Beschreiben Sie den Inhalt und die Ziele der Lehrveranstaltung!
Inhalt:
- Einführung und Motivation
- Grundlagen der Vektor- und Tensorrechnung
- Kinematik – Beschreibung der Bewegung
- Bilanzgleichungen
- Materialmodelle
Ziele:
- Verstehen und Erlernen grundlegender Methoden der Kontinuumsmechanik
- Fähigkeit zur Beurteilung numerischer Berechungsergebnisse aus Finite-Elemente Simulationen
- Grundlage für experimentelle, theoretische und numerische Masterarbeiten auf dem Gebiet der Kontinuumsmechanik
Was versteht man unter dem Begriff Kontinuumsmechanik?
Teilgebiete der Mechanik, der die Bewegung von deformierbaren Körpern als Antwort auf äußere Belastungen studiert
Phänomenologische Theorie um die thermomechanischen Eigenschaften von linear, eben und räumlich ausgedehnten Strukturen mit numerischen Verfahren der Festkörper und Fluidmechanik berechnen zu können
leistet quantitative Aussage über Spannung, Deformation, Temperatur sowie Fließ- oder Strömungsvorgänge
Was bedeutet der Begriff “phänomenologisch” im Rahmen der Materialmodellierung?
Der mikroskopische Aufbau des Materials/ des Werkstoffs wird nicht berücksichtigt.
Welche mathematischen Disziplinen benötigt man in der Kontinuumsmechanik?
Beschreibung der Deformation (Kinematik)
Massen-, Kräfte- und Energiehaushalt (Bilanzgleichungen)
Materialeigenschaften (Konstitutivgleichungen)
Womit beschäftigt sich die Kinematik im Rahmen der Kontinuumsmechanik?
Mit der mathematischen Beschreibung der Bewegung
Unter welchen Voraussetzungen ist die Kontinuumsmechanik anwendbar und welche physikalischen Größen kann man grundsätzlich berechnen?
Die kleinste geometrische Abmessung 𝑑 der zu simulierenden Struktur muss wesentlich größer sein als die größte mikrostrukturelle Abmessung 𝛿 des zugrundeliegenden Werkstoffes.
𝛿 << 𝑑
Skizzieren Sie die Referenz- und die Momentankonfiguration sowie die Bewegungsfunktion und den Verschiebevektor und erläutern Sie die Begriffe!
Was versteht man unter einem materiellen Punkt und einem materiellen Körper?
Materieller Punkt:
Er hat keine Ausdehnung und ist der Träger der physikalischen Eigenschaften wie z.B. der Massendichte oder der Temperatur
Materieller Körper:
Ein materieller Körper besteht aus überabzählbar unendlich vielen materiellen Punkten. Er ist eine zusammenhängende Menge von materiellen Punkten.
Welchen Zusammenhang beschreibt die Bewegungsfunktion?
Was versteht man unter materiellen Linien-, Flächen und Volumenelementen?
Wie ist der Deformationsgradient definiert und welche Zusammenhänge beschreibt er?
Der Deformationsgradient F beschreibt die lokale Deformation eines Körpers in der Kontinuumsmechanik. Er wird benötigt, um materielle Linien-, Flächen- und Volumenelemente von der Referenzkonfiguration auf die Momentankonfiguration bzw. in umgekehrter Richtung zu transformieren.
In welche Anteile lässt sich der Deformationsgradient zerlegen?
Streckung
Dehnung
Wie lauten die beiden polaren Zerlegungen des Deformationsgradienten und wie kann man sie physikalisch interpretieren?
polare Zerlegung mit rechtem Streckentensor: F = R * U
polare Zerlegung mit linkem Streckentensor: F = R * V
R = orthogonaler Drehtensor - starre Rotation ohne Verzerrung
U = re. Strecktensor - Verzerrung in der Referenzkonfiguration
V = li. Strecktensor - Verzerrung in der Momentkonfiguration
Was bedeutet der Begriff Inkompressibilität und mit welcher mathematischen Beziehungen würde man sie ausdrücken?
Inkompressibilität = konstantes Volumen
Skizzieren und erläutern Sie die Kinematik bei einem einachsigen Zugversuch!
Skizzieren und erläutern Sie die Kinematik bei einem einfachen Scherversuch!
Was versteht man unter dem Verschiebungsvektor und wie berechnet man daraus den Verschiebungsgradienten?
Der Verschiebungsvektor u beschreibt die Bewegung eines materiellen Punktes eines Körpers von seiner Referenzkonfiguration in die Momentankonfiguration.
Wie hängen die Volumenelemente der Referenz- und der Momentankonfiguration mit dem Deformationsgradienten zusammen?
Der Deformationsgradient bestimmt, wie sich ein infinitesimales Volumenelement während einer Deformation verändert. Die Determinante des Deformationsgradienten bildet materielle Volumenelemente zwischen der Referenz- und der Momentankonfiguration ab.
Was versteht man unter materieller Beschreibung und was unter räumlicher Beschreibung?
In welchen Anwendungsfeldern (bzw. bei welchen Materialien) wird eher die räumliche Beschreibung verwendet und in welchen anderen eher die materielle Beschreibung?
Räumliche Beschreibung:
Strömungsmechanik
Verbrennungsprozesse
Für Flüssigkeiten und Gase, bei denen die Bewegung durch den Raum wichtiger ist als die individuelle Bewegung eines Materialpunktes.
Materielle Beschreibung:
Elastizitätstheorie
Plastizität
Strukturanalysen
Für Festkörper und deformierbare Materialien mit einer klar definierten Anfangsform
Wie ist der räumliche Geschwindigkeitsgradient definiert?
Der räumliche Geschwindigkeitsgradient beschreibt die Änderung der Geschwindigkeitskomponenten eines Teilchens im Raum.
In welche Anteile lässt sich der räumliche Geschwindigkeitsgradient zerlegen?
L = D + W
L = Geschwindigkeitsgradient
D = Verzerrungsgeschwindigkeitstensor (symmetrischer Anteil)
W = Wirbeltensor (antimetrischer Anteil)
Wie hängen die Cauchy - Green Tensoren mit dem Deformationsgradienten zusammen?
Die Cauchy-Green-Tensoren sind Größen, die zur Beschreibung der Deformation eines Materials verwendet werden. Sie hängen direkt mit dem Deformationsgradienten 𝐹 zusammen und ermöglichen die Berechnung von Deformationen unabhängig von Drehungen des Körpers.
Wie ist der Greensche Verzerrungstensor definiert?
E = 0.5*(C-1)
Welche Verzerrungstensoren kennen Sie?
Almansischer Verzerrungstensor:
Green - Lagrange Verzerrungstensor:
Henckysche Verzerrungstensor:
Welche Spannungstensoren kennen Sie?
Cauchy Spannung (wahre Spannung) gehört zum Spannungstensoren der Momentankonfiguration
Piola - Kirchoff Spannung (technische Spannung/Ingenieurspannung) gehört zum Spannungstensor der Referenzkonfiguration
Erläutern Sie den Unterschied zwischen dem Cauchy-Spannungstensor und dem ersten Piola-Kirchoff bzw. dem technischen Spannungstensor!
Cauchy Spannungstensor (wahrer Spannungstensor):
beschreibt die tatsächliche Spannung in der Momentankonfiguration, d.h. im aktuellen, deformierten Zustand eines Körpers
Die Kräfte werden auf die momentane Fläche des deformierten Körpers bezogen
ist symmetrisch
Piola - Kirchoff Spannungstensor (technischer Spannungstensor):
Wird in der Referenzkonfiguration verwendet, also im ursprünglichen, unverformten Zustand des Körpers
Er bezieht die Kräfte auf die unverformte Fläche vor der Deformation
ist asymmetrisch
Damit beschreibt der Cauchy-Spannungstensor die Spannung in der aktuellen, deformierten Struktur, währen der Piola-Kirchhoff-Spannungstensor Spannungen im Ausgangszustand (vor der Deformation) beschreibt und zur Transofmration zwischen den Konfigurationen dient.
Wie berechnet sich beim Zugversuch die wahre Spannung und die technische Spannung?
Wie viele und welche Bilanzgleichungen kennen Sie?
Fünf Bilanzgleichungen:
Massenbilanz
Impulsbilanz
Drehimpulsbilanz
Energiebilanz
Entropiebilanz
Was besagt die Massenbilanz physikalisch?
Massenbilanz:
besagt: Gesamtmasse eines geschlossenen Systems bleibt konstant
bedeutet: in der Kontinuumsmechanik kann Masse weder erzeugt noch vernichtet werden
entspricht: Erhaltungssatz der Masse
Was besagt die Impulsbilanz physikalisch?
Impulsbilanz:
besagt: Änderung des Impulses eines Körpers wird durch äußere Kräfte verursacht
ist eine mathematische Formulierung des Zweiten Newtonschen Gesetzes: F = m * a
Was versteht man unter den lokalen und globalen Formulierungen von Bilanzgleichungen?
Globale Formulierung: Aussage über den ganzen Körper (Integralform)
Lokale Formulierung: Aussage über beliebigen kleinen Teil des Körpers (Differentialform)
Wie lautet die lokale Massenbilanz auf der Referenzkonfiguration?
Sagt aus, dass die zugehörige Massendichte nicht von der Zeit abhängen darf.
Wie lautet die lokale Drehimpulsbilanz auf der Momentankonfiguration?
Die lokale Drehimpulsbilanz auf der Momentankonfiguration ist die Aussage, dass der Cauchy Spannungstensor, der die wahren Spannungen beinhaltet, symmetrisch ist.
Nennen Sie die vier Klassen des Materialverhaltens!
Elastizität
Viskosität
Viskoplastizität
Was verstehen Sie unter elastischem Materialverhalten?
Was verstehen Sie unter plastischem Materialverhalten?
Was verstehen Sie unter viskoelastischem Materialverhalten?
Was verstehen Sie unter viskoplastischem Materialverhalten?
Skizzieren Sie typische Spannungs - Dehnungs - Kennlinien von einem viskoelastischen Material für unterschiedliche Dehnungsgeschwindigkeiten!
Was versteht man unter den Begriffen Relaxation und Kriechen bei Werkstoffen?
Relaxation:
Abnehmen der Spannung, während Dehnung konstant bleibt
Bsp. Gummiband auf feste Länge gedehnt, nach einiger Zeit nimmt die Kraft auf die Haltepunkte ab
Kriechen:
Zunehmen der Dehnung, während Spannung konstant bleibt
Bsp. schwere Last an einem Kunststoffhaken, nach einigen Wochen hat sich der Haken verlängert oder verformt
Welche Versuche würden Sie durchführen, um zu prüfen, ob ein Material geschwindigkeitsabhängig ist?
Zugversuch bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten:
Spannungsabhängigkeit von Dehngeschwindigkeit
Relaxationstest:
Spannungsabfall über die Zeit
Kriechversuch (Zeitstandversuch):
Zunehmende Dehnung bei konstanter Spannung
Dynamisch - mechanische Analyse (DMA):
Frequenzabhängigkeit der Materialantwort
Welche Prinzipien der Materialtheorie kennen Sie?
Was versteht man unter dem Prinzip der Äquipräsenz?
besagt:
für alle Materialfunktionen eines Modells wird derselbe Satz unabhängiger Variablen angenommen
bedeutet:
in einem Materialmodell müssen die gleichen Einflussgrößen für alle physikalischen Eigenschaften (Spannung, Energie, Entropie) verwendet werden
Was versteht man unter dem Prinzip des Determinismus?
aktueller Spannungszustand eines Materials ist eindeutig durch die Bewegungsgeschichte des Körpers bestimmt
ein Material zeigt bei gleicher Belastungsgeschichte immer dieselbe Reaktion
Welche Kriterien sind zu beachten, wenn ein Materialmodell für die Berechnung eines technischen Problems auszuwählen ist?
Welche sind die unabhängigen Variablen, mit denen in der Thermoelastizität gearbeitet wird?
Greenscher Verzerrungstensor
Temperatur
Temperaturgradient
Dieselben Variablen auch in der Clausius - Duhem - Ungleichung verwendet, um thermodynamische Konsistenz sicherzustellen
Welche wesentliche Ungleichung muss ein Materialmodell erfüllen, damit es thermodynamisch konsistent ist?
muss die Clausius - Duhem - Ungleichung erfüllen
Ungleichung stellt sicher, dass kein Prozess gegen die Gesetze der Thermodynamik verstößt
Aus welchen Gründen benötigt man Materialmodelle bzw. reichen die Kinematik und die Bilanzgleichungen nucht aus, um technische Bauteile zu berechnen?
Weitere Gleichungen werden benötigt, welche die individuellen Eigenschaften der betreffenden Werkstoffe beschreibt.
Dies können thermoelastische, -viskose oder -viskoelastische bzw. -viskoplastische Festkörper oder Fluide mit isotropen oder anisotropen Eigenschaften sein.
Skizzieren und erläutern Sie das Fouriersche Wärmeleitgesetz!
Wärme fließt immer in Richtung des fallenden Temperaturgradienten
negatives Vorzeichen stellt sicher, dass die Wärme von höheren zu niedrigeren Temperaturen fließt
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