Zahlen und Operationen

• Ordinal und Kardinal (und andere Zahl-)Aspekt von Zahlen kennen und verstehen

• Simultanerfassung von Mengen

• Zahlzerlegungen und Zahlbeziehungen kennen

• Stellenwertsystem kennen und nutzen

• Arithmetische Muster erkennen, beschreiben und selbstentwickeln

• Grundvorstellungen zu den vier Grundrechenarten aufbauen und diese Nutzen um Aufgaben zu lösen und zwischen Darstellungsebenen Wechseln zu können

• Startegien lernen wie, Umkehraufgaben, zerlegen, zusammensetzten, Hilfsaufgaben, Verändern und Tauschen

• Grundaufgaben des 1 plus 1 und 1 mal 1 sowie Zahlzerlegungen automatisiert abrufen können

• Ergebnisse durch schätzen einordnen

• Muster erkennen, beschrieben verändern und entwickeln.

• Sachaufgaben lösen, eigene erfinden, verschiedene miteinander vergleichen

• Zwischen der Sach- und Mathematikebene Übersetzten können.

• Mathematsiche Inhalte darstellen, material zeichnungen…

• Knobelaufgaben durch probieren lösen

• Stellenwert, verstehen, Nutzen und erklären können

• Zahlen bis 1.000.000 Darstellen, Sprechen, Lesen Schreiben

• Im Zahlenraum bis 1.000.000 sicher orientieren (Nachbarzahlen,..), Zahleigenschaften und Beziehungen erkennen

• Zusammenhänge der Operationen erkennen, Zwischen den Verschiedenen Darstellungsebenen übersetzen und mit Ihnen Rechnen.

• Startegien nutzen wie, Umkehraufgaben, zerlegen, zusammensetzten, Hilfsaufgaben, Verändern und Tauschen, halbschriftlich

• Re­chen­we­ge un­ter­su­chen, ver­glei­chen, beschreiben und be­wer­ten

• Fehler finden und Korrigieren

• Schriftliche Verfahren anwenden

• Plausabilität von Ergebnissen abschätzen können

• Muster erkenenen, beschreiben, fortsetzen, entwicklen, verändern

• Sachaufgaben strukturieren, variieren, lösen, selbst finden, erstellen,

• Ergebnisse schätzen und bedeutung des genauen Ergebnisses einordnen

• Hilfsmittel zur lösung nutzen, zb. Zeichnungen, Tabellen…

• Zwischen Darstellungen übersetzten

• Kombinatorik und Knobel Aufgaben lösen

=  die Übersetzungsleistung zwischen Zeichen und Beduetung

• Es gibt Grundvorstellungen zu Zahlen, Operationen und Strategien

• Man unterscheidet Normative  und Deskriptive Grundvorstellungen

• Normativ: Aus Sicht der Sache (wie es wirklich ist)

• Deskriptiv: Aus Sicht der Lernenden (Vorstellung einer Person zur Sache)

• Grundvorstellungen werden benötigt um Zwischen darstellungsebenen (Handlungen, Bildern, Reale Sizuationen, mathematische Symbole (geschrieben und gesprochen)) zu übersetzten

• Hierfür gibt es verschiedene Konzepte wie das Eis prinzip (Enaktiv(handelnd), ikonisch und Symbolisch) die diese Überstezung verdeutlichen

• Kardinalaspekt: Zahlen beschreiben die Mächtigkeit/ einer Menge

• Ordinalaspekt: Zahlen beschreiben die Position einer geordenet Reihe

• Maßzahlaspekt: Zahlen quantifizieren eine Größe mit hilf einer Einheit

• Operationsaskpekt: Zahlen bezeichnen die Vielfachheit eines Vorgangs

• Codierungsaspekt: Zahlen Kennzeichnen und Unterscheiden Dinge

• Rechenaspekt: Zahlen können zum Rechnen verwendet werden

• Geometrischer Aspekt: Zahlen können objekte beschreiben

• Narrativer Aspekt: Zahlen können Spirituelle Bedeutungen bekommen

• Relationaler Aspekt:

Kinder kennen Ziffern bevor sie sie schreiben können. Es muss nicht gewartet werden bis sie sie schreiben können um mit Ihnen zu arbieten.

• Eins-zu-Eins-Prinzip: Jeder gegenstand genau ein Zahlwort

• Kardinalprinzip: die zuletzt benutzte Zahl im Zählprozess gibt die Anzahl der Elemente an

• Prinzip der Stabilen reihenfolge: Zahlwörter haben eine feste Reihenfolge

• Prinzip der beliebigkeit der Abzählfolge: Menge ändert sich nicht egal mit welchem element begonnen wird

• Abstraktionsprinzip: Alle Elemente können zu Mengen zusammen gefasst werden

Am Schulbeginn können 77-90% der Kinder bis 20 Zählen. Aber nur 72% können von 9 weiter Zählen und nur 49-75% können eine Eins-zu-Eins zuordnung vornehmen beim Zählen.

• Es gibt drei Arten von Mengenwahrnehmung: Einzelne Elemente, als Ganzes oder in Teilstrukturen

• Zählstrategien können bei allen drei angewendet werden

• Nichtzählende (rechen-)Strategien bei Teilstrukturen ( Verdoppeln, Kraft der 5, Zusammenfügen zerlegen,….)

• Knownfacts bei der anzahl bestimmung als Ganzes

• Kinder fangen oft Zählend an und sollen durch gezielte eigene Erfahrungen mit dem Strukturieren lernen teilstrukturen zu erkennen und zur Anzahl bestimmung zu nutzen.

• Hierbei Spielt die Zahlzerlegung eine Große Rolle. Sie wird später zum rechenen gebrauchst. Lernen über das Wlan-Prinzip (Welche?, Lernen, Automatisieren, Nutzen)

• Verändern: Dynamisch, Darstellung mit einer Menge, etwas dazu oder weg Leicht: Ergebnis unbekannt Schwer: Veränderung o. Ausgangspunkt unbekannt

• Verbinden: Statisch, Darstellung mit einer Menge, Teilmengen werden verbunden Leicht: Vereinigung unbekannt Schwer: Teilmenge unbekannt

• Vergleichen: Statisch, Darstellung mit 2 Mengen, Mengen werden verglichen Generell schwieriges Aufgabenkonzept, besonders wenn Unterschied und Ausgangsgröße unbekannt sind

• Ausgleichen: Dynamisch, Darstellung mit 2 mengen etwas dazu oder weg Generell am einfachsten, werden am besten gelöst

Addition: Hinzufügen (dynamisch), Zusammenfassen (Statisch)

Subtraktion: Wegnehmen (dynamisch), Ergänzen (dynamisch), Teilmengenbestimmung (statisch), Unterschiedsbestimmung (statisch)

• Schrittweise (sequenziell), man braucht: Assoziativgesetzt, Zahlzerlegungen, Rolle der 10

• Hilfsaufgaben (sequenziell), man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, Stellenwertverständnis

• Verdoppeln/halbieren, man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, verd. Halb. aufgaben bis 20

• Gleich/-gegensinniges verändern, man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, Konstanz der Differenz

• Zerlegen, man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, Stellenwertverständnis

• Bündeln zur Einführung ins Stellenwertsystem

• Bündel im Positionssystem stellen

• Bedeutung der zahl null wird klar um leere Position zu kennzeichnen

• Arbeitsmittel: MSB, Stellenwerttafel

• Fehler verhindern durch sicheres Identifizieren der Stelle auf jeder Repräsentationsebene

• Wiederholte Addition

• Zeitlich-sukzessiver Aspekt (dynamisch): eine Handlung wird mehrmals wiederholt

• Räumlich-simultaner Aspekt (statisch): Zusammenfassen gleichmächtiger Mengen

• Kombinatorischer Aspekt: Alle möglichen Kombinationen zwischen den Elementen zweier mengen

• Verteilen: Anzahl der Bündel ist bekannt, Anzahl der Elemente in den Bündeln wird gesucht

• Aufteilen: Anzahl der Elemente in den Bündeln ist bekannt, Anzahl der Bündel wird gesucht.

• Mathematischer Aspekt: Die Multiplikation und die Division sind Umkehroperationen

• Didaktischer Aspekt: Zusammenhänge und Beziehungen sollen genutzt werden um Grundvorstellungen flexibel anwenden zu können

• Pragmatischer Aspekt: Schnelleres Automatisieren der Zahlentriplets

• Einer, Zweier, Fünfer, Zehner, und Quadratzahlen, (Lieblingsaufgaben)

• Tauschaufgaben

• Nachbaraufgaben

• Hilfsaufgaben

• Verdoppeln/halbieren

• Schriftlich

• Stellenweise (malkreuz)

• Schrittweise

• Hilfsaufgaben

• Gegenseitiges verändern

• Ikonisch

• Kann Kinder blind machen für andere Verfahren

• Insgesamt 5 Verfahren schriftlich zu Subtrahieren: Abziehen (a-b=x), Ergänzen (a+x=b), Entbündeln, Erweitern, Auffüllen

-          Woche 1-3: Vorerfahrungen sammeln, wo begenen uns Zahlen, Zahlen in verschiedenen Kontexten

-          Woche 4-7: Mengen erfassen, Strukturieren, Anzahlbestimmung, Zählstrategien für flexibles Zählen, Anzahlen auf verschiedenen weißen Dartsellen

-          Woche 8-11: Zahlen ordnen, Vorgänger, Nachfolger, liegt nahe bei,…,Zahlzerlegungen, die Hälfte das Doppelte, Dezimalsystem nutzen, Zehner und Einer Bündeln/entbündeln

-          Woche 12-20: Addition und Subtraktion einführen, Rechenwege beschreiben und vergleichen, Üben, Sachaufgaben

-          Woche 23-27: Aufgaben hinsichtlich ihrer Struktur untersuchen, Strategien entwickeln, Knobelaufgaben lösen, In Kontexten rechen

-          Woche 1-10: Isst stand ermitteln, Knobelaufgaben durch probieren, Zahlenraum 100, Zahlen darstellen, sprechen, lesen, schreiben, bündeln, entbündeln, ordnen, Strategien anwenden (zerlegen, Analogien…)

-          Woche 11-14: Multiplikation einführen, Kernaufgaben, andere Aufgaben daraus ableiten, Rechenwege beschreiben, einfache kombinatorische Aufgaben

-          Woche 15-18: Division einführen, Zusammenhang Multiplikation, Rechenwege beschreiben, einfache kombinatorische Aufgaben

-          Woche 19-27: Aufgaben mit verschiedenen/sinnvollen Strategien lösen, Sachaufgaben zu Größen und Messen.

-          Woche 1-11: Isst stand ermitteln, Kernaufgaben mal, Zusammenhang Multi und Divi, Knobelaufgaben durch probieren, Strategien anwenden (zerlegen, Analogien…), Zahlenraum 1000 , Zahlen darstellen, sprechen, lesen, schreiben, bündeln, entbündeln, ordnen, flexibel rechnen,

-          Woche 12-15: Sachrechnen, Knobelaufgaben, Strategien zum Problemlösen

-          Woche 16-22: Geschiktes rechnen, hinführung schriftliche addition und subtraktion, Handlung am Material, Üben, Sprechweise und Notation

-          Woche 23-27: eigene Rechengeschichten erfinden, Sachsituationen entdecken, Lösungswege darstellen, Kombinatorische aufgaben zeichnerisch oder rechnerisch lösen

• -          Woche 1-10: Isst stand ermitteln, Knobelaufgaben durch probieren, Strategien anwenden (zerlegen, Analogien…), Zahlenraum 1000000 , Zahlen darstellen, sprechen, lesen, schreiben, bündeln, entbündeln, ordnen, flexibel rechnen, Sachaufgabenlösen

  -          Woche 11-18: Multiplikation auf verschiedenen Ebenen darstellen, lösen, Strategien anwenden, Rechenwege beschreiben, untersuchen, vergleichen, bewerten, fehlerfinden, Schriftliches verfahren lernen, in Kontexten rechnen

  -          Woche 19- 27: Division auf verschiedenen Ebenen darstellen, lösen, Strategien anwenden, Rechenwege beschreiben, untersuchen, vergleichen, bewerten, fehlerfinden, Schriftliches verfahren lernen,  Division mit Rest, Sprechweise parallel zur Notation einführen in Kontexten rechnen

-   Simultanerfassung von Anzahlen bis 4/5 sowie strukturierte Erfassung größerer Anzahlen.

-   Lässt verschiedene Rechenwege zu.

-   Unterstützt den kommunikativen und argumentativen Austausch über verschiedene Lösungswege.

-   Fortsetzbarkeit bei der Zahlenraum Erweiterung.

-   Vermeidet zählendes Rechnen.

-   Merkmalsarm

-   Ikonisch darstellbar

+ Veranschaulichung von Zahlen und Relationen

+ Anschauliche Darstellung von Rechenoperationen (Addition & Subtraktion)

+ Förderung des Zahlverständnisses

+ Unendlichkeit und negative Zahlen können dargestellt werden

+ Einfache Erweiterung auf Brüche und Dezimalzahlen

- Begrenzte Anwendung bei großen Zahlen

- Eingeschränkte Darstellung von abstrakten Konzepten (Multiplikation & Division)

- Platzbedarf

- Mögliche Verwirrung durch Negativzahlen

- Abhängigkeit vom räumlichen Vorstellungsvermögen

- begünstigt zählendes Rechnen

+ Rechenwege darstellen / dokumentieren, auch in Teilschritten → sehr anschaulich

ordinale Zahlvorstellung

+ schrittweise rechnen über 10/100er… gut möglich, ebenso Verdoppeln/ Halbieren und Hilfsaufgabe

+ Unterstützt dynamisches Denken

+ Nutzen und Nachdenken über Zahlbeziehungen

+ Aufgaben im großen Zahlenraum lösen & Analogien erkennen (verschiedene Zahlenräume)

+bietet Möglichkeit zum selbständigen Strukturieren und Darstellen

+ geeignet als Argumentations- und Kommunikationsanlass und Reflexion über Rechenweg

+ Geringer Schreibaufwand

- Nur für Addition und Subtraktion sinnvoll

- Stellenweise Rechnen kann nicht dargestellt werden

- Orientierung schwierig: Links - rechts und größer kleiner

- Rechnen am Rechenstrich muss explizit geübt werden und ist nicht selbstverständlich

(keine maßgetreue Anordnung der Zahlen)

- Strategien: Ergänzen, gegen- und gleichsinniges Verändern weniger sinnvoll am Rechenstrich

- bei zu vielen kleinen Schritten/Pfeilen wird die Darstellung unübersichtlich

+ Im Zahlenraum von 20 bis 1000 sinnvoll

+ gut geeignet für die Erweiterung des Zahlenraumes

+ Gut handhabbar

+ Man kann bündeln und entbündeln

+ ermöglicht die quasi-simultane Zahlerfassung über 5 hinaus

+ ermöglicht auch die Arbeit auf der ikonischen Ebene

- 5er Strukturierung fehlt

- Darstellung der Multiplikation und Division teilweise eher umständlich, da die Dezimalstruktur aufgelöst werden muss

+ Darstellung als Menge

+ Teilmengenbildung

+ Zahlen zerlegen

+ Aufgabe als Handlung darstellen

- Größere Mengen können nicht mehr simultan/quasi-simultan erfasst werden

- Stufenweises Hinlegen und Abzählen

- Verfestigt zählendes Rechnen

- Unbrauchbar im ZR bis 100

+ Mengen abzählen

+ Muster legen

+ große Anzahlen ordnen

+ in Teilmengen bündeln

+ Multiplikationsaufgaben darstellen

+ Zahlen zerlegen

- keine direkte Struktur → muss erst erzeugt werden

- kann zählendes Rechnen begünstigen

- nicht zu viele Farben verwenden

+ wenn dann nur in kleinem Zahlenraum bis 10 sinnvoll

- Obere Kette keine Simultanerfassung von 5

- zählendes Rechnen verleitet

 - Erweiterung wird unübersichtlich

- Unhandlich

+ 5er 10er Struktur erkennbar

+ Malaufgaben sowie Divisionsaufgabe gut darstellbar

+ Tauschaufgabe der Multiplikation gut erkennbar

+ Hilfsaufgabe gut darstellbar bzw. erklärbar

- Nicht sinnvoll  bei Additions und Subtraktionsaufgaben (ZE+-ZE)

- Begrenzt Fortsetzbar

- Verwirrung durch Ähnlichkeit zu 100er Feld

+ im 100er Zahlenraum verwendbar

+ Über 4 Klassenstufen nutzbar

+ Kann einzelne Kugeln bewegen oder gebündelt

+ Kann Subtraktion und Addition darstellen

+ Kann Mengen teilen

+ Grundvorstellungen abziehen, ergänzen, hinzufügen, (zusammenfassen) darstellbar

+ Sieht 5 als Teilmenge

- Kann 10er Übergang nicht gut darstellen, unübersichtlich

- Grundvorstellung vergleichen nicht nachvollziehbar darstellbar

- Nicht gut um mit Zehnern zu rechnen zb 23+20 weil man da unnötiger weise die 20 in 7 und 13 aufteilen würde

+ Nutzung in allen Zahlbereichen möglich

+bündeln und entbündeln sehr gut darstellbar → wann Übertrag von Nöten ist,  ist gut erkennbar

+ Thematisierung einer leeren Spalte -→ "0"

+ Fördert das Verständnis für das Stellenwertsystem

+ Nutzung von Repräsentanten -→ Plättchen oder Ziffern

+ verständnisbasierte Notation notwendig -→ GV

! Unterscheidung Sortiertafel!

- Rechenoperationen nur schriftlich möglich

- Nur für Addition und Subtraktion nützlich

+ hilfreich für strukturierte Mengenerfassung

+ Schnell einstellbar, keine Einzelteile gehen verloren

+ 5er- & 10er-Struktur

+ Im 100er- Zahlenraum verwendbar

+ Zahlzerlegung darstellbar

+ Addition und Subtraktion darstellbar → erlaubt Handlungen, die operative Strategien des Rechnens im Zahlenraum bis 20 bzw. 100 entwickeln

+ quasi-simultane Zahlauffassungen und -darstellungen bis 20 bzw. 100 möglich

+ strukturgleiche Fortsetzung des Materials für das Rechnen im Zahlenraum bis 100 möglich

- Kugeln können nicht entfernt werden und somit immer sichtbar → verwirrend für Mengenerfassung

- Anschaffung als Klassensatz kostspielig - nicht in jeder Schule verfügbar

+ Kraft der 5 (bei streifen mit Markierung)

+ fördert simultan Erfassung

+ fördert das strukturierte Zählen

- Tauschaufgaben können zwar dargestellt werden aber dabei geht die kraft der 5 oft verloren.

- begrenzter Zahlenraum

+ fördert die Zahlzerlegung bis 10

+ motivierend durch spiel Charakter

+ leicht selbst herzustellen

- nicht tragbar über 10

- keine gezielte Zerlegung möglich

+ Hilft ein Operationsverständnis für das stellenweise rechnen aufzubauen

+ klare strukturierte form

- lässt nur eine Strategie zu

- nur schriftlich

+ Zahlen können als länge erlebt werden

+ Additionen lassen sich darstellen

- Farbcodierung nicht sinnvoll. Zahlen haben keine Farben à sehr schlecht für Synestetiker

- Additionsaufgaben ergeben mit den Farben keinen sinn

1.      Phase: Handlung am geeigneten Material mit Versprachlichung.

2.      Phase: Beschreiben der Materialhandlung mit Sicht auf Material.

3.      Phase: Beschreiben der Materialhandlung ohne Sicht auf Material.

4.      Phase: Beschreibung/Nutzung der Vorgestellten Handlung

Welche typischen Denkweisen oder Fehler treten auf?

-   Kein Zahlverständnis

-   Zahlzerlegungen nicht bekannt oder nur auf eine bestimmte fokussiert

-   Verfestigtes Zählendes Rechnen

-   Fehlendes Stellenwertverständnis

-   Grundvorstellungsdefizite

Wie kann man produktiv damit umgehen?

-   Durch aktive Handlungen am material fehlende bzw. fehlerhafte Grundvorstellungen neu aufbauen

-   Handlungen sprachlich begleiten und so die mentale Verknüpfung fördern.

-   Strategien verstehen und dann bewusst einsetzten

-   Langsame Ablösung vom Material. Erst wenn mentales Bild gefestigt ist

Zehnerstreifen:

• + gute mengen wahrnehmung

• + fortführbar

• + Zahldarstellungen gut veranschaulicht

• + addtion und subtraktion gut

• - fünfer struktur kann manchmal verloren gehen

Zehnerfeld:

• + Zahlzerlegung darstellen

• - nicht weiterführbar

• - man arbeitet mit lücken

• + überführung in zehnerstreifen

• kann man bei allen grundrechenarten verwenden

• fortführbar im großen zahlenraum

• Zahlvorstellungen werden geschuld —> Klasseninklusion

• Stellenwertsystem kann genutzt werden

• Teilweise grundlagen für schriftliche rechenverfahren

man braucht

• distributivgesetzt (klasseninklusion)

• Zahlenblick

• Zahlzerlegungen

• Stellenwertverständniss

Einführung:

• plättchen werfen wie vile blau wie viele rot (W)

• Einsortieren in leeres Zehnerfeld, Zahlenhäuser (L)

• Blitzblcik, produktivüben (A)

• Zalzerlegungen in operativen aufgaben nutzten (N)

• Diemes material. Bündeln von hunderterplatten zum tausender würfel.

• Sortiertafel einstieg übergnag stellenwerttafel.

• Zahlenstrahl orientierung

• Sprechweise im zahlen raum bis 1000

• Diemes materiual zeigt die stellenwert bündelungne gut.

• bündeln ist sehr anschaulich.

• man muss halt die größere einhiet zunächst durch eine kleinere erstezten um sinnvoll zu entbündeln

6 seiten a 100

• am anfang bei der einführung unstrukturiertes material —> bündeln einführen, simultane und qausisimultane zahlerfassung

• übergrnag zum strukturierten matierail

• löst zählen ab

• hilft beim rechnen

• strategien darstellen

• 
  

Hinzufügen, Zusammenfassen, Vergleichen

sollte zwischen den verschiedenen Darstellungsebenenen wechselseitig übersetzen können, Aufgaben adequate Strategien nutzen. Zahlzerlegungen.

Mit Pfeilen. Zahlenstrahl kann auch unbeschriftet als Rechenstrich genutzt werden. Zahlenstrahl parktisch, da fortsetzbar auch im großen Zahlenraum

• multiplikation als wiederholte addition

• verschiende operationsvorstellungen kennen, verstehen

• kernaufgaben automaatisiert

• rest aufgaben daraus ableiten

• flexibel rechnstrategien nutzen

• über 5x8= 40 + 6= 46

• 10x6 - 2x6

• 6x6 + 2x6

4x14

• 20x50= 1000 -49 - 19 ach kp

• 
  

aufteilen: auf jeden teller sollen 3 wende plättchen ich hab 9 wie viele teller bruache ich

verteilen: ich hab eß plättchen und 3 teller wie viele bekomtm jeder?