Zahlen und Operationen

• Ordinal und Kardinal (und andere Zahl-)Aspekt von Zahlen kennen und verstehen

• Simultanerfassung von Mengen

• Zahlzerlegungen und Zahlbeziehungen kennen

• Stellenwertsystem kennen und nutzen

• Arithmetische Muster erkennen, beschreiben und selbstentwickeln

• Grundvorstellungen zu den vier Grundrechenarten aufbauen und diese Nutzen um Aufgaben zu lösen und zwischen Darstellungsebenen Wechseln zu können

• Startegien lernen wie, Umkehraufgaben, zerlegen, zusammensetzten, Hilfsaufgaben, Verändern und Tauschen

• Grundaufgaben des 1 plus 1 und 1 mal 1 sowie Zahlzerlegungen automatisiert abrufen können

• Ergebnisse durch schätzen einordnen

• Muster erkennen, beschrieben verändern und entwickeln.

• Sachaufgaben lösen, eigene erfinden, verschiedene miteinander vergleichen

• Zwischen der Sach- und Mathematikebene Übersetzten können.

• Mathematsiche Inhalte darstellen, material zeichnungen…

• Knobelaufgaben durch probieren lösen

• Stellenwert, verstehen, Nutzen und erklären können

• Zahlen bis 1.000.000 Darstellen, Sprechen, Lesen Schreiben

• Im Zahlenraum bis 1.000.000 sicher orientieren (Nachbarzahlen,..), Zahleigenschaften und Beziehungen erkennen

• Zusammenhänge der Operationen erkennen, Zwischen den Verschiedenen Darstellungsebenen übersetzen und mit Ihnen Rechnen.

• Startegien nutzen wie, Umkehraufgaben, zerlegen, zusammensetzten, Hilfsaufgaben, Verändern und Tauschen, halbschriftlich

• Re­chen­we­ge un­ter­su­chen, ver­glei­chen, beschreiben und be­wer­ten

• Fehler finden und Korrigieren

• Schriftliche Verfahren anwenden

• Plausabilität von Ergebnissen abschätzen können

• Muster erkenenen, beschreiben, fortsetzen, entwicklen, verändern

• Sachaufgaben strukturieren, variieren, lösen, selbst finden, erstellen,

• Ergebnisse schätzen und bedeutung des genauen Ergebnisses einordnen

• Hilfsmittel zur lösung nutzen, zb. Zeichnungen, Tabellen…

• Zwischen Darstellungen übersetzten

• Kombinatorik und Knobel Aufgaben lösen

=  die Übersetzungsleistung zwischen Zeichen und Beduetung

• Es gibt Grundvorstellungen zu Zahlen, Operationen und Strategien

• Man unterscheidet Normative  und Deskriptive Grundvorstellungen

• Normativ: Aus Sicht der Sache (wie es wirklich ist)

• Deskriptiv: Aus Sicht der Lernenden (Vorstellung einer Person zur Sache)

• Grundvorstellungen werden benötigt um Zwischen darstellungsebenen (Handlungen, Bildern, Reale Sizuationen, mathematische Symbole (geschrieben und gesprochen)) zu übersetzten

• Hierfür gibt es verschiedene Konzepte wie das Eis prinzip (Enaktiv(handelnd), ikonisch und Symbolisch) die diese Überstezung verdeutlichen

• Kardinalaspekt: Zahlen beschreiben die Mächtigkeit/ einer Menge

• Ordinalaspekt: Zahlen beschreiben die Position einer geordenet Reihe

• Maßzahlaspekt: Zahlen quantifizieren eine Größe mit hilf einer Einheit

• Operationsaskpekt: Zahlen bezeichnen die Vielfachheit eines Vorgangs

• Codierungsaspekt: Zahlen Kennzeichnen und Unterscheiden Dinge

• Rechenaspekt: Zahlen können zum Rechnen verwendet werden

• Geometrischer Aspekt: Zahlen können objekte beschreiben

• Narrativer Aspekt: Zahlen können Spirituelle Bedeutungen bekommen

• Relationaler Aspekt:

Kinder kennen Ziffern bevor sie sie schreiben können. Es muss nicht gewartet werden bis sie sie schreiben können um mit Ihnen zu arbieten.

• Eins-zu-Eins-Prinzip: Jeder gegenstand genau ein Zahlwort

• Kardinalprinzip: die zuletzt benutzte Zahl im Zählprozess gibt die Anzahl der Elemente an

• Prinzip der Stabilen reihenfolge: Zahlwörter haben eine feste Reihenfolge

• Prinzip der beliebigkeit der Abzählfolge: Menge ändert sich nicht egal mit welchem element begonnen wird

• Abstraktionsprinzip: Alle Elemente können zu Mengen zusammen gefasst werden

Am Schulbeginn können 77-90% der Kinder bis 20 Zählen. Aber nur 72% können von 9 weiter Zählen und nur 49-75% können eine Eins-zu-Eins zuordnung vornehmen beim Zählen.

• Es gibt drei Arten von Mengenwahrnehmung: Einzelne Elemente, als Ganzes oder in Teilstrukturen

• Zählstrategien können bei allen drei angewendet werden

• Nichtzählende (rechen-)Strategien bei Teilstrukturen ( Verdoppeln, Kraft der 5, Zusammenfügen zerlegen,….)

• Knownfacts bei der anzahl bestimmung als Ganzes

• Kinder fangen oft Zählend an und sollen durch gezielte eigene Erfahrungen mit dem Strukturieren lernen teilstrukturen zu erkennen und zur Anzahl bestimmung zu nutzen.

• Hierbei Spielt die Zahlzerlegung eine Große Rolle. Sie wird später zum rechenen gebrauchst. Lernen über das Wlan-Prinzip (Welche?, Lernen, Automatisieren, Nutzen)

• Verändern: Dynamisch, Darstellung mit einer Menge, etwas dazu oder weg Leicht: Ergebnis unbekannt Schwer: Veränderung o. Ausgangspunkt unbekannt

• Verbinden: Statisch, Darstellung mit einer Menge, Teilmengen werden verbunden Leicht: Vereinigung unbekannt Schwer: Teilmenge unbekannt

• Vergleichen: Statisch, Darstellung mit 2 Mengen, Mengen werden verglichen Generell schwieriges Aufgabenkonzept, besonders wenn Unterschied und Ausgangsgröße unbekannt sind

• Ausgleichen: Dynamisch, Darstellung mit 2 mengen etwas dazu oder weg Generell am einfachsten, werden am besten gelöst

Addition: Hinzufügen (dynamisch), Zusammenfassen (Statisch)

Subtraktion: Wegnehmen (dynamisch), Ergänzen (dynamisch), Teilmengenbestimmung (statisch), Unterschiedsbestimmung (statisch)

• Schrittweise (sequenziell), man braucht: Assoziativgesetzt, Zahlzerlegungen, Rolle der 10

• Hilfsaufgaben (sequenziell), man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, Stellenwertverständnis

• Verdoppeln/halbieren, man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, verd. Halb. aufgaben bis 20

• Gleich/-gegensinniges verändern, man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, Konstanz der Differenz

• Zerlegen, man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, Stellenwertverständnis

• Bündeln zur Einführung ins Stellenwertsystem

• Bündel im Positionssystem stellen

• Bedeutung der zahl null wird klar um leere Position zu kennzeichnen

• Arbeitsmittel: MSB, Stellenwerttafel

• Fehler verhindern durch sicheres Identifizieren der Stelle auf jeder Repräsentationsebene

• Wiederholte Addition

• Zeitlich-sukzessiver Aspekt (dynamisch): eine Handlung wird mehrmals wiederholt

• Räumlich-simultaner Aspekt (statisch): Zusammenfassen gleichmächtiger Mengen

• Kombinatorischer Aspekt: Alle möglichen Kombinationen zwischen den Elementen zweier mengen

• Verteilen: Anzahl der Bündel ist bekannt, Anzahl der Elemente in den Bündeln wird gesucht

• Aufteilen: Anzahl der Elemente in den Bündeln ist bekannt, Anzahl der Bündel wird gesucht.

• Mathematischer Aspekt: Die Multiplikation und die Division sind Umkehroperationen

• Didaktischer Aspekt: Zusammenhänge und Beziehungen sollen genutzt werden um Grundvorstellungen flexibel anwenden zu können

• Pragmatischer Aspekt: Schnelleres Automatisieren der Zahlentriplets

• Einer, Zweier, Fünfer, Zehner, und Quadratzahlen, (Lieblingsaufgaben)

• Tauschaufgaben

• Nachbaraufgaben

• Hilfsaufgaben

• Verdoppeln/halbieren

• Schriftlich

• Stellenweise (malkreuz)

• Schrittweise

• Hilfsaufgaben

• Gegenseitiges verändern

• Ikonisch

• Kann Kinder blind machen für andere Verfahren

• Insgesamt 5 Verfahren schriftlich zu Subtrahieren: Abziehen (a-b=x), Ergänzen (a+x=b), Entbündeln, Erweitern, Auffüllen

• Zählen vorwärts und rückwärts im Zahlenraum bis 20

• Zahlbilder und Simultanerfassung (z. B. Würfelbilder, Fingerbilder)

• Zahlen ordnen, Nachbarzahlen erkennen, Vorgänger und Nachfolger

• Zahlzerlegung bis 10 → spielerisch und mit Material

• Einführung in das Stellenwertsystem: Einer und Zehner (z. B. mit Zehnerstangen, Plättchen)

• Erste Zahlbeziehungen: größer/kleiner/gleich, gerade – ungerade

• Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 20 mit Handlung, Bild und Symbol

• Tausch- und Umkehraufgaben im ZR 10 verstehen

• Erste Rechenstrategien: Zerlegen, Verdoppeln, Nachbaraufgaben, Hilfsaufgaben

• Sachaufgaben verstehen, lösen und eigene Rechengeschichten erfinden

• Stellenwertverständnis: Einer, Zehner, Bündelung (auch Entbündeln)

• Plus und Minus im ZR 100 – halbschriftliche Verfahren erproben

• Einführung in das 1×1 (Multiplikation als wiederholte Addition)

• Einfache Division mit Material (Aufteilen/Verteilen)

• Strategien anwenden, vergleichen, beschreiben

• Rechengeschichten erfinden, Sachaufgaben lösen

• Erste Knobelaufgaben, Muster entdecken und selbst gestalten

• Stellenwertsystem erweitern: Hunderter, Tausender

• Zahldarstellungen: Stellenwerttafel, Zahlenstrahl, Zahldarstellungen

• Orientierung im ZR 1.000, Runden auf Zehner, Hunderter etc.

• Wiederholung & Sicherung des kleinen 1×1

• Aufbau der schriftlichen Addition und Subtraktion

• Multiplikation mit größeren Zahlen: Verdoppeln, Verteilen, Zerlegen

• Division mit Rest, einfache schriftliche Division

• Rechenstrategien vergleichen, begründen, bewerten

• Kommutativgesetz, Distributivgesetz verstehen und anwenden

• Sachaufgaben mit Tabellen, Diagrammen lösen und darstellen

• Stellenwertsystem bis 1.000.000

• Rechenoperationen im ZR 1.000.000: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division (auch schriftlich)

• Funktionale Zusammenhänge verstehen (z. B. Preis – Anzahl)

• Sachaufgaben systematisch lösen, Lösungsschritte dokumentieren

• Rechenoperationen kombinieren, gemischte Aufgabenformate

• Knobel- und kombinatorische Aufgaben (z. B. Möglichkeiten zählen)

• Umgang mit größeren Kontexten: Diagramme, Tabellen, Rechengeschichten

-   Simultanerfassung von Anzahlen bis 4/5 sowie strukturierte Erfassung größerer Anzahlen.

-   Lässt verschiedene Rechenwege zu.

-   Unterstützt den kommunikativen und argumentativen Austausch über verschiedene Lösungswege.

-   Fortsetzbarkeit bei der Zahlenraum Erweiterung.

-   Vermeidet zählendes Rechnen.

-   Merkmalsarm

-   Ikonisch darstellbar

+ Veranschaulichung von Zahlen und Relationen

+ Anschauliche Darstellung von Rechenoperationen (Addition & Subtraktion)

+ Förderung des Zahlverständnisses

+ Unendlichkeit und negative Zahlen können dargestellt werden

+ Einfache Erweiterung auf Brüche und Dezimalzahlen

- Begrenzte Anwendung bei großen Zahlen

- Eingeschränkte Darstellung von abstrakten Konzepten (Multiplikation & Division)

- Platzbedarf

- Mögliche Verwirrung durch Negativzahlen

- Abhängigkeit vom räumlichen Vorstellungsvermögen

- begünstigt zählendes Rechnen

+ Rechenwege darstellen / dokumentieren, auch in Teilschritten → sehr anschaulich

ordinale Zahlvorstellung

+ schrittweise rechnen über 10/100er… gut möglich, ebenso Verdoppeln/ Halbieren und Hilfsaufgabe

+ Unterstützt dynamisches Denken

+ Nutzen und Nachdenken über Zahlbeziehungen

+ Aufgaben im großen Zahlenraum lösen & Analogien erkennen (verschiedene Zahlenräume)

+bietet Möglichkeit zum selbständigen Strukturieren und Darstellen

+ geeignet als Argumentations- und Kommunikationsanlass und Reflexion über Rechenweg

+ Geringer Schreibaufwand

- Nur für Addition und Subtraktion sinnvoll

- Stellenweise Rechnen kann nicht dargestellt werden

- Orientierung schwierig: Links - rechts und größer kleiner

- Rechnen am Rechenstrich muss explizit geübt werden und ist nicht selbstverständlich

(keine maßgetreue Anordnung der Zahlen)

- Strategien: Ergänzen, gegen- und gleichsinniges Verändern weniger sinnvoll am Rechenstrich

- bei zu vielen kleinen Schritten/Pfeilen wird die Darstellung unübersichtlich

+ Im Zahlenraum von 20 bis 1000 sinnvoll

+ gut geeignet für die Erweiterung des Zahlenraumes

+ Gut handhabbar

+ Man kann bündeln und entbündeln

+ ermöglicht die quasi-simultane Zahlerfassung über 5 hinaus

+ ermöglicht auch die Arbeit auf der ikonischen Ebene

- 5er Strukturierung fehlt

- Darstellung der Multiplikation und Division teilweise eher umständlich, da die Dezimalstruktur aufgelöst werden muss

+ Darstellung als Menge

+ Teilmengenbildung

+ Zahlen zerlegen

+ Aufgabe als Handlung darstellen

- Größere Mengen können nicht mehr simultan/quasi-simultan erfasst werden

- Stufenweises Hinlegen und Abzählen

- Verfestigt zählendes Rechnen

- Unbrauchbar im ZR bis 100

+ Mengen abzählen

+ Muster legen

+ große Anzahlen ordnen

+ in Teilmengen bündeln

+ Multiplikationsaufgaben darstellen

+ Zahlen zerlegen

- keine direkte Struktur → muss erst erzeugt werden

- kann zählendes Rechnen begünstigen

- nicht zu viele Farben verwenden

+ wenn dann nur in kleinem Zahlenraum bis 10 sinnvoll

- Obere Kette keine Simultanerfassung von 5

- zählendes Rechnen verleitet

 - Erweiterung wird unübersichtlich

- Unhandlich

+ 5er 10er Struktur erkennbar

+ Malaufgaben sowie Divisionsaufgabe gut darstellbar

+ Tauschaufgabe der Multiplikation gut erkennbar

+ Hilfsaufgabe gut darstellbar bzw. erklärbar

- Nicht sinnvoll  bei Additions und Subtraktionsaufgaben (ZE+-ZE)

- Begrenzt Fortsetzbar

- Verwirrung durch Ähnlichkeit zu 100er Feld

+ im 100er Zahlenraum verwendbar

+ Über 4 Klassenstufen nutzbar

+ Kann einzelne Kugeln bewegen oder gebündelt

+ Kann Subtraktion und Addition darstellen

+ Kann Mengen teilen

+ Grundvorstellungen abziehen, ergänzen, hinzufügen, (zusammenfassen) darstellbar

+ Sieht 5 als Teilmenge

- Kann 10er Übergang nicht gut darstellen, unübersichtlich

- Grundvorstellung vergleichen nicht nachvollziehbar darstellbar

- Nicht gut um mit Zehnern zu rechnen zb 23+20 weil man da unnötiger weise die 20 in 7 und 13 aufteilen würde

+ Nutzung in allen Zahlbereichen möglich

+bündeln und entbündeln sehr gut darstellbar → wann Übertrag von Nöten ist,  ist gut erkennbar

+ Thematisierung einer leeren Spalte -→ "0"

+ Fördert das Verständnis für das Stellenwertsystem

+ Nutzung von Repräsentanten -→ Plättchen oder Ziffern

+ verständnisbasierte Notation notwendig -→ GV

! Unterscheidung Sortiertafel!

- Rechenoperationen nur schriftlich möglich

- Nur für Addition und Subtraktion nützlich

+ hilfreich für strukturierte Mengenerfassung

+ Schnell einstellbar, keine Einzelteile gehen verloren

+ 5er- & 10er-Struktur

+ Im 100er- Zahlenraum verwendbar

+ Zahlzerlegung darstellbar

+ Addition und Subtraktion darstellbar → erlaubt Handlungen, die operative Strategien des Rechnens im Zahlenraum bis 20 bzw. 100 entwickeln

+ quasi-simultane Zahlauffassungen und -darstellungen bis 20 bzw. 100 möglich

+ strukturgleiche Fortsetzung des Materials für das Rechnen im Zahlenraum bis 100 möglich

- Kugeln können nicht entfernt werden und somit immer sichtbar → verwirrend für Mengenerfassung

- Anschaffung als Klassensatz kostspielig - nicht in jeder Schule verfügbar

+ Kraft der 5 (bei streifen mit Markierung)

+ fördert simultan Erfassung

+ fördert das strukturierte Zählen

- Tauschaufgaben können zwar dargestellt werden aber dabei geht die kraft der 5 oft verloren.

- begrenzter Zahlenraum

+ fördert die Zahlzerlegung bis 10

+ motivierend durch spiel Charakter

+ leicht selbst herzustellen

- nicht tragbar über 10

- keine gezielte Zerlegung möglich

+ Hilft ein Operationsverständnis für das stellenweise rechnen aufzubauen

+ klare strukturierte form

- lässt nur eine Strategie zu

- nur schriftlich

+ Zahlen können als länge erlebt werden

+ Additionen lassen sich darstellen

- Farbcodierung nicht sinnvoll. Zahlen haben keine Farben à sehr schlecht für Synestetiker

- Additionsaufgaben ergeben mit den Farben keinen sinn

1.      Phase: Handlung am geeigneten Material mit Versprachlichung.

2.      Phase: Beschreiben der Materialhandlung mit Sicht auf Material.

3.      Phase: Beschreiben der Materialhandlung ohne Sicht auf Material.

4.      Phase: Beschreibung/Nutzung der Vorgestellten Handlung

Welche typischen Denkweisen oder Fehler treten auf?

-   Kein Zahlverständnis

-   Zahlzerlegungen nicht bekannt oder nur auf eine bestimmte fokussiert

-   Verfestigtes Zählendes Rechnen

-   Fehlendes Stellenwertverständnis

-   Grundvorstellungsdefizite

Wie kann man produktiv damit umgehen?

-   Durch aktive Handlungen am material fehlende bzw. fehlerhafte Grundvorstellungen neu aufbauen

-   Handlungen sprachlich begleiten und so die mentale Verknüpfung fördern.

-   Strategien verstehen und dann bewusst einsetzten

-   Langsame Ablösung vom Material. Erst wenn mentales Bild gefestigt ist