Irrfahrten

Ein Random Walk (deutsch: Zufallsweg, Zufallsbewegung oder auch Irrfahrt) ist ein Modell, bei dem ein Objekt (z. B. eine Person, ein Teilchen, ein Preis an der Börse) sich in kleinen Schritten bewegt – und bei jedem Schritt wird die Richtung zufällig gewählt.

Die suchende Ameise auf einem Blatt Papier

Stell dir vor, eine Ameise krabbelt auf einem großen Blatt Papier. Sie startet genau in der Mitte.

Diskrete einfache Irrfahrt auf der Geraden:

Start in X0 = 0 (Zeit t = 0)

Bewegung: (t = 1,2,...):

Ein Schritt nach rechts/oben mit Wahrscheinlichkeit p

Ein Schritt nach links/unten mit Wahrscheinlichkeit q

Verbleiben im Zustand mit Wahrscheinlichkeit r

p +q+r =1

Xt Position nach t-tem Schritt

1. Absorbierende Schranke: Wenn der Random Walk diese Schranke erreicht, bleibt er dort – das Spiel ist zu Ende. Beispiel: Bei 0 angekommen, hört der Walk auf.

2. Reflektierende Schranke: Wenn der Random Walk diese Schranke erreicht, wird er zurückgestoßen. Er kann nicht weitergehen, sondern „prallt ab“. Beispiel: Bei 0 angekommen, geht er beim nächsten Schritt wieder nach oben.

p=q=0.5

r=0

-> symmetrische Irrfahrt

Asymptotische Verteilung über Verteilung von Zt und zentralen Grenzwertsatz

Exakte Verteilung im Falle r = 0 über Binomialverteilung bzw. Markov-Kette

Exakte Verteilung im Falle r ungleich 0 über Kombinatorik und Multinomialverteilung, bzw. Markov-Kette

über bedingte Verteilungen und Markov-Eigenschaft bzw. Kovarianzen und mehrdimensionale Normalverteilung

symmetrische Irrfahrt: besitzt gleiche Wahrscheinlichkeiten sich in eine Richtung zu bewegen z.b Gitter mit vier Bewegungsrichtungen

allgemeine Irrfahrt: besitzt unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten sich in eine richtung zu bewegen. Z.B. Zahlengerade mit zwei Bewegungsrichtungen

Gaußsche Irrfahrt: Schrittweiten unterschiedlich und normalverteilt