Spieltheorie

• Die Spieltheorie analysiert strategisches Verhalten in verschiedenen Disziplinen.

• Sie hilft, optimale Entscheidungen in Interaktionssituationen mit mehreren Akteuren zu verstehen.

• Sie findet Anwendung in WiWi; PoWi; Biologie etc.

• Die Einträge in den jeweiligen Zeilen bezeichnet man als payoff

Man unterscheidet …

• kooperative Spieltheorie

• non-kooperative Spieltheorie

• Pläne, an welchem Punkt bzw. unter welchen Bedingungen welche Entscheidung getroffen wird

• Sie betreffen immer das gesamte Spiel, also alle Entscheidungen

• Wir unterscheiden reine Strategien, die deterministisch sind, und gemischte Strategien, in denen wir würfeln

• Dies sind die “Resultate”: Wieviel erhält jeder Spieler und unter welchen Bedingungen

• Spiele können mithilfe einer Auszahlungsmatrix meist recht gut charakterisiert werden

• Eine Situation, in der keine Partei einen Anreiz hat, von ihrer Strategie abzuweichen

• Das Ergebnis ist somit stabil

Dominante Strategie: Eine Strategie, die unabhängig von den Entscheidungen der anderen Spieler immer das beste Ergebnis liefert.

• strikt dominante Strategie:

  • diese Strategie verspricht immer bessere Payoffs als andere Strategien

• schwach dominante Strategie:

  • diese Strategie ist nie schlechter als andere Strategien

Dominierte Strategie: Eine Strategie, die immer schlechter abschneidet als eine andere, kann ausgeschlossen werden.

Beispiel Gefangenendilemma:

• „Gestehen“ ist für beide Spieler die dominante Strategie.

• „Schweigen“ ist dominiert, da es immer zu einem schlechteren Ergebnis führt.

• Ein Strategiekombination (je eine Strategie pro Spieler) bildet ein Nash-Gleichgewicht, wenn

  • kein Spieler seinen Nutzen erhöhen kann, indem er einseitig von seiner Strategie abweicht,

  • vorausgesetzt die anderen halten an ihren Strategien fest​

• Mit anderen Worten, jeder spielt die beste Antwort auf die Gleichgewichtsstrategien der anderen

• Die Erwartungen über die andere Spieler:in stimmen also mit deren Handlungen überein

Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien

Da es keine stabile Wahl einer einzelnen Strategie gibt, entsteht das Nash-Gleichgewicht in einer gemischten Strategie:

• Beide Spieler wählen zufällig Kopf oder Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%.

• So wird der Gegner indifferent (gleichgültig), da keine Strategie dauerhaft profitabel ist.

• Falls ein Spieler von dieser 50/50-Wahrscheinlichkeit abweicht, kann der Gegner seine Strategie anpassen und sich einen Vorteil verschaffen.

Wichtige Erkenntnisse:

1. Indifferenzprinzip:

   • Jeder Spieler muss die Strategie des anderen so beeinflussen, dass es für diesen keinen Anreiz gibt, abzuweichen.

   • Falls einer eine reine Strategie bevorzugen würde, könnte der Gegner eine optimale Gegenstrategie wählen und sich einen Vorteil verschaffen.

   • Daher bleibt nur die zufällige Mischung (50/50) als Gleichgewicht.

2. Kein einseitiger Vorteil möglich:

   • Da es sich um ein Nullsummenspiel handelt, kann sich keiner langfristig besser als 0 stellen.

   • Die Zufallswahl sorgt für eine ausgeglichene Erwartung.

3. Allgemein für gemischte Strategien:

   • In vielen Spielen mit keinem Gleichgewicht in reinen Strategien gibt es ein gemischtes Gleichgewicht.

   • Das Nash-Gleichgewicht entsteht, wenn Spieler indifferent zwischen ihren reinen Strategien sind.

• Verhandlungen

• Handelskonflikte, die bspw. mit Zöllen und anderen Beschränkungen geführt werden

• Investitionsentscheidungen

• Viele Auktionstypen

Es gibt die Möglichkeit zu kämpfen und nicht zu kämpfen

1. Teilspielperfektes Gleichgewicht (TSPG)

   • Eine Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts für sequentielle Spiele.

   • Die Strategie muss in jedem Teilspiel selbst ein Nash-Gleichgewicht sein.

   • Das bedeutet, dass Spieler in jeder Spielsituation eine optimale Antwort spielen.

2. Teilspiel

   • Ein Teilspiel beginnt an einem Entscheidungsknoten und umfasst das restliche Spiel.

   • Jedes Teilspiel kann als eigenständiges Spiel betrachtet werden.

3. Wichtige Eigenschaften des TSPG

   • Spieler agieren nicht nur am Anfang optimal, sondern auch in späteren Spielphasen.

   • Strategien müssen in allen möglichen Szenarien eines Spiels logisch konsistent sein.

   • Verhindert unglaubwürdige Drohungen, da Entscheidungen in allen Teilspielen rational sein müssen.

1. Rückwärtsinduktion – Methode zur Bestimmung teilspielperfekter Gleichgewichte

   • Startpunkt ist das letzte Teilspiel, dort wird das Nash-Gleichgewicht bestimmt.

   • Die Ergebnisse aus dem letzten Teilspiel werden dann in das vorherige Teilspiel übernommen.

   • Dieser Prozess wird rückwärts bis zum Spielbeginn fortgesetzt.

2. Grundprinzip

   • Spieler betrachten das Ende des Spiels zuerst, um zu entscheiden, was vorher rational ist.

   • Jede Entscheidung basiert auf der Annahme, dass alle nachfolgenden Entscheidungen rational getroffen werden.

3. Schrittweises Vorgehen

   1. Letztes Teilspiel analysieren und dort die beste Entscheidung finden.

   2. Payoffs aus dem letzten Teilspiel in das vorherige übernehmen.

   3. Neues Nash-Gleichgewicht bestimmen.

   4. Wiederholen, bis das ganze Spiel rückwärts durchgegangen wurde.