Theorie

• Konstruktionsbedingte Freiheitsgrade

• Betriebsbedingte Freiheitsgrade

In der Zustandsraumdarstellung beschreibt ein System von expliziten Differentialgelcihungen erster Ordnung den Zusammenang zwischen den Zuständen x, Eingangsgrössen u und Parametern p, während sich die Ausgangsgrössen y über eine explizite algebraische Gleichung aus x, u und p ergeben:

Zustandsgleichung

Ausgangsgleichung

Der Zustandsraum ist der Raum, der von den Zustanden eines dynamischen Systems aufgespannt wird.

Bahnkurve oder Trajektorie

Eine Funktion ist liniear, wenn folgende Eigenschaften gelten:

• Superposition f(x+y) = f(x) + f(y)

• Homogenität f(ax) = af(x)

Systemmatrix

Eingangsmatrix

Ausgangsmatrix

Durchgangslatrix

Extensive Größen sind physikalische Eigenschaften oder Messgrößen eines Systems, die von der Menge oder Größe des Systems abhängen.

Z.B.

• Masse

• Volumen

• Stoffmenge

• …

Bei einem nichtlinearen System

Nein

Ja

Differentialgleichungssystemen

algebraische Gleichungen

Es gibt keine Zeitabhängigkeit

stationäres System

Stationäres Verhalten ist gegeben, wenn sich sowohl Speichergrössen als auch Schnittgrössen nicht mehr ändern.

Die Matrix A muss vollen Rang haben (also nicht linear abhängig voneinander sein)

Wenn A vollen Rang hat dann gibt es eine eindeutige Ruhelage

Meist wenn det(A) nicht gleich 0 ist

Wenn a keinen vollen Rang hat, ist es möglich, dass entweder keine oder unendlich viele stationäre Lösungen existieren

Weil sie deutlich einfacher zu lösen ist

Parameter sind zeitinvariante Variabeln, denen ein Wert zugewiesen wird

Differentielle Variabeln sind zeitvariante Veriablen, deren zeitliche Ableitung in mindestens einer Gleichung auftaucht

Algebraische Variablen sind zeitvariante Variablen deren zeitliche Ableitung in keiner Gleichung auftaucht

Ist eine Gleichung, in der keine zeitliche Ableitung einer Variablen auftritt

Ist eine Gleichung, bei der die zeitlichen Ableitung von mindestens einer Variablen auftritt.

zerlegung eines Systems in seine Teilsysteme

Zusammensetzung von Teilsystemen zu grösseren Systemen

• Speichersysteme

• Verknüpfungssysteme

• Speichert Materie, Energie, Impuls, … (andere extensive Grössen)

• Durch Bilanzgleichungen beschrieben (differentziel meist)

• beschreibt Übertragung von Flussgrössen zwischen Speichersystemen

• Keine extensiven grössen

• (Meist allgebraische Gl.)

Jein

Mal haben sie eine, mal nicht

Bei Mechanischen Systen hat man meist eine gerichtete Verknüpfung

Bei Elektrischen Schaltkreisen meist nicht (negativer Strom erlaubt)

• Variablen und Parameter

• Modelgleichungen die das Verhalten beschreiben

• Schnittstellen (durch die Verkopllungen definiert werden)

Die Identität

connector (connect)

model

….

• kontaktlos

• Passiver Schaltkreis (keinne eigene Stromquelle)

Durch Modellierung der induzierten Kopplung durch Einführung von Spannungsquelle

Summe aller Ströme in einen Knoten = 0

Immer n-1 Knoten

Summe aller Spannungen einer Masche = 0

für z-(n-1)

• reduziert auf Lange sicht gesehen die Kosten

  (nur auf Lange sicht, weil es bei der ersten Simulation mehr Zeit/Geld brauchen kann das Pogramm zu erstellen)

• Übersichtlichkeit und Verständlichkeit

• “Es wird formukiert, was gilt und nicht wie man ein vorgegebes Ziel erreicht”

Bedeutet so viel wie, das Pogramm arbeitet mit den gegebenen Gleichungen und Variablen und interessiert sicht nicht dafür, in welcher Reinfolge man sie Aufschreibt

(also verschieden von der Funktionsweise von Python)

Ist ein Model, welches nicht genug Gleichungen für die gegeben/ gesuchten Variabeln hat. Dient um wiederverwendbare Klassen zu erstellen die dann im Hauptcode noch mit gleichugen “aufgefüllt” werden können.

mit der Anweisung “ extends ”

eine Gelitpuntzahl

• Motormomente

• Positionen

• Geschwindigkeiten

masselos

import Modelica.Units.SI.*;

DA-Systeme

Sind Systeme von gekoppelten Differntialgleichungen und algebraischen Gleichungen

Auflösen der algebraischen Gleichungen nach z (algebraischen Variablen)

g in DGL einsetzen um z zu eliminieren

Dann tretten eine reihe von Komplikationen auf

-Anfangswerte x_0 sind nicht alle frei wählbar

-Einschränkungen können “unsichtbar” sein (sind nicht explizit in den Modellgleichunhen angegeben)

Man muss die algebraischen Gleichungen nach der Zeit differenzieren

Beispiel:

Die Zahm der zeitlochen Ableitungen der algebraischen Gleichungen, die für die Herleitung von expliziten DGL mit kontinuierlicher Funktion in der rechten Seite für alle algebraischen Variablen eines DA-Systems erforderlich ist, wird differntieller Index des DA-Systems genannt.

Durch Picard-Lindelöf

Man nimmt alle algebraischen Gleichungen und nur ein teil der DGL (man sagt auch, eine Untermenge)

Man muss die Untermenge der algebraischen Gleichungen und Variablen so wählen, dass alle Gleichungen lösbar sind und die Inzidenzmatrix vollen strukturellen Rang besitzt

Unter einer konstitutiven Gleichung versteht man die mathematische Beschreibung eines bestimmten Aspektes von Materialverhalten. Diese mathematische Gleichungen stellen in der Regel Ansätze dar, deren freie Parameter experimentell für die jeweiligen Materialien bestimmt werden

Masse der Komponente

Massenstrom der Komponente

Reaktionsfluss der Komponente