder Erlösfunktion wird im ökonomischen Kontext  auch als Grenzerlösfunktion bezeichnet. Der Wert der Grenzerlösfunktion selbst  gibt den Grenzerlös an

Zwei Hinweise: Erstens ist der Verlauf der Erlös- und Grenzerlöskurven sehr typisch und  trifft (qualitativ, also ohne Berücksichtigung der Zahlenwerte) für die überwiegende Mehr-  heit der Unternehmen zu. Zweitens werden für Grenzerlös auch häufig die Begriffe Grenz-  umsatz und Grenzausgaben verwendet. 

Grenzproduktivität

GRENZPRODUKTIVITÄT  Die 1. Ableitung der Produktionsfunktion wird im ökonomischen Kontext auch  als Grenzproduktivitätsfunktion bezeichnet. Der Wert der Grenzproduktivitäts-  funktion selbst gibt die Grenzproduktivität der Arbeit an

Für den Manager des Unternehmens gibt diese Analyse Aufschluss darüber, wie produktiv  die eigenen Mitarbeiter sind. Scheinbar ist es so, dass jeder Mitarbeiter einen positiven  Beitrag zum Produktionsergebnis leistet (die produzierte Menge an Stiften steigt kontinu-  ierlich), allerdings werden die Mitarbeiter immer unproduktiver. Dies ist daran zu erken-  nen, dass die Grenzproduktivität sukzessive sinkt. Bei Personalentscheidungen ist diese  Einsicht von großer Bedeutung.  Zwei Hinweise: Erstens ist der Verlauf der Produktions- und Grenzproduktivitätsfunktion  relativ typisch. In vielen Unternehmen gilt ein solcher Zusammenhang, wenngleich es  sehr häufig an zwei Stellen eine Abweichung gibt. Zum einen beobachtet man i. d. R., dass

die Grenzproduktivität bei niedriger Mitarbeiterzahl zunächst ansteigt und erst ab einem  bestimmten Punkt sinkt. Zum anderen beobachtet man häufig auch negative Werte der  Grenzproduktivität. Ab einer bestimmten Mitarbeiterzahl ist die Produktion so ineffizient,  dass sogar ein Teil der Produktion zerstört wird. Zweitens  wird für die Grenzproduktivität häufig auch der Begriff Grenzertrag verwendet. 

• Ermittlung der marginalen Konsum- und Sparquote (z. B. zur Einschätzung der Wirkung  von Marketingmaßnahmen); 

• Ermittlung der Grenzrate der Substitution zwischen verschiedenen Produktionsfaktoren  wie Arbeit und Kapital (z. B. zur Einschätzung der Effizienz der Produktionstechnologie)  und der Grenzrate der Substitution zwischen verschiedenen Gütern (z. B. zur Einschät-  zung des Konsumentenverhaltens); 

• Ermittlung von Elastizitäten (z. B. zur Einschätzung von Preiswirkungen auf Angebot  und Nachfrage); 

• Ermittlung von Grenznutzen (z. B. zur Einschätzung der Zahlungspräferenzen von Kon-  sumenten)