Grundlagen der Mengenlehre

• nach Mathematiker Georg Cantor, Begründer der Mengenlehre

• Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen

• es gibt auch Mengen mit unbegrenzten Elementen (dann werden nur die ersten angeben und dann drei Punkte

• bei größeren endlichen Mengen kann auch Intervall angegeben werden (Anfang, dann drei Punkte, dann letztes Element)

• können auch über Eigenschaften beschrieben werden (Bsp: P = {x|x<10} )

• Bezeichnung von Mengen üblicherweise in Großbuchstaben

• wichtiges Teilgebiet der Mathematik

• spielt in vielen Bereichen der Informatik eine besondere Rolle

• Objekte, die in einer Menge zusammen gefasst werden

• lassen sich durch eine Aufzählung darstellen, dazu werden sie hintereinander in geschweiften Klammern angegen. Die Reihenfolge spielt keine besondere Rolle. Jedes Element nur einmal

• Bezeichnung von Elementen üblicherweise in Kleinbuchstaben

Menge, die nur eine bestimmte Anzahl von Elementen hat

Menge, die eine unbestimmte Anzahl Elemente hat

Dach

• gibt an, wie viele Elemente sich in einer Menge befinden

• wird durch den Namen der Menge zwischen zwei Strichen beschrieben (Bsp.: |A| = 10 )

• Menge ohne Elemente

• M = {}

• oder mit Durchschnittssymbol dargestellt

• hat Mächtigkeit 0

• Natürliche Zahlen (alte Definition ohne 0)

• alle positiven ganzen Zahlen

• Natürlichen Zahlen mit 0

• Natürlichen Zahlen ohne 0

• Ganze Zahlen

• alle positiven und negativen ganzen Zahlen

• rationale Zahlen

• alle ganze Zahlen sowie Zahlen, die durch einen Bruch dargestellt werden können

• reelle Zahlen

• alle rationale Zahlen und die irrationalen Zahlen (Kommazahlen, die sich nicht durch einen Bruch darstellen lassen)

• komplexe Zahlen

• Eine Menge A ist eine Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element der Menge A auch in der Menge B vorkommt

• werden auch Untermengen genannt (Gegenstück ist Obermenge)

• Teilmengenbeziehungen heißen auch Inklusion

• Symbol: das “C”mit Unterstrich (Obermenge: spiegelverkehrtes “C” mit Unterstrich)

• Gleichheit von zwei Mengen “=”, bei Ungleichheit durchgestrichenes =

• wenn die Elemente einer Menge B zwar in einer Menge A enthalten sind, aber die beiden Mengen nicht gleich sind

• analog: echte Obermenge

• Symbol: das “C” (Obermenge: das spiegelverkehrte “C”)

• Zusammenfassung der Elemente zweier Mengen

• M = { x | x Element von A oder x Element von B }

• Symbol: Bogen oben offen

• es werden nur die Elemente berücksichtigt, die in beiden Mengen vorhanden sind

• Schnittmenge

• M = { x | x Element von A und x Element von B }

• Symbol: Bogen unten offen

• es werden nur die Elemente berücksichtigt, die zwar in der einen Menge, aber nicht in der anderen Menge vorhanden sind

• Restmenge

• M = { x | x Element A und x nicht Element B }

• Symbol: \

• enthält die Elemente, die nicht zu einer Menge gehören (Aber in der Grundmenge)

• Symbol: Strich über der Mengenbezeichnung

• bildet alle möglichen Kombinationen der Elemente von Mengen ab

• Symbol: x

• A x B = {(a,b)|a Element A und b Element B}

• Anzahl der Paare entspricht dabei jeweils der Anzahl der Elemente in der einen Menge multiplitziert mit der Anzahl der Elemente in der anderen Menge

• damit kann die Schnittmenge ausgegeben werden

• Beispiel: mengeC = mengeA & mengeB

• Aufzählung

• muss eigene Klasse von der Klasse Enum abgeleitet werden, außerdem muss die Klasse Enum aus dem Modul enum importiert werden

• Beispiel:

  from enum import Enum

  class Menge(Enum):

  A = 1

  B = 2

  C = 3