Tenta 2

• sannolikhetsfördelningens centrum.

• punkt där sannolikhetsfördelning ’balansera

• påverkas mycket av fördelningens ’svansar’

Det teoretiska genomsnittet av en slumpvariabel över oändligt många försök. Det beräknas med sannolikhetsfördelningen.

En t-fördelning (Student’s t-fördelning) är en sannolikhetsfördelning som ofta används inom inferentiell statistik, särskilt vid hypotesprövning och konfidensintervall för små stickprov. Den liknar normalfördelningen men har tyngre svansar, vilket gör den mer robust när stickprovsstorleken är liten.

• Om stickprovsstorleken är stor (n≥30n \geq 30n≥30) → ttt-fördelningen liknar normalfördelningen.

• Om stickprovsstorleken är liten (n<30n < 30n<30) → ttt-fördelningen har mer utspridda svansar, vilket tar hänsyn till osäkerheten från det lilla stickprovet.

expected value:

E(X) = E(X)= ∑x*P(x)

• diskret: (utfallen går att räkna, även 0,1,2, … till oändligt)

• kontinuerlig (utfallen går inte att räkna, många decimaler

• diskret: X= antal prickar på tärning

• kontinuerlig: X= temperatur (med decimaler)

• 
  

slumpvariabel

• numeriska utfall

• faktiska värden som slumpvariabeln kan anta vid en specific observation

μ

σ2

för att beräkna sannolikheter

• Var(X+Y) = VAR(X) + Var(Y)

• linjärt beroende mellan variabler

• linjärt beroende mellan slumpvariabler

• Cov(X,Y) = E((X-μ) (Y-ν)

• variansen för summan större än vid oberoende

• variansen för summan mindre än vid oberoende

mängden av möjliga utfall, exempel för en tärning skulle det vara {1,2,3,4,5,6}

Specifikt värde i utfallsrummer, för en tärning exempelvis 3

Samling av utfall; varje utfall är också en händelse, exempelvis udda antal prickar för en tärning, A={1,3,5}

P(A∩B) ≠ P(A)*P(B)

En väntevärderiktig estimator är en estimator vars väntevärde är lika med det samma värdet av parametern som ska skattas

• om vi upprepar experimentet många gånger och beräkna ny konfidensintervall varje gång, så kommer 95% av denna intervall innehålla sanna värdet av µ

• det är inkorrekt att säga sannoikhet eftersom sanna värdet av µ är okänd konstant, som antigen innefattas i intervallet eller inte

• oberoende svar

• stickprovet utgör mindre än 10 %

• np & nq >= 10 (Gruppengröße minst 10)

• Ett prediktionsinterval tar hänsysn till både osäkerheten i skattningen av paramtrarna och osäkerhäten i den framtida observation

• tar endast hänsyn till osäkerheten o skattningen av paramtrarna

Ett stickprov är en mindre, slumpmässigt eller systematiskt vald del av en population som används för att dra slutsatser om hela populationen.

En population är den fullständiga grupp av individer eller objekt som en undersökning eller studie avser att dra slutsatser om.

När alla möjliga utfall av ett experiment har samma sannolikhet att inträffa. Till exempel, när man singlar ett rättvist mynt är sannolikheten för krona och klave båda 50 % (1/2).

Sannolikhet som beräknas utifrån faktisk data och observationer. Den definieras som antalet gånger en händelse inträffar dividerat med det totala antalet försök. Till exempel, om du singlar ett mynt 100 gånger och får krona 48 gånger, är den empiriska sannolikheten för krona 48/100 = 0,48.

Sannolikhet som baseras på en persons egna bedömningar, erfarenheter eller intuition snarare än på matematiska beräkningar eller observationer. Till exempel, en sportexpert kan bedöma att ett visst lag har 70 % chans att vinna en match baserat på tidigare prestationer och känsla.

Disjunkta händelser har inga gemensamma element

De har gemensamma element

Komplementet till A inträffar när A inte intäffar. Exempelvis:

för tärningar A={1,3,5}, A^c={2,4,6}

• när både A och B inträffar; P(A∩B)

När A och eller B inträffar , A∪B

P(A)*P(B)

P(A) +P(B)

A och A^c kan inte inträffa samtidigt, därfär maste en inträffa:

-> P(A^c)=1-P(A)

B inträffar givet att A har inträffat

P(B|A) = P(A∩B) /P(A)

Snittsannolikhet: P(A∩B)

Marginell sannolikhet: P(A)

Betingad sannolikhet: P(B|A)

P(B|A) =P(B)

• mäter numeriskt värde från slumpmässigt försök

• slumpvariabel skriver man med stora bokstäver X

• numeriska utfall med små bokstäver x

Den visar annolikheterna för alla möjliga utfall av x P(x)=1

• Medelvärde:

  • Används för att beskriva den genomsnittliga värdemängden i ett givet dataset.

  • Beräknas som summan av alla observationer delat med antalet observationer

• Väntevärde:

  • Ett teoretiskt mått som beskriver det genomsnittliga utfallet av en stokastisk variabel i det långa loppet.

  • Beräknas med sannolikhetsfördelningen

  • Väntevärdet är ett teoretiskt medelvärde som kan uppskattas med hjälp av ett stort antal observationer.

σ2 (sigma kvadrt)

• sigma

• my

Att skifta en slumpvariabel innebär att vi adderar en konstant ccc till den:

För diskreta variabler används en sannolikhetsmassfunktion (PMF), där sannolikheter ges direkt som P(X=x)P(X = x)P(X=x), medan en täthetsfunktion för en kontinuerlig variabel anger sannolikhet per enhet längd, och sannolikheter beräknas via integraler.

Att skala en slumpvariabel innebär att vi multiplicerar den med en konstant a.

fran allmän normalfördelning tills tandard genom skift och skalning

Kovariansen mäter hur två slumpvariabler varierar tillsammans. Den beräknas som:

Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]

• Om X är större än sitt medelvärde och Y också är större än sitt medelvärde samtidigt → positivt bidrag till kovariansen.

• Om X är större än sitt medelvärde medan Y är mindre än sitt medelvärde (eller tvärtom) → negativt bidrag till kovariansen.

• Nackdel med kovarians:

  • Kovariansens storlek beror på enheterna i XXX och YYY, vilket gör det svårt att tolka värdet direkt.

  • Därför används ofta korrelation istället.

Korrelationen är en normaliserad version av kovariansen och mäter styrkan och riktningen på sambandet mellan X och Y

• ρX,Y​=σX​σY​Cov(X,Y)​

• bara tva möjliga utfall, lyckas/misslyckas, binär variabel

• samma ssannolikhet för lyckas i alla försök

• oberoende

• Exempel: Santsingling (münzwurf)

• ingen mänsklig värdering

• geometrisk slumpvariabel fran Bernoulliförsök

• hur manga Bernoulliförsökk tills första lyckde?

• antal försök är slumpmässiga

• En geometrisk fördelning beskriver sannolikheten för antalet försök som krävs för att få den första framgången i en serie oberoende Bernoulli-försök med sannolikhet p för framgång.

• Hur manga lyckade i n Bernoulli försök med sannolikhet p

• antal försök och n är förbestämt och fixerat

• antal lyckade är slumpmässigt

• X ~Bin(n,p)

• X är binominalfördelad med parametrar n och p

Det betyder att en binomialfördelad stokastisk variabel är summan av n oberoende Bernoulli-försök, där varje försök har två möjliga utfall (framgång eller misslyckande) med sannolikhet ppp för framgång.

• Exempel 1 n=3 med resultat x1=1, X2=1, X3=0

• X=1+1+0=2

Kontinuitetskorrektion är en justering som används när man approximativt ersätter en diskret sannolikhetsfördelning (som binomialfördelningen) med en kontinuerlig fördelning (som normalfördelningen). Justeringen innebär att man adderar eller subtraherar 0,5 till det diskreta värdet för att bättre matcha sannolikheten i den kontinuerliga modellen.

• varje värde är lika sannolikt

• bade kontinuerlig och diskreta

• likförmig fördelning

• normalfördelning

• Poisson fördelning

• Oberoende händelser

• Konstant medelhastighet –Händelser inträffar med en konstant genomsnittlig frekvens λ\lambdaλ per tidsenhet eller per enhet av något annat mått

• Inte två händelser samtidigt – Sannolikheten att mer än en händelse inträffar i ett mycket litet tidsintervall är försumbar.

• diskreta variabler

• antal buggar i en mjukvara

• antal budgivare i en eBay auktion

• antal besök till läkaren

• väntevärdet och varians är samma:

• lambda

• välj lambda som maximerar sannolikheten för datamaterialet

• funkar för alla modeller

populationsparameter

med estimatorn x̄

Väljareundersökningar

• SVT/Novus

• Stickprov n=xxxx

• populationsparameter andelen S i popluation p

• population röstberättigade i Sverige

• Estimator för att skatta p, andelen S-röstare i stickprovet

• estimat i SVT/Novus undersökning

Ett konfidensintervall är ett intervall som med en viss sannolikhet (konfidensnivå) innehåller det sanna parametervärdet i en population.

En andel är egentligen ett medelvärde av binära variabler

independent and identically distributed (oberende och likafördelade)

^p

när sticksprobssotrleken ökar n

Bias(^p)=E(^p)-p) =0

• stickprovsstorleken n>=30 (centrala gränsvärdessatsen

• np>=10 och nq<=10

• oberoendeantagandet maste ara hyfsat uppfyllt

• stickprovet är max 10% av populationen

Standardfel för en estimator är standardavvikelsen för dess samplingfördelning och mäter hur mycket estimatorn förväntas variera mellan olika stickprov.

Standardavvikelse mäter spridningen av observationer i en population eller ett stickprov, medan standardfel mäter spridningen av en estimator (t.ex. medelvärdet) mellan olika stickprov och visar hur noggrant estimatorn uppskattar populationsparametern.

högre konfidensniva -> större felmaringal

• Ett högre konfidensnivå innebär att vi vill vara mer säkra på att intervallet innehåller den sanna parametern, vilket kräver ett bredare konfidensintervall. För att öka sannolikheten att täcka det sanna värdet måste vi öka felmarginalen, vilket gör intervallet större.

• X är normalfördelad

• väntevärde E(X)=μ

• standardavvikelse sigma/kvadratrot(n)

Om X1, X2, … Xn är oberoende fran en population med godtycklig fördelning sa är samplingfördelningen för medelvärdet approximativt normfördeat i stora stickprov

• tumregeln n>=30

• Nollhyptoes: ny teknin lika bra som gamla

• alternativhypotes: ny teknik inte lika bra som gamla

Ett hypotestest är en statistisk metod för att avgöra om det finns tillräckligt med evidens i ett stickprov för att antingen förkasta eller inte förkasta en given nollhypotes om en population.

• Minsta kvadratmetoden är en statistisk metod för att hitta den linje eller modell som bäst passar en uppsättning data genom att minimera summan av de kvadrerade avvikelserna mellan de observerade och förväntade värdena.

Residualavvikelsen är skillnaden mellan ett observerat värde och det värde som förutsägs av en regressionsmodell, vilket visar hur mycket modellen missar i sin förutsägelse.

Residual standard error (RSE) är ett mått på spridningen av residualerna i en regressionsmodell och beräknas som standardavvikelsen för residualerna. Det visar hur väl modellen passar data – ett lägre värde indikerar en bättre passform.

• samband mellan x och y linjärt:

  • plotta y mot x

• feltermerna errori är oberoende (residuals)

  • plotta residualer mot anpassande värden ^y

• feltermerna har samma standardavvikelse (homosedastisk) (residuals)

  • plotta residualer e mot x, liknade sprinding för alla x

• feltermerna är normalfördelade (residuals)

  • histogram, boxplot QQ-plot för residualer

• de okände parametrarna beta0 och beta1, dvs osäkerhet om regressionlinjgen vid x

• variationen i de enskilade y-värderna kring regressionlinjen

Ett prediktionsintervall är ett intervall som anger inom vilket område en framtida observation med en viss sannolikhet kommer att falla, givet en regressionsmodell.

• alpha =P(förkasta H0|H0sann)

• bestäms av kritiska värdet

• beta =P(inte förkasta H0|HA sann)

• beror pa kristika värdet och värdet pa my under HA

• 1-beta=P (förkasta H0|HA sann)

• i snitt var 20:e gang fel

Parade data är data där observationer är kopplade i par, vanligtvis för att jämföra två relaterade mätningar, såsom före och efter en behandling på samma individ eller enheter med naturlig koppling.

• Ex mäter samma n personer vid tva tillfällen

• det beytder det är beroende stickprov

• skapa differenser av mätningar

• differenserna ska vara oberoende mellan dom olika enheterna men beroende mellan mätningarna hos samma person tillats

Chi-två-test (χ²-test) är ett statistiskt test som används för att analysera om det finns en signifikant skillnad mellan observerade och förväntade frekvenser i kategoriska data. Det används främst för att testa oberoende mellan variabler (χ²-test för oberoende) eller god anpassning till en förväntad fördelning (χ²-test för goodness-of-fit).

• räknedata

• oberoende observationer

• tillräcklig cellfrekvens, minst 5 varje cell

1. Skillnaderna (DiD_iDi​) är normalfördelade eller att stickprovet är tillräckligt stort (n≥30n \geq 30n≥30).

   • Med endast 5 observationer kan normalfördelningen vara osäker.

   • Om datan är skev eller innehåller extremvärden kan detta påverka resultatet.

2. Observationerna är beroende eftersom vi jämför samma personer före och efter bytet.

3. Stickprovet är slumpmässigt valt, så att resultaten är generaliserbara till hela kundpopulationen.