Durch welche Eigenschaften zeichnet sich die Finite-Elemente-Methode (FEM) aus? Wofür wird die Finite-Elemente-Methode angewendet?
Eigenschaften:
Numerisches Verfahren (partielle Differentialgleichungen)
Unterteilung in finite Elemente
Anwendungen:
Strukturmechanik (z.B. Spannungen)
Dynamik und Statik (Crash, Schwingungen, Wärme)
Welche numerischen Verfahren kennen Sie, die im Rahmen der FEM genutzt werden?
LU Zerlegung
Forward/Backward Euler
Newton-Raphson (klassisch, modifiziert und gedämpft)
Newmark-Verfahren (direkte Zeitintegrationsverfahren)
Gateaux-Verfahren
Gauss’sche Quadratur
Welche Prinzipien können angewendet werden, um die schwache Form des Gleichgewichts für die Lösung mittels FEM formulieren zu können?
Prinzip der:
virtuellen Verschiebung
virtuellen Arbeit
Minimum der potentiellen Energie
-> alle 3 führen zur Grundgleichung der FEM
Wozu werden Kontinuen diskretisiert? Was soll mit dieser Diskretisierung erreicht werden? Welche verschiedenen Arten von Elementen kennen Sie?
Zweck und Ziel:
Numerische Berechenbarkeit, Reduktion auf endlich viele Freiheitsgrade -> einfacher zu berechnen
Elementarten:
Allgemeine Elemente (z.B. Volumen-, Schalen-, Balkenelemente)
Spezielle Elemente (z.B. Stab-, Feder-, Dämpfer-, Masseelemente)
Wie lautet die Grundgleichung der linearen Finite-Elemente-Methode? Benennen Sie die einzelnen Terme dieser Grundgleichung!
K ⋅ U = F
K: Steifigkeitsmatrix
U: Verschiebungsvektor
F: Lastvektor
Wann wird die nichtlineare FEM angewandt? Nennen Sie hierzu die drei Bereiche der Nichtlinearitäten.
Anwendung:
große Verformungen, große Spannungen, große Rotationen, Kontakt, nichtlineare Werkstoffe
Nichtlinearitäten:
Geometrisch
Physikalisch (Material)
Randbedingungen
Wodurch kennzeichnet sich die Erscheinung der geometrischen Nichtlinearität? Nennen Sie auch ein Beispiel.
kinematische Beziehungen:
Große Verdrehung/Verschiebungen
Große Verzerrungen ab ca 10%
Die Beziehung zwischen Kräften und Verschiebungen ist nicht mehr linear; der ursprüngliche Gleichgewichtszustand ändert sich wesentlich mit der Verformung.
Bsp.: Crash-Test-Simulationen
Wodurch kennzeichnet sich die Erscheinung der physikalischen Nichtlinearität? Nennen Sie auch ein Beispiel.
Nichtlineares Werkstoffverhalten (z. B. Plastizität, Viskoelastizität, Hyperelastizität)
Beispiel: Schädigungsmodellierung (Crack Modeling), Mullins-Effekt bei Elastomeren
Wodurch kennzeichnet sich die Erscheinung der Nichtlinearitäten infolge von Randbedingungen? Nennen Sie auch ein Beispiel
Merkmale:
Randbedingungen ändern sich während der Deformation (z. B. Kontaktprobleme, sich lösende oder neu entstehende Lagerungen).
Oft nur abschnittsweise linear oder diskontinuierlich (keine konstante Randbedingung über die gesamte Verformung).
Beispiele:
Kontakt zwischen Bauteilen bei zunehmender Verformung (z. B. Lager, die erst nach einer gewissen Verformung greifen).
Skizzieren Sie ein Beispiel einer geometrischen Nichtlinearität. Wodurch kennzeichnet sich dieses Beispiel als nichtlinearer Fall?
Skizzieren Sie ein Beispiel einer physikalischen Nichtlinearität. Warum handelt es sich bei diesem Beispiel um einen nichtlinearen Fall?
unterschiedliche Deformation bei gleicher Spannung, da bei k1 ein Ende fest eingespannt ist
Skizzieren Sie ein Beispiel einer Nichtlinearität infolge von Randbedingungen. Wodurch kennzeichnet sich dieses Beispiel als nichtlinearer Fall?
Beispiel:
Kontakt zwischen Autoreifen und Fahrbahn: Mit zunehmender Belastung ändert sich die reale Kontaktfläche. Die Randbedingung „Kontaktfläche = 0“ weicht einer sich stetig ändernden Kontaktbedingung.
Merkmale Nichtlinearität:
Die Randbedingung ändert sich während der Deformation; man weiß nicht vorab, wo bzw. wie viel Kontakt besteht.
Dadurch ist das System nicht mehr linear; die Gleichungen müssen iterativ gelöst werden (Kontaktproblem).
Ein einseitig eingespannter Balken (lineare Elastizität) wird am freien Ende mit einer Querkraft belastet. Es ergeben sich große Durchbiegungen. Zeichnen Sie den verformten Zustand bei einer linearen Simulation und bei einer nichtlinearen Berechnung. Welche Art von Nichtlinearität liegt hier vor? Beschreiben Sie diese!
aufgrund der Vernachlässigung der geometrischen Nichtlinearität bleibt das Balkenende bei der linearen Simulation auf der selben X-Position -> es verlängert sich
Es handelt sich um eine geometrische Nichtlinearität
Worin liegt der Unterschied zwischen der Ingenieursverzerrung und der Green- Verzerrung? Welches Verzerrungsmaß sollte bei einer geometrisch nichtlinearen Problemstellung betrachtet werden? Begründen Sie Ihre Aussage!
Ingenieurverzerrung:
Bezieht sich auf die ursprüngliche Länge (Referenzkonfiguration).
Geeignet für kleine Dehnungen; bei großen Verformungen ungenau.
Green-Verzerrung:
Berücksichtigt quadratische Terme der Verschiebungen (Momentankonfiguration),
Liefert bei großen Dehnungen realistischere Ergebnisse.
→ Bei geometrisch nichtlinearen Problemen sollte die Green-Verzerrung verwendet werden, da sie große Verformungen und Rotationen korrekt abbildet und hier tatsächliche Änderungen der Geometrie berücksichtigt werden
Skizzieren Sie die ersten 3 Iterationen des klassischen Newton-Verfahrens am Beispiel einer nichtlinearen skalaren Funktion einer Variablen!
und
Wie ist der Ablauf des Newton Verfahrens? Stellen Sie das Newton Verfahren schematisch als eine Iterationsprozedur dar!
Erläutern und beschreiben Sie die Bedeutung der additiven Aufspaltung der tangentialen Steifigkeitsmatrix!
KT=KM+KG
K(MT) ist bei reiner geom. Nichtlinearität bei kleinen Verzerrungen von den Verschiebungen unabhängig
K(GT) ist im Falle der geom. Nichtlinearität von den Verschiebungen abhängig.
-> wichtig für nichtlinearitäten
Betrachten Sie den Fall einer nichtlinearen Berechnung mit Konvergenzproblemen (Divergenz der Lösung mittels klassischen Newton Verfahren). Nennen Sie zwei mögliche Strategien, um die Konvergenz der Lösung zu verbessern!
Startwert nah an der Lösung wählen
Dämpfen (verringern der Schrittweite)
Belastung inkrementell aufbringen
Physik. Nichtlin. Inkrementell aufbringen
Beschreiben Sie das modifizierte Newton-Verfahren! Wo liegt der Unterschied zum klassischen Newton Verfahren?
Modifiziertes Newton-Verfahren:
Tangentialmatrix (Ableitung des Residuums) wird nicht bei jeder Iteration neu berechnet, sondern nur in bestimmten Iterationsschritten
Unterschied zum klassischen Newton:
Tangentialmatrix wird jede Iteration aktualisiert.
Beschreiben Sie das gedämpfte Newton-Verfahren! Wo liegt der Unterschied zum klassischen Newton Verfahren?
Verringert die Schrittweite durch Dämpfungsfaktor alpha
Aus welchem Grund wird bei einer numerischen Lösung der linearen Beulanalyse eine Einheitskraft aufgebracht?
Mit einer normierten Einheitskraft (z. B. 1 N) wird das Eigenwertproblem vereinfacht.
Der Lastmultiplikator (λ) gibt dann direkt an, wie stark die Einheitskraft vervielfacht werden muss, um die kritische Last zu erreichen, also F_krit=λ⋅F.
Unter welchen Umständen wird eine nichtlineare Beulanalyse durchgeführt? Wodurch unterscheidet sich die nichtlineare zu der linearen Beulanalyse?
Große Verformungen/Rotationen (geometrische Nichtlinearität)
Nichlineares Werkstoffverhalten (physische Nichtlinearität)
Plastisches Materialverhalten
Betrachtung von Imperfektionen, Kontakt etc.
Ermittlung des realen Post-Buckling-Verhaltens
Lineare Beulanalyse:
Lösung Eigenwertproblem, liefert nur Abschätzung der kritischen Last (kein Post-Buckling).
Nichtlineare Beulanalyse:
Keine Lösung des Eigenwertproblems
-> Iteratives Verfahren (z. B. Newton-/Arc-Length), Abbildung von großen Verformungen und Nachbeulverhalten, realistischere Ergebnisse.
Auf welche Art und Weise kann der kritische Punkt (Verzweigungspunkt) in der nichtlinearen Beulanalyse berechnet werden?
Inkrementelles Lastaufbringen
Iterative Beobachtung der Verformung
-> Bei kritischem Pkt kommt es bei einer kleinen Laststeierung zu einer großen Verschiebung
Wie gehen Sie vor, um das Nachbeulverhalten zu untersuchen?
Am Verzweigungspunkt wird die Tangetialmatrix singulär -> numerisch instabil
Lösung: Gedämpftes Newton-Verfahren mit Line-Search oder Pfadverfolgung (Arc-Lenght)
Erläutern Sie die Begriffe: gutartiges und bösartiges Stabilitätsversagen!
gutartig:
Verfestigung. Last kann nach Verzweigung gesteigert werden
Bösartig:
Entfestigung Traglast nimmt ab
Zu welcher Art der Nichtlinearität gehört Beulen? Welche damit gekoppelten Effekte können auftreten?
geometrische Nichtlinearität
Effekte:
Verzweigung (Bifurkation): Mehrere neue Gleichgewichtslagen.
Durchschlagen (Snap-Through): Plötzlicher Sprung in eine neue Gleichgewichtslage.
Einfluss von Material- oder Randbedingungen: Verfestigung, Entfestigung oder Kontaktprobleme können das Beulverhalten zusätzlich beeinflussen.
Imperfektionsempfindlichkeit und Instabilität
Skizzieren und beschreiben Sie die schematische Darstellung einer nichtlinearen zeitabhängigen FE-Berechnung
PDE = part. Diff. Gl.
DAE = Diff. Alg. Gl.
NAE = Nichtlineare Alg. Gl
LAE = Lineare Alg. Gl
Wie lautet die Grundgleichung der nichtlinearen FEM für Anfangsrandwertprobleme? Benennen Sie die einzelnen Terme dieser Grundgleichung!
Beschreiben Sie das Prinzip der direkten Zeitintegrationsverfahren im Rahmen der FEM!
Dynamische Grundgleichung wird direkt im Zeitbereich gelöst
Schrittweise mit delta t
feste Vorschrift (Newmark) und an festen Zeitpunkten
(Oder: Zeit wird nicht transformiert, sondern direkt integriert – Schritt für Schritt, mit fester Vorschrift (z. B. Newmark), an festen Zeitpunkten.)
Beschreiben Sie das Newmark Verfahren! Welche Rolle spielt dabei das Newton-Verfahren?
Newmark-Verfahren:
Direktes Zeitintegrationsverfahren (für dynamische Probleme) in Schritte Δt unterteilt
In jedem Zeitschritt werden Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen berechnet
Newton:
löst Nichtlineare Gleichung in jedem Zeitschritt iterativ
Wie werden im Rahmen der Lagrange-Multiplikator-Methode die Zwangsbedingungen bei Kontaktproblemen behandelt? Beschreiben Sie kurz diese Methode und nennen Sie ihre Vor- und Nachteile!
Zwangsbedingung wird mit Multiplikator versehen und (als zusätzliche Gleichung) in die pot. Gesamtenergie eingebaut und minimiert.
-> ergibt Gleichungssystem
Vorteile:
sehr gute Erebnisse speziell bei reibungslosen Problemen
vernachlässigbare Penetration und
Keine Definition der Kontaktsteifigkeit
Nachteile:
Erhöhung der Freiheitsrade, daraus folgend größerer Speicherbedarf
Wie werden im Rahmen der Penalty Methode die Zwangsbedingungen bei Kontaktproblemen behandelt? Beschreiben Sie kurz diese Methode und nennen Sie ihre Vor- und Nachteile!
Prinzip:
Kontakt wird durch eine fiktive, sehr steife „Feder“ (Penalty-Steifigkeit) zwischen den Kontaktknoten realisiert.
Penetration erzeugt eine hohe „Strafenergie“, die das System in die korrekte Lage zurückdrängt.
Einfach zu implementieren, da keine zusätzlichen Freiheitsgrade eingeführt werden.
Schnelle Lösung, sofern die Federsteifigkeit gut gewählt ist.
Penetration wird nicht vollständig verhindert (kleine Durchdringung möglich).
Zu große Penalty-Steifigkeit kann zu numerischen Problemen (schlechte Konditionierung) führen
Wie werden im Rahmen der erweiterten Lagrange-Multiplikator Methode die Zwangsbedingungen bei Kontaktproblemen behandelt? Beschreiben Sie kurz diese Methode und nennen Sie ihre Vor- und Nachteile!
Kombination aus Penalty- und Lagrange-Multiplikator-Verfahren
Exaktere Durchsetzung der Kontaktbedingung als reine Penalty-Methode, weniger Penetration
Höherer Rechenaufwand, da iteratives Vorgehen und zusätzliche Parameter erforderlich sind
Sie wollen den Kontakt 2er Stäbe in einer FE-Software modellieren – wie gehen Sie vor?
Kontakt-Elemente definieren: z. B. Knoten-zu-Knoten-Element (CONTA178 in ANSYS)
Freiheitsgrade bestimmen: Normal- und Tangentialrichtung für Kontakt
Kontaktparameter festlegen: z. B. Penalty-Steifigkeit, Reibung (falls erforderlich)
Randbedingungen und Materialdaten eingeben: Sicherstellen, dass die Kontaktflächen korrekt zugeordnet sind
Welche Lösungsmethode zur Behandlung von Kontaktproblemen würden Sie verwenden, um die Rechenzeit möglichst klein zu halten?
Penalty Methode - am wenigsten genau dafür am schnellsten!
Beschreiben Sie die Merkmale sowie die Bedeutung des isoparametrischen Konzepts eines finiten Elementes!
Gleiche Formfunktion für Geometrie und Feldgrößen (Verschiebungen)
-> universelle Anwendung
Erläutern Sie die Begriffe: Total Lagrange und Updated Lagrange Ansatz!
Schwache Form der Impulsbilanz.
Total: Bezug zur RK
Updatet: Bezug zur MK
Wie lautet die Grundgleichung der nichtlinearen FEM für statische Randwertprobleme? Beschreiben Sie die einzelnen Terme dieser Grundgleichung!
Warum ist die Verwendung des Gateaux-Differentials im Rahmen der nichtlinearen FEM von Bedeutung?
um die Jacobimatrix zu bestimmen, die für die Iteration benötigt wird.
(Diese Matrix beschreibt, wie sich die Kräfte oder die Energie in Bezug auf die Verschiebungen ändern, was für die Konvergenz des Verfahrens wichtig ist.)
Es trägt dazu bei, die Genauigkeit und die Effizienz der FEM-Analyse zu verbessen.
Wie lautet die tangentiale Steifigkeitsmatrix eines nichtlinearen Kontinuums unter Berücksichtigung großer Verzerrungen? Von welchen Größen ist diese Matrix abhängig? Beschreiben Sie diese!
B = Verzerrungstensor
C = Materialtensor
S = Spannungstensor
Erläutern Sie die Begriffe: Gauss Punkte und Gauss-Quadratur!
Gauss-Punkte: Ausgewählte Punkte im Integrationsbereich, an denen der Integrand ausgewertet wird.
Gauss-Quadratur: Numerische Integrationsmethode, die diese Punkte und passende Gewichte nutzt, um Integrale genau zu approximieren.
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