7. WEITERFÜHRENDE THEMENGEBIETE

• Änderungstendenzen sind bekannt aber Funktion nicht

• Statt eine gegebene  Funktion abzuleiten, wird umgekehrt eine bestehende Funktion, die Änderungstendenzen  angibt, aufgeleitet bzw. integriert

Die Integralrechnung hat zwei Hauptaufgaben:

• Integration (= die Umkehrung der Differentation) und 

• Berechnung von Flächeninhalten. 

1. Gegeben sei eine stetige Ableitungsfunktion f' mit dem Definitionsbereich %. Durch  Integration soll die zugehörige Originalfunktion f ermittelt werden. 

2. Gegeben sei eine stetige Funktion fmit dem Definitionsbereich D = [a, b]. Durch  Integration soll der Flächeninhalt der Fläche berechnet werden, die zwischen dem  Graphen der Funktion fund der x-Achse liegt und von den beiden Senkrechten bei a  und b begrenzt wird (Fläche A in der folgenden Abbildung). 

Gegeben sei eine stetige Funktion f. Eine Funktion F ist die Stammfunktion zu f, falls  F'(x) = f(x) gilt. 

• Die Menge aller Stammfunktionen zu f, d. h. bei Berücksichtigung der Integrationskons-  tanten, wird unbestimmtes Integral genannt. Dieses wird geschrieben als: 

f(x) ist der Integrand, dx zeigt, nach welcher Variablen integriert werden soll und ∫ ist  das Integrationszeichen.

• Wird die Integration in einem bestimmten Intervall [a, b], z. B. zur Berechnung eines Flä-  cheninhaltes, durchgeführt, wird das bestimmte Integral verwendet. Für dieses gilt: 

Die untere Intervallgrenze a wird am unteren Ende des Integralzeichens notiert, die  obere Intervallgrenze b am oberen Ende. 

Das bestimmte Integral lässt sich durch Ermittlung der Stammfunktion wie folgt berech-  nen: 

F(b) gibt den Wert der Stammfunktion an der Stelle x = b an. F(a) ist der Wert der  Stammfunktion an der Stelle x = a. 

In vielen ökonomischen Modellen wird nicht nur eine Gleichung, sondern gleich ein gan-  zes System von Gleichungen verwendet.

• linearen Systemen: Sofern diese Gleichungen (näherungsweise)  linear sind, spricht man auch von linearen Systemen.

• Die Lineare Algebra, beschäftigt sich mit der Beschreibung, Analyse und  Optimierung solcher linearen Systeme

• ein weiteres  Teilgebiet der Wirtschaftsmathematik,

Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, das aus m Zeilen und n Spalten  besteht. Eine solche Matrix wird auch als m × n-Matrix bezeichnet.

3 × 3-Matrix ist:

Mit Matrizen und Vektoren können Rechenoperationen durchgeführt werden

Vektor kann  es sich entweder um einen Spalten- oder einen Zeilenvektor handeln. Der Spaltenvektor  ist eine m × 1-Matrix, der Zeilenvektor entspricht einer 1 × n-Matrix

Mit Matrizen und Vektoren können Rechenoperationen durchgeführt werden

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus m Gleichungen und n Variablen

• Koeffizienten: Zahlen vor den Variablen x1, x2 und x3 werden Koeffizienten genannt

• Mittels Methoden  der Linearen Algebra kann ein solches lineares Gleichungssystem gelöst werden, z. B.  durch den gaußschen Algorithmus.

Wozu in der Praxis vielfach durchgeführt:

• bei Fragen der Materialverflechtung,

• der innerbetrieblichen Leistungsrechnung und

• der  Input-Output-Analyse

Lineare Algebra auch zur Lösung von Optimierungsproblemen ver-  wendet werden. Solche Optimierungsprobleme zeichnen sich dadurch aus, dass

• die Ziel-  funktion linear ist und mehrere Nebenbedingungen in Form von linearen Gleichungen  und/oder Ungleichungen berücksichtigt werden müssen.

Ein Lösungsverfahren für solche  Probleme stellt die lineare Optimierung (oder lineare Programmierung) dar.

Das größte  Anwendungsgebiet der linearen Optimierung ist die Unternehmensforschung (oder Ope-  ration Research), welche sich mit der Lösung von Planungs- und Entscheidungsproblemen  auseinandersetzt.

die Entwicklung von Variablen im Zeitab-  lauf betrachtet. Dieses Vorgehen berücksichtigt, dass es zwischen Variablen und der Zeit  einen wechselseitigen Zusammenhang gibt. Man spricht auch von der Zeitabhängigkeit  von Prozessen

• diskreten Analyse (oder Periodenanalyse) wird die Zeit als diskrete Variable  betrachtet, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann

• stetigen (oder kontinuierlichen) Analyse wird die Zeit hingegen als stetige  Variable betrachtet, die daher jede beliebige positive reelle Zahl annehmen kann.

diskreten Analyse (oder Periodenanalyse) wird die Zeit als diskrete Variable  betrachtet, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Üblicherweise entsprechen  diese Werte dem Datum. Die Veränderung der Variablen in der Zeit kann daher durch  die Differenz zwischen den Zeitpunkten modelliert werden. Dies drückt die Differenz-  engleichung aus, die im einfachsten Fall wie folgt definiert ist: 

Die Variable y ist selbst eine Funktion der Zeit t, daher gilt y(t). Der Ausdruck gibt die  Veränderung der Variablen y zwischen zwei Zeitpunkten (oder Perioden) an, wobei  die zeitliche Differenz stets ein Zeitschritt (oder 1 Periode) ist. Daher gilt: 

 Die Parameter a und b sind reelle Zahlen

Differenzengleichung  Entspricht einem mathe-  matischen Instrument zur  Erfassung von diskreter  Zeitabhängigkeit von  Variablen. 

stetigen (oder kontinuierlichen) Analyse wird die Zeit hingegen als stetige  Variable betrachtet, die daher jede beliebige positive reelle Zahl annehmen kann. Die  zeitliche Differenz wird sodann durch die 1. Ableitung der Variablen nach der Zeit  erfasst. Dies drückt die Differentialgleichung aus, die im einfachsten Fall wie folgt  definiert ist: 

Differentialgleichung  Entspricht einem mathe-  matischen Instrument zur  Erfassung von stetiger  Zeitabhängigkeit von  Variablen. 

Differenzen- als auch Differentialgleichungen sind Gleichungen, die – wie jede  Gleichung – eine zu prüfende Aussage beschreiben. Im Normalfall ermittelt man stets den  Wert der Variablen, für den die Gleichung erfüllt ist, man erhält also eine Zahl (oder ggf.  auch eine Zahlenmenge) als Lösung. Bei Differenzen- und Differentialgleichungen ist dies  indes nicht der Fall. Die Lösung solcher Gleichungen ist keine Zahl, sondern selbst eine  Funktion. Daher bezeichnet man beide Gleichungstypen auch als Funktionalgleichungen 

Funktionalgleichungen im Rahmen der Volkswirtschaftslehre vor allem in der Konjunktur- und Wachstumstheorie anzutreffen sind. Dies ist auch plausibel, denn die Höhe des Bruttoinlandsproduktes als Wachstumsindikator der aktuellen Periode ist u. a. von der Höhe des Bruttoinlandsproduktes der Vorperiode abhängig.