Termin 11: Stichprobe und Population: Parameterschätzung & Konfidenzintervalle

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Verständliche Erklärung:

Konsistenz bedeutet:

Ein Schätzwert (z. B. Mittelwert, Varianz) wird mit wachsender Stichprobengröße immer genauer und „nähert“ sich dem wahren Wert (dem Parameter) der Grundgesamtheit an.

➡️ Mit anderen Worten:

Je größer die Stichprobe, desto wahrscheinlicher ist es, dass der Schätzwert sehr nahe am wahren Wert liegt.

Das bedeutet mathematisch:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz zwischen Schätzwert und Parameter kleiner als ein beliebig kleiner Wert ε ist, geht gegen 1, wenn n → ∞.

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Gesetz der großen Zahlen:

Ein Spezialfall der Konsistenz:

Wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt, dann wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses A (z. B. „Trefferquote“) immer näher an die wahre Wahrscheinlichkeit P(A) herankommen.

Das zeigt sich z. B. bei Münzwürfen:

• Je öfter du wirfst, desto näher kommt der Anteil an „Kopf“ dem Wert 0,5.

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Erwartungstreue – einfach und genau erklärt

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Was bedeutet Erwartungstreue (Unbiasedness)?

Ein statistischer Kennwert (z. B. der Stichprobenmittelwert oder die Stichprobenvarianz) ist erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert dem wahren Populationsparameter entspricht.

🔍 Anders gesagt:

Wenn man viele, viele Stichproben der gleichen Größe aus einer Population zieht, dann liegt der Durchschnitt der berechneten Kennwerte genau beim wahren Parameter der Population.

💬 Beispiel:

• Das arithmetische Mittel \bar{x} aus einer Zufallsstichprobe ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Populationsmittelwert \mu.

• Auch der Median ist bei symmetrischen Verteilungen ein erwartungstreuer Schätzer.

⚠️ Verzerrung (Bias):

Wenn der Erwartungswert des Kennwerts nicht mit dem Parameter übereinstimmt, ist der Schätzer verzerrt (biased).

Beispiel:

• Die Stichprobenvarianz, wenn man durch n teilt (statt durch n - 1), ist verzerrt → sie unterschätzt die wahre Varianz.

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Was bedeutet Effizienz eines Schätzers?

Ein Schätzer ist effizient, wenn er einen Populationsparameter mit möglichst geringer Streuung (Varianz) schätzt.

👉 Effizienz misst also, wie präzise ein Schätzer ist.

💬 Merksatz:

„Ein effizienter Schätzer schwankt weniger.“

Das bedeutet: Auch wenn zwei Schätzer im Mittel korrekt sind (also erwartungstreu), ist der effizientere von beiden genauer, weil seine Schätzwerte enger um den wahren Wert liegen.

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Wichtig:

Effizienz ist nur zwischen erwartungstreuen Schätzern sinnvoll vergleichbar!

📈 Beispiel aus der Vorlesung:

Zwei erwartungstreue Schätzer (A und B) schätzen denselben Parameter \theta.

Ihre Stichprobenwerte liegen aber unterschiedlich gestreut:

Beispielhafte Verteilungen:

• Schätzer A: Werte schwanken stark → hohe Streuung → niedrige Effizienz

• Schätzer B: Werte schwanken wenig → geringe Streuung → hohe Effizienz

➡️ Schätzer B ist effizienter als A.

Definition aus der Vorlesung:

Ein Schätzwert ist suffizient (synonym: erschöpfend) hinsichtlich eines Parameters, wenn er alle in einer Stichprobe enthaltenen Informationen berücksichtigt.

Anders gesagt: Wenn die Schätzung eines Parameters (z.B. 𝜇) durch einen Schätzwert

(z.B. ҧ 𝑥) durch Hinzunahme weiterer Informationen nicht verbessert werden kann, handelt es sich um einen suffizienten Schätzwert.

1. Methode der kleinsten Quadrate

   1. Idee: Finde den Parameter, bei dem die Abweichungen zwischen Modell und beobachteten Werten im Quadrat möglichst klein sind.

   2. liefert unabhängig von der Verteilung in der Population erwartungstreue und konsistente (nicht aber unbedingt effiziente) Schätzer.

2. Maximum Likelihood

   1. Idee: Finde den Parameterwert, der die beobachteten Daten am wahrscheinlichsten macht.

   2. Wähle zu den in einer Stichprobe beobachteten Messungen denjenigen Parameter, für den die „Likelihood“ („Wahrscheinlichkeit“) maximal ist (Annahme: Verteilungsform ist bekannt).

3. Bayes Schätzung

   1. Idee: Integriere vorheriges Wissen (z. B. Erfahrungswerte oder frühere Daten) in die Schätzung.

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Die Taschenlampen-Analogie für Konfidenzintervalle

• 🎯 Der Baum ist der wahre Populationsparameter \mu → fest und unveränderlich

• 🔦 Der Lichtkegel der Taschenlampe ist das Konfidenzintervall → ein Intervall, das den Baum treffen kann oder verfehlen kann

• 🟡 Die Mitte des Lichtkegels (Zentrum) ist der Schätzwert \bar{x} → der Mittelwert aus deiner konkreten Stichprobe

• 🚶‍♂️ Du richtest die Taschenlampe jedes Mal neu (jedes Mal eine neue Stichprobe)

🧠 Interpretation:

• Du ziehst eine Stichprobe ⇒ richtest die Taschenlampe ⇒ du beleuchtest einen Bereich (das Intervall)

• Der Baum (der wahre Mittelwert) steht fest – du siehst ihn nicht direkt, aber hoffst, ihn zu erwischen

• Da deine Lampe breit genug eingestellt ist (95 %-Konfidenz), triffst du in 95 % der Fälle den Baum

• In 5 % der Fälle zeigt deine Lampe daneben – du verfehlst den wahren Parameter

✅ Warum ist das eine gute Analogie?

• ✔️ Der Lichtkegel (Konfidenzintervall) ändert sich bei jeder Stichprobe

• ✔️ Der Baum ist immer am selben Ort (fester Parameter)

• ✔️ Du weißt nie sicher, ob du den Baum triffst – aber wenn du genug Licht (95 %) verwendest, erwischst du ihn meistens

• ✔️ Du erkennst den Unterschied zwischen „Wahrscheinlichkeit“ des Lichts und „Fixheit“ des Baums

📌 Fazit:

„Ich kann nicht mit Sicherheit sagen, ob ich den Baum gerade beleuchte –

aber ich weiß, dass meine Methode ihn in 95 % der Fälle trifft.“

Das ist exakt, was ein 95 %-Konfidenzintervall bedeutet.

Deine Taschenlampen-Metapher ist deshalb didaktisch erstklassig. 👏