Definition
Wiener Prozess (oder Brownschen Bewegung) beschreibt einen mathematischen Prozess, der zufällige Bewegung in kontinuierlicher Zeit beschreibt
Vorraussetzungen dafür:
eindimensionale Verteilung
Beschreibt eine einzelne Zufallsvariable.
Beispiel: Die Verteilung der Körpergröße in einer Bevölkerung: Nur eine Größe (z. B. in cm) wird betrachtet.
W(t) ∼N(0,σ2t)
bivariate Verteilung
Beschreibt zwei Zufallsvariablen gleichzeitig, inkl. Abhängigkeit/Zusammenhang.
Beispiel: Größe und Gewicht einer Person. Man kann z. B. untersuchen, ob größere Menschen tendenziell schwerer sind.
(W(s) W(t)) ∼N(0,Σ),
mehrdimensionale Verteilung
Verallgemeinerung auf mehr als zwei Zufallsvariablen.
Beispiel: Größe, Gewicht, Alter und Blutdruck → vierdimensionale Verteilung.
(W(t1),...,W(tn))′ ∼ N(0,σ2Σ)
Grenzfall von Irrfahrten
Der Wiener Prozess ist der Grenzwert einer symmetrischen, diskreten Irrfahrt mit immer kleineren und häufigeren Schritten, wobei die Varianz pro Zeiteinheit konstant bleibt.
Beispiel
Der Kurs schwankt rein zufällig (keine systematische Steigung oder Richtung).
Zu jedem Zeitpunkt kann er leicht steigen oder fallen.
Über kurze Zeiträume sind die Änderungen normalverteilt mit Mittelwert 0.
Die Kursbewegung ist stetig, aber unvorhersehbar.
Zuletzt geändertvor 16 Tagen
