CAD

Computer Aided x – „x“ steht für verschiedene computerunterstützte Bereiche wie Design, Engineering, Manufacturing usw.

• CAD (Design)

• CAE (Engineering/Simulation)

• CAM (Fertigung)

• CAPP (Prozessplanung)

• CAQ (Qualitätssicherung)

• PDM/PLM (Daten-/Lebenszyklusmanagement)

• CAD: Konstruktion

• CAE: Simulation

• CAM: Fertigung Ergänzend: CAPP, CAQ, PDM/PLM

Ein Bauteil wird in CAD entworfen, mit CAE analysiert (z. B. auf Festigkeit), und mit CAM zur Fertigung vorbereitet.

1. FEM (Strukturmechanik)

2. CFD (Strömungssimulation)

3. MKS (Bewegungssimulation)

Die Digitalisierung und leistungsfähige Computertechnologie (Rechenleistung, Speicher, Softwareintegration).

Bei einem Brückenträger berechnet FEM z. B.:

• Spannungen

• Dehnungen

• Verformungen

• Eigenfrequenzen

1. Schnellere Entwicklung

2. Geringere Kosten

3. Frühzeitige Fehlererkennung

4. Bessere Produktqualität

5. Virtuelle Tests

• Automobilbau (z. B. Crashtestsimulation)

• Luftfahrt (Strömungssimulation)

• Maschinenbau (Fertigung komplexer Teile)

• Medizintechnik (Implantatdesign)

Falsche Einheiten führen zu Rechenfehlern oder unrealistischen Ergebnissen – z. B. bei Kraft (N vs. kN), Temperatur (K vs. °C), etc. Einheitensysteme müssen konsistent sein.

1. Zeitunabhängige Vorgänge: 3 Basiseinheiten → Masse (kg), Länge (m), Zeit (s) Aber Zeit spielt keine aktive Rolle, also reichen: ✅ 2 Einheiten: kg und m

2. Zeitabhängige Vorgänge (z. B. Dynamik): ✅ 3 Einheiten notwendig: kg, m, s

1. Physikalische Modellbildung

2. Geometrische Modellbildung

3. Mathematische Modellbildung

1. Auswahl relevanter physikalischer Effekte (z. B. Mechanik, Wärme)

2. Festlegen von Randbedingungen und Materialeigenschaften

3. Definition des Systemverhaltens

1. Mechanik (Statik, Dynamik)

2. Thermodynamik

3. Strömungsmechanik

4. Elektrotechnik (teilweise)

So genau wie nötig, aber so einfach wie möglich. Ziel: relevante Effekte erfassen, ohne unnötige Komplexität.

• Detaillierung der Geometrie: CAD erzeugt komplexe, genaue Geometrien → Vereinfachung nötig für CAE Beispiel: Kleine Radien oder Bohrungen werden oft entfernt, da sie Simulationsergebnisse nur gering beeinflussen, aber Rechenaufwand erhöhen.

Diskretisierung (z. B. FEM-Netz) verbindet die geometrische mit der physikalischen Modellbildung.→ Relevante Bereiche werden feinmaschiger unterteilt, unwichtige gröber.

1. Eigenschwingungen: können beeinflusst werden (Masse- und Steifigkeitsverteilung)

2. Globale Deformationen: meist geringer Einfluss

3. Spannungen: hoher lokaler Einfluss → Spannungsspitzen

4. Elasto-plastische Deformationen: wichtige Stellen für plastische Zonen

5. Strömung: starke Beeinflussung durch kleine Kanten oder Verengungen

6. Wärmeleitung: Einfluss bei Materialübergängen oder kleinen Querschnitten

• Formulierung der physikalischen Vorgänge in Gleichungen → Führt zu Differentialgleichungen, die numerisch lösbar sind

• Algebraische Gleichungen

• Ordnungsgemäße Differentialgleichungen (ODEs)

• Partielle Differentialgleichungen (PDEs)

1. FEM für PDEs (z. B. Spannungen)

2. CFD für Strömung (Navier-Stokes-Gleichungen)

3. MKS für Bewegungsgleichungen

4. Lösungsverfahren: Diskretisierung (z. B. Finite Elemente), Zeitintegration, Iterationsmethoden

1. Geometrie und Randbedingungen

2. Materialeigenschaften

3. Netz (Diskretisierung)

4. Lösungsparameter (z. B. Zeitschritte, Solver)

CSG (Constructive Solid Geometry):Modelle werden durch Kombination einfacher Grundkörper (Würfel, Zylinder) mittels boolescher Operationen (Vereinigung, Schnitt, Differenz) erzeugt.

B-Rep (Boundary Representation):Modell beschreibt nur die Oberflächen (Flächen, Kanten, Punkte) eines Körpers, nicht das Volumen.

1. PDM: Product Data Management (Produktdatenverwaltung)

2. SDM: Software Development Management (Software-Entwicklungsmanagement)

3. CAGD: Computer Aided Geometric Design (Geometrisches CAD)

Grad = n - 1

1. Bezier-Kurven haben fixen Polynomgrad = n - 1 (abhängig von Kontrollpunkten)

2. B-Splines bestehen aus stufigen niedriggradigen Polynomen (meist Grad 3), die stückweise zusammengesetzt sind → bessere Flexibilität und lokale Kontrolle

Non-Uniform Rational B-Splines→ Erweiterung von B-Splines mit rationalen Funktionen zur genauen Darstellung von Kreisen, Ellipsen, etc.

1. Punkt

2. Gerade

3. Kreis

4. Ellipse

Parametrische Form (x(t), y(t), z(t)) – ermöglicht flexible und genaue Darstellung

1. Neigen zu Oszillationen (Runge-Phänomen)

2. Schlechte lokale Kontrollierbarkeit

3. Hoher Rechenaufwand bei vielen Punkten

• Lineare Interpolation zwischen Punkten P0, P1, P2 → Zwischenpunkte Q0, Q1

• Interpolation zwischen Q0 und Q1 → Punkt B(t) auf Kurve (Skizze: Punkte und Linienschritte zeigen)

Bernstein-Polynome

• Tangentenvektor am Start entspricht Richtung P1 - P0

• Tangentenvektor am Ende entspricht Richtung Pn - P(n-1) → Kurve startet und endet in Richtung der ersten bzw. letzten Kontrollkante

1. Aufteilung der Kurve in Segmente

2. Jedes Segment als Bezier-Kurve zwischen zwei Punkten definiert

3. Sicherstellung von Tangentenstetigkeit an den Segmentgrenzen

• Baue z.B. einen Hohlzylinder aus einem Zylinder minus einem kleineren Zylinder (Bohrung) durch boolesche Differenz.

• Volumenkörper entstehen durch Kombination einfacher Formen.

1. Rechenaufwand: Kleine Flächenelemente erhöhen die Anzahl der Elemente stark → längere Rechenzeiten.

2. Numerische Stabilität: Sehr kleine Elemente können zu Ungenauigkeiten oder Instabilitäten in der Simulation führen.

3. Netzqualität: Ungleichmäßig kleine oder verzerrte Elemente verschlechtern die Genauigkeit.

4. Modellvereinfachung: Kleine, unwichtige Details sollten ggf. vereinfacht oder entfernt werden, um die Berechnung effizient zu halten.

1. Prinzip: Ein zweidimensionales Gebiet wird rekursiv in vier gleich große Quadrate unterteilt.

2. Vorgehen:

   1. Beginne mit dem Gesamtquadrat.

   2. Prüfe, ob das Quadrat homogen (z. B. frei oder besetzt) ist.

   3. Wenn nicht, teile es in 4 kleinere Quadrate auf.

   4. Wiederhole das für jedes Teilquadrat, bis eine Abbruchbedingung erreicht ist (z. B. Mindestgröße oder Homogenität).

3. Nutzen: Adaptive Unterteilung, spart Rechenzeit, feinere Auflösung nur dort, wo nötig.

1. Beginnt mit einer großen Dreieckstesselierung über alle Punkte.

2. Fügt Punkte nacheinander ein und passt das Netz durch Kantenflips an, um die Delaunay-Bedingung (kein Punkt liegt im Umkreis eines Dreiecks) zu erfüllen.

3. Ergebnis ist eine Delaunay-Triangulation.

• Vernetzung eines Punktesets zu Dreiecken, so dass der Umkreis jedes Dreiecks keine weiteren Punkte enthält.

• Sorgt für möglichst „runde“ Dreiecke und vermeidet dünne, spitze Dreiecke.

1. Start an der Randkontur (Front).

2. Schrittweise Erzeugung neuer Dreiecke „vorwärts“ von der Front, indem Punkte verbunden und die Front aktualisiert werden.

3. Fortsetzung, bis das gesamte Gebiet vernetzt ist.

• Dreiecke und Vierecke werden kombiniert und Dreiecke so geteilt oder benachbarte Dreiecke zu Vierecken zusammengefasst, um ein Netz aus nur Vierecken zu erhalten.

• Bessere Genauigkeit bei gleicher Elementzahl.

• Können gekrümmte Geometrien und komplexere Verformungen besser darstellen.

• Reduzieren den Bedarf an sehr feinen Netzen.

• 8 Knoten: 4 Eckpunkte + 4 Mittelkantenpunkte

1. 4 Eckknoten

2. 4 Kantenmittenknoten

3. 1 Mittelpunktknoten (im Inneren des Elements)

1. Sie passen flexibel auf komplexe, unregelmäßige Geometrien und lassen sich leicht vernetzen.

2. Vierecke sind oft schwieriger in komplizierten Bereichen einzusetzen.

1. Serendipity-Element: Q12 (12 Knoten)

2. Lagrange-Element: Q16 (16 Knoten)

8 Ansatzfunktionen, je eine pro Knoten

• Ansatzfunktion i ist 1 am zugehörigen Knoten i und 0 an allen anderen Knoten

Numerisches Verfahren zur Approximation von Integralen

• Eine Quadraturformel, bei der Gewichte und Stützstellen so gewählt sind, dass Polynome bis zu höchstem Grad exakt integriert werden.

• Effizient und genau.

1. Exakte Integration von Elementsteifigkeitsmatrizen möglich

2. Spart Rechenzeit durch wenige Stützstellen bei hoher Genauigkeit

1. Vollständige Integration: alle notwendigen Integrationspunkte zur genauen Integration

2. Reduzierte Integration: weniger Punkte, schneller, aber kann zu so genannten "Hourglass-Effekten" (numerische Instabilitäten) führen

1. Bewegungen/Verformungen ohne Energiezunahme

2. Keine Spannungen oder gespeicherte Verformungsenergie

3. Entsprechen z. B. starren Körperbewegungen (Verschiebung, Rotation)

4. Können zu Singularitäten in FEM-Steifigkeitsmatrix führen

5. Ursache für numerische Instabilitäten in Simulationen

• Reduzierte Integration kann parasitäre (künstliche) Scherspannungen verursachen, wenn zu wenige Integrationspunkte verwendet werden.

• Diese führen zu unrealistischen Scherkräften und verzerren die Ergebnisse.

1. Übermäßige Steifigkeit eines Elements durch falsche Diskretisierung (z. B. bei dünnen Strukturen oder Volumenverformung)

2. Führt zu ungenauen, zu steifen Lösungen.

• Elemente mit vollständiger Integration

• Elemente mit höherer Ordnung (z. B. QUAD8, T6)

1. Elemente mit reduzierter Integration (können Locking vermeiden, aber Spannungen ungenau)

2. Elemente mit niedriger Ordnung in komplexen Spannungszuständen

1. Aspect Ratio: Verhältnis längste zu kürzeste Kanten

2. Skew Angle: Winkelabweichung von 90° (Ideal = 90°)

3. Taper: Unterschied in Kantenlängen gegenüber Ideal

4. Warping: Verziehen der Elementflächen aus der Eben

• Flexibel für komplexe Geometrien

• Einfach zu generieren und aneinanderzufügen

• Besonders wichtig bei unregelmäßigen oder gekrümmten Bereichen

1. Eigenfrequenzen: Werden genauer und meist höher, da feinere Netze mehr Details erfassen

2. Steifigkeit: Nimmt zu, da kleinere Elemente Verformungen besser beschränken

3. Maximale Spannungen: Werden präziser und meist größer, da lokale Spannungsspitzen besser erfasst werden

1. Bewegungsmuster ohne Deformation, die das Element „verzieht“ ohne Energie zu kosten

2. Typische symmetrische Verformungen, z.B. diagonale Scherbewegungen oder „Wellen“ in der Fläche

4 Integrationspunkte (Gauss-Punkte), jeweils in der Mitte jedes Viertels des Elements (2x2 Punktemuster)

1. Stationär: zeitunabhängige Größen (z. B. konstante Temperaturverteilung)

2. Instationär: zeitabhängige Größen (z. B. Temperatur ändert sich mit der Zeit)

• Kleine Elemente ermöglichen präzise lokale Temperatur- oder Spannungsverteilungen

• Erhöhen Rechenaufwand und können numerische Instabilitäten verursachen

• Verbessern Genauigkeit bei Gradienten und Singularitäten

9 Knoten (3 Ecken + 6 Kantenpunkte)

• Wenn der Wärmestrom auf dem Rand null ist (adiabatische Grenze) oder bei homogenen Dirichlet-Randbedingungen

• Vergleich mit analytischer Lösung: z. B. Spannung in einem einfachen Balken

• Gitterverfeinerung: Ergebnisse bei feinerem Netz vergleichen

• Energieerhaltung: Prüfen, ob Energieerhaltung im System gegeben ist