8.3 Eindimensionaler Erwartungs-Test bei bekannter Standardabweichung (t-Test)

Wenn der Erwartungswert getestet werden soll, aber die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist​

Beim t-Test wird die Standardabweichung aus der Stichprobe berechnet, und es wird ein kritischer Wert der t-Verteilung verwendet​

1. Kardinalskalierte Variable

2. Normalverteilung in der Grundgesamtheit

3. Zufällige Stichprobe (identisch mit dem z-Test)​

t=n⋅(xˉ−μ0)st=sn​⋅(xˉ−μ0​)​

mit:

• xˉxˉ: Stichprobenmittelwert

• μ0μ0​: hypothetischer Mittelwert

• ss: Stichprobenstandardabweichung

• nn: Stichprobengröße

Der kritische Wert wird aus der t-Verteilung mit n−1n−1 Freiheitsgraden gewählt, z. B. bei n=5n=5: t4;0,975=2,776t4;0,975​=2,776​

Wenn ∣t∣>tn−1;1−α2∣t∣>tn−1;1−2α​​, also die Prüfgröße außerhalb des kritischen Bereichs liegt​

Die Nullhypothese wird verworfen, wenn

t>tn−1;1−αt>tn−1;1−α​

Beispiel: t=1,05t=1,05, kritischer Wert t4;0,95=2,132t4;0,95​=2,132 → H₀ wird nicht abgelehnt​

• H0:μ≥μ0H0​:μ≥μ0​

• H1:μ<μ0H1​:μ<μ0​ → H₀ wird abgelehnt, wenn t<−tn−1;1−αt<−tn−1;1−α​​.

s=n−11​i=1∑n​(xi​−xˉ)2​

oder mit gegebenen Werten direkt wie im Beispiel berechnet​.

Die Prüfgröße t=1,05t=1,05 liegt unterhalb des kritischen Wertes t=2,776t=2,776, daher wird die Nullhypothese nicht abgelehnt​.