Termin 9/10: Inferenzstatistik: Stichproben und Population

📊 Deskriptive Statistik (beschreibend)

• Beschreibt Daten aus einer konkreten Stichprobe

• Keine Verallgemeinerung auf andere Gruppen

• Beispiel: „50 % der Schüler*innen in dieser Klasse sind weiblich“

• Kennzahlen: Mittelwert, Median, Häufigkeit, Prozent

🔎 Induktive Statistik (schließend / Inferenzstatistik)

• Nutzt Stichprobe, um auf Population zu schließen

• Ziel: Verallgemeinerbare Aussagen mit Wahrscheinlichkeitsannahmen

• Beispiel: „50 % der Schüler*innen in Deutschland sind weiblich“

• Methoden: Hypothesentest, Konfidenzintervall, Signifikanz

👥 Population (Grundgesamtheit)

• Die gesamte Gruppe von statistischen Einheiten, über die man Aussagen treffen will

• Beispiel: Alle Schülerinnen in Deutschland*

📉 Stichprobe

• Eine Teilmenge der Population, die tatsächlich untersucht wird

• Dient als „Miniaturbild“ der Population

• Beispiel: 200 zufällig ausgewählte Schülerinnen aus verschiedenen Bundesländern*

🧠 Hinweis

• In der theoretischen Statistik wird oft angenommen, dass Populationen unendlich groß sind – zur Vereinfachung mathematischer Modelle.

📊 Stichprobe & Kennwerte

• Eine Stichprobe besteht aus x1,...,xn – einer Auswahl von Beobachtungen aus der Population.

• Daraus kann man Kennwerte wie den Mittelwert \bar{x} oder die Varianz s^2 berechnen.

• Diese beschreiben die Merkmalsverteilung innerhalb der Stichprobe.

🔢 Population & Parameter

• Für die Grundgesamtheit (Population) verwendet man Parameter, z. B.

  • 𝜇 für den „wahren“ Mittelwert

  • 𝜎^2 für die „wahre“ Varianz

• Diese Parameter sind meist unbekannt und werden durch Stichproben geschätzt.

🎯 Stichprobenarten: Zufällig vs. Nicht-zufällig

🔹 A) Zufallsstichproben (probabilistisch):

Auswahl erfolgt zufällig, jede Einheit hat eine bekannte Chance gezogen zu werden:

1. Einfache Zufallsstichprobe – gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit für alle

2. Klumpenstichprobe – ganze Gruppen (z. B. Schulklassen) werden zufällig ausgewählt

3. Geschichtete Stichprobe – vorherige Einteilung nach Merkmalen (z. B. Alter), dann zufällige Auswahl innerhalb der Schichten

🔸 B) Nicht-probabilistische Stichproben:

Auswahl erfolgt nicht zufällig, z. B. durch gezielte Auswahl, Freiwilligkeit oder Zugänglichkeit.

→ Kein Rückschluss auf die Population mit statistischer Sicherheit möglich.

🔹 Definition:

Eine Stichprobe mit n Objekten, bei der jede mögliche gleich große Teilmenge die gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit besitzt.

🔹 Vereinfacht gesagt:

Jedes Mitglied der Population hat die gleiche Chance, in die Stichprobe zu kommen.

🔹 Voraussetzung:

Lässt sich eie Liste aller Populationsmitglieder erstellen, kann leicht eine Zufallsstichprobe bestimmt werden; z.B. mit Hilfe einer Zufallszahlentabelle oder eines Computers

🔹 Durchführung:

→ Auswahl per Zufallszahlentabelle, Würfel, Lostopf, Computer-Randomisierung usw.

🔹 Definition:

Eine Klumpenstichprobe besteht aus mehreren zufällig ausgewählten Gruppen („Klumpen“), wobei alle Mitglieder der ausgewählten Klumpen untersucht werden.

🔹 Praxisbeispiel:

Zufällig ausgewählte Schulen nehmen teil → alle Schüler*innen in diesen Schulen werden getestet.

🔹 Wichtig:

Es müssen mehrere Klumpen zufällig ausgewählt werden, nicht nur einer.

🔹 Vorteil:

Ökonomisch & praktisch, da man mit „natürlichen Gruppen“ arbeitet (z. B. Schulklassen, Betriebe, Kliniken).

• Ökonomisch praktisch

  • Wenn du z. B. eine große Studie durchführen willst, wäre es sehr aufwendig, aus ganz Deutschland zufällig einzelne Schüler*innen auszuwählen, weil du dann an viele verschiedene Orte reisen oder viele Einzelpersonen erreichen müsstest.

• Grundgesamtheit wird in sinnvolle Gruppen (Schichten) unterteilt

• Schichten basieren auf relevanten Merkmalen (z. B. Alter, Einkommen)

• Aus jeder Schicht wird eine Zufallsstichprobe gezogen

• Ziel: bessere Repräsentativität der Stichprobe

• Liefert genauere Ergebnisse als einfache Zufallsstichprobe

• Bei identischer Schichtverteilung wie in der Population: proportional geschichtete Stichprobe

• Bei nicht-probabilistischen Stichproben wählt man die Personen gezielt aus, nicht per Zufall

• Beispiele:

  • Theoretische Stichprobe: gezielt passende Personen für eine Theorie

  • Quotenstichprobe: bestimmte Gruppen in festen Anteilen

  • Ad-hoc-Stichprobe: wer gerade verfügbar ist (z. B. Seminarteilnehmer)

• Solche Stichproben sind nicht repräsentativ für die Gesamtbevölkerung

• Deshalb ungeeignet für statistische Rückschlüsse (z. B. auf die ganze Bevölkerung)

• Ausnahme: Man überlegt sich im Nachhinein eine „passende“ Zielgruppe – das ist aber unsicher und oft problematisch

• Beim Schließen von Stichprobenwerten (z. B. Mittelwert, Varianz) auf die Population können Fehler entstehen

• Systematische Fehler: bestimmte Gruppen sind in der Stichprobe über- oder unterrepräsentiert

• Beispiel: Nur Personen, die Fragebögen zurücksenden, werden erfasst → Verzerrung

• Solche Verzerrungen führen zu unzuverlässigen Ergebnissen

• Eine Stichprobe ist repräsentativ, wenn alle Gruppen fair vertreten sind – also keine systematischen Fehler auftreten

• Stichprobenfehler entsteht durch reinen Zufall – Stichprobe weicht zufällig von der Population ab

• Beispiel: Nur rote Kugeln gezogen, obwohl beide Farben in der Urne vorhanden sind

• Solche Fehler sind nicht vermeidbar, aber ihre Wahrscheinlichkeit ist berechenbar (z. B. mit Vertrauensintervall, Signifikanztest)

• Der Mittelwert einer Stichprobe (x̄) unterscheidet sich meist vom wahren Populationsmittelwert (μ)

• Zieht man viele Stichproben, ergeben ihre Mittelwerte eine eigene Verteilung

• Diese nennt man Stichprobenkennwerteverteilung des Mittelwerts

• Sie zeigt, wie stark Stichprobenmittelwerte rund um den Populationswert streuen

• Die Stichprobenkennwerteverteilung ist eine theoretische Verteilung

• Sie beschreibt, welche Werte ein Kennwert (z. B. Mittelwert x̄) bei vielen Zufallsstichproben annehmen kann

• In der Realität haben wir meist nur eine einzige Stichprobe und einen einzigen Wert

• Das Ziehen einer Stichprobe ist ein Zufallsexperiment → der beobachtete Wert ist eine mögliche Ausprägung

• Die Streuung der Stichprobenkennwerteverteilung zeigt, wie genau der Stichprobenwert den wahren Wert (μ) schätzt

• Je kleiner die Streuung, desto verlässlicher ist die Schätzung

• Stichprobe mit n = 2 → 36 mögliche Kombinationen

• Für jede Kombination wird Mittelwert berechnet

• Es entsteht eine Verteilung der Mittelwerte (x̄)

Mittelwerte schwanken weniger als Einzelwerte, weil sie Zufallseffekte ausgleichen. Je größer die Stichprobe, desto kleiner die Varianz der Mittelwerte.

📌 Beispiel mit Würfeln:

• Populationsvarianz (Einzelwürfe):

\sigma^2 = \frac{35}{12} ≈ 2{,}92

• Varianz der Mittelwerte bei n = 2:

\sigma^2_{x̄} = \frac{35}{12 \cdot 2} = \frac{35}{24} ≈ 1{,}46

➡️ Die Varianz halbiert sich, weil man pro Stichprobe 2 Werte mittelt → Zufallsextreme gleichen sich eher aus.

• Die Stichprobenkennwerteverteilung zeigt, wie stark Mittelwerte von vielen verschiedenen Stichproben aus der gleichen Population schwanken

• Grundlage für Vertrauensintervalle & Signifikanztests

• Je kleiner die Varianz, desto genauer die Schätzung von μ

• Der Erwartungswert der Mittelwertverteilung ist gleich dem Populationsmittelwert:

• Mittelwert ist ein erwartungstreuer Schätzer

• Erwartungstreu = Der Stichprobenmittelwert unter- bzw. überschätzt den Populationsmittelwert nicht systematisch.

• Erwartungstreue ist ein zentrales Kriterium für die Beurteilung von Schätzen

Wurzel aus der Stichprobenvarianz

1. Wir nehmen an, die Verteilung in der Population ist eine Normalverteilung

   1. Dann ist auch die Stichprobenverteilung des Mittelwerts normalverteilt

1. Die Verteilung in der Population ist irgendeine beliebige Nicht- Normalverteilung.

   1. Stichprobenkennwerte verteilung ist trotzdem normal verteilt, wenn die Stichprobe groß genug ist.

      1. Zentraler Grenzwertsatz:

         1. Die Verteilung von Mittelwerten aus Stichproben des Umfangs n, die derselben Grundgesamtheit entnommen wurden, geht mit wachsendem Stichprobenumfang in eine Normalverteilung über.

         2. 🔹 Was sagt der zentrale Grenzwertsatz (ZGW)?

            Egal wie die Population verteilt ist:

            Wenn du viele Stichproben ausreichender Größe ziehst, dann sind die Mittelwerte dieser Stichproben annähernd normalverteilt.

            Aber:

            Wie groß „ausreichend“ ist, hängt von der Form der Populationsverteilung ab.

            📏

            Was sagt die Vorlesung konkret?

            • Je unnormaler die Population, desto größer muss n sein

            • In der Praxis geht man oft davon aus, dass n ≥ 30 reicht, um Normalverteilung der Mittelwerte zu approximieren

            • Aber: Es ist keine fixe Grenze – bei extrem schiefer oder verzerrter Population kann man auch mehr als 30 brauchen

            📊

            Illustration aus deiner Vorlesung:

            1. Population

            • Gleichverteilung von 0 bis 100 → das ist keine Normalverteilung!

            • Repräsentiert durch eine sehr große Stichprobe (n = 50.000)

            • Mittelwert: \bar{x} = 49.84,\quad s = 28.93

            2. Was passiert bei n = 5?

            • Man zieht 5000 Stichproben mit je n = 5

            • Man berechnet jeweils den Mittelwert → ergibt eine Verteilung der Mittelwerte

            • Ergebnis:

              • Erwartungswert: \bar{x} = 50

              • Streuung der Mittelwerte (Standardfehler): s_{x̄} \approx 12.93

              • Die Verteilung der Mittelwerte ist deutlich glockenförmig → trotz ursprünglicher Gleichverteilung!

            🧠

            Warum ist das so wichtig?

            • Es erlaubt dir, statistische Tests (z. B. z-Test) anzuwenden, auch wenn die Population nicht normal ist

            • Du musst nur sicherstellen: n groß genug → meistens: n ≥ 30 → bei glatten Verteilungen wie Gleichverteilung: sogar schon bei n = 5 sichtbar