2. AUSWERTUNGSMETHODEN EINDIMENSIONALER DATEN

Univariate Analyse

Die univariate Analyse untersucht genau ein Merkmal.

Bivariate Analyse

Die bivariate Analyse untersucht den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen.

• Skalenniveau von entscheidender Bedeutung, denn es entscheidet darüber, welche  statistischen Analysen erlaubt sind und welche nicht.

• Das Geschlecht ist nominalskaliert (die Ausprägungen sind Kategorien, die sich nicht  sinnvoll ordnen lassen), 

• die Zufriedenheit mit den Pflegerobotern ordinalskaliert (die Ausprägungen sind Kate-  gorien, die sich sinnvoll ordnen lassen) und 

• sowohl die bisherige Kontakthäufigkeit mit solchen Robotern als auch das Alter sind  kardinalskaliert (deren Ausprägungen und Abstände sind Zahlen). 

  • Kontakthäufigkeit diskretes

  • Altersangaben. stetiges —> Alterskategorien bilden

Die Urliste bzw. Rohdaten  beinhalten die gesammel-  ten Daten eines Merk-  mals

• Ausgangsdaten, welche man bezüglich eines Merkmals X zur Verfügung  hat

• x1, x2, …, xn

x1 beschreibt dabei die Merkmalsausprägung der ersten Person, x2 die Merkmalsausprä-  gung der zweiten Person und xn die Ausprägung der n-ten Person. n steht dabei für die  Gesamtanzahl an Personen bzw. den Stichprobenumfang. Für die einzelnen Personen wird  ein Personenindex i = 1,  …,  n angelegt, welcher alle Personen durchläuft. Die Urliste  lässt sich damit auch durch xi für i = 1,  …,  n notieren. Diese Urliste als Ausgangspunkt  einer Datenanalyse liegt für jedes beliebige Skalenniveau vor. 

• jede einzelne der vier Merkmalsspalten eine Urliste

BSP:

• Alle 25 befragten Patient:innen  haben eine Angabe zu ihrem Geschlecht gemacht, sodass in diesem Fall n = 25 gilt

• Bewertung der Pflegeroboter wurde von einer Person ausgelassen für n = 24 Patient:innen vorliegen

• Häufigkeit des bisherigen Kontakts mit solchen  Pflegerobotern wurde wiederum von allen Patient:innen (n = 25) beantwortet

• wohinge-  gen das Alter mit n = 19 Patient:innen von den Wenigsten kommentiert wurde. 

Häufigkeitstabelle. 

• welche Merkmalsausprägungen ein Merkmal annehmen  kann,

• wie häufig diese in einer Stichprobe vorkommen und

• welchen Anteil diese an der  Gesamtanzahl aller Merkmalsträger in der Stichprobe ausmachen

Ausprägungsindex = die einzelnen Merkmalsausprägungen durch. Im Allgemeinen besitzt ein Merkmal demnach k verschiedene Merkmalsausprägungen.

j = 1, …, k

Merkmalsausprägungen

aj mit j = 1, …, k

absoluten Häufigkeiten =

Zählt man aus der Urliste ab, wie viele Merkmalsträger die einzelnen Merkmalsausprägungen annehmen

nj mit j = 1, …, k .

relativen Häufigkeiten=

Setzt man die einzelnen absoluten Häufigkeiten in Bezug zur Gesamtanzahl an Merkmalsträgern in der Stichprobe,

fj mit j = 1, …, k

• -> relativen Häufigkeiten können ausschließ- lich Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Die Summe aller relativen Häufigkeiten f1 + f2 + … + fk muss immer 1 ergeben

BSP:

FORTSETZUNG DES BEISPIELS: BEFRAGUNG ZU PFLEGEROBOTERN

Für das nominalskalierte Merkmal „Geschlecht“ aus dem obigen Beispiel ergibt sich damit auf Basis der Urliste (w: weiblich, m: männlich)

w; w; w; w; m; w; w; w; m; m; w; m; w; w; w; w; w; w; m; w; w; w; w; w; w

Häufigkeitstabelle für das Geschlecht

Durch Abzählen aus obiger Urliste ergibt sich die Tatsache, dass fünf männliche Patienten befragt wurden. Das Dividieren der 5 männlichen Patienten durch die Gesamtheit aller 25 Patient:innen führt zu einer relativen Häufigkeit von 0,2 bzw. 20 %. Demzufolge verbleiben 20 weibliche Patientinnen mit einem Anteil von 0,8 bzw. 80 %. Die Gesamtheit aller Befragten (hier: 25) steht stets als Summe unter der Spalte der absoluten Häufigkeiten. Die Summe aus allen relativen Häufigkeiten in Höhe von 1 bzw. 100 % wird unterhalb der Spalte der relativen Häufigkeiten notiert.

• Für mindestens ordinalskalierte (also auch kardinalskalierte) Merkmale wird die Häufig-  keitstabelle um eine fünfte Spalte erweitert

  • kumulierten Häufigkeiten = summieren die relativen Häufigkeiten auf.

BSP:

Wir könnten bspw. wissen wollen, wie groß der Anteil derjenigen Patient:innen ist, welche die Pflege durch den Roboter mit mindestens gut bewertet haben. Dafür betrachtet man die Anteile derjenigen, die den Pflegeroboter als sehr gut und gut eingeschätzt haben. Summiert man diese beiden Anteile in Form der entsprechenden relativen Häufigkeiten auf, so erhält man eine kumulierte Häufigkeit. Diese Art der Berechnung ist nur möglich, wenn sich in die Merkmalsausprägungen eine sinnvolle Reihenfolge hineinbringen lässt.

Allg.Aufbau

ordinalskalierte Merkmal „Zufriedenheit“ mit einem Pflegeroboter erhält man auf Basis der Urliste (sg = sehr gut, g = gut, b = befriedigend, a = ausreichend)

g; g; g; g; b; b; b; b; g; b; b; g; g; g; a; g; g; sg; a; g; b; g; b; b

• In der kumulierten Häufigkeit der zweiten Zeile werden diejenigen Patient:innen zusammengefasst, welche eine sehr gute 1/24 bzw. gute 12/24Zufriedenheit mit den Pflegerobotern bescheinigten. So kommt die Summe 13/24 zustande. Ca. 54,2 % der befragten Patient:innen bewerten demnach die Zufriedenheit mit mindestens gut.

• gleiche Gestalt wie bei ordinalskalierten Merkmalen

  • aufgrund der Beschaffenheit der Ausprägungen in Form von Zahlen eine Sortie-  rung von der kleinsten bis zur größten Zahl möglich ist.

• Man fängt mit der kleinsten Ausprägung an und hört mit der größten Ausprägung auf.

BSP:

Im obigen Beispiel wurden die Patient:innen gefragt, wie oft sie vor dem aktuellen Krankenhausaufenthalt bereits Kontakt zu derartigen Pflegerobotern hatten. Die Antworten der 25 Befragten gestalteten sich wie folgt:

1; 5; 0; 0; 1; 1; 2; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 1; 1; 0; 3; 0; 1; 1; 2; 1

• Die Häufigkeitstabelle bei kardinalskalierten, aber stetigen Merkmalen unterscheidet sich  von der für diskrete Merkmale in der zweiten Spalte.

Klassen von Merkmalsausprägun-  gen.

• Klasse ist durch  eine Unter- und Obergrenze charakterisiert.

• Obergrenze einer Klasse wird grundsätzlich eine eckige Klammer  „]“ gesetzt.

  • Diese signalisiert, dass diese Obergrenze zu der entsprechenden Klasse dazugehört

• Untergrenze einer Klasse wird bis auf die erste Untergrenze mit einer runden  Klammer „(“ versehen

  • Diese bedeutet, dass die Klasse bei der nächstgrößeren Zahl als die Untergrenze selbst beginnt

Jede Zeile einer Häufigkeitstabelle repräsentiert nun eine Klasse von zusammengefassten Merkmalsausprägungen.

• absoluten Häufigkeiten jetzt die Anzahl an Personen zusammenfassen, die in dieses Intervall einzuordnen sind.

• relative Häufigkeit den Anteil derjenigen an, die diesem Intervall zugehörig sind

• kumulierte Häufigkeit fasst den Anteil an Personen zusammen, die im Höchstfall den Wert der Obergrenze annehmen.

Wahl der Klassengrenzen mal mit Rep checken ob das wichtig ist

BSP:

Wir arbeiten nun als Beispiel mit folgender Klasseneinteilung des Alters: [15; 30]; (30; 45]; (45; 50] und (50; 70]. Wir sehen, dass die Klassen unterschiedlich breit sind. Mit den ersten beiden Klassen wird eine Altersspanne von 15 Jahren berücksichtigt. Die dritte Klasse umfasst lediglich ein Spektrum von 5 Jahren und die letzte Klasse wiederum eine größere Breite von 20 Jahren.

16; 50; 35; 47; 15; 20; 47; 48; 44; 55; 56; 35; 48; 52; 49; 68; 17; 26; 39

zweite Klasse durch: Älter als 30 und höchstens 45 Jahre sind die Personen im Alter von 35, 44, 35 und 39. Dadurch entsteht die absolute Häufigkeit in Höhe von 4. Die Tatsache, dass wir insgesamt 19 Patientendaten vorliegen haben, führt uns zu einer relativen Häufigkeit in Höhe von 4/19bzw. 0,211. Und schließlich ergibt sich aus der Summe der ersten kumulierten Häufigkeit 5/19 sowie der soeben genannten relativen Häufigkeit eine kumulierte Häufigkeit von 9/19. Das bedeutet, dass 47,3 % der Befragten höchstens 45 Jahre alt sind.

hier ausnahmslos mit der Darstellung relativer Häufigkeiten beschäftigen

Kreisdiagramm, 

• erhalten die einzelnen Merkmalsausprägungen entsprechend  ihrem Anteil an der Stichprobe eine bestimmte Fläche im Kreis.

• die einzelnen Winkel αj (alpha) für die Merkmalsausprägung aj durch

• relative Häufigkeit wird demnach mit 360° multipliziert,

Balkendiagramm

• zeigt in Form von Balken  oder Stäben die Häufig-  keitsverteilung eines  Merkmals an

Paretodiagramm (= Spezialform des Balkendiagramms)

• ordnet die Merkmalsausprä-  gungen nach der Größe  ihres Vorkommens

• Kreisdiagramm

• Balkendiagramm.

identisch nominalskaliertes Merkmal

nur noch das Balkendiagramm

Histogramm

kardinalskalierten und stetigen Merkmale wird mit dem

in der  Klassenbildung begründet.

einzelnen Klassen  miteinander vergleichen lassen,

Histogramm  Ein Histogramm wird nur  für stetige Merkmale  gezeichne

x-Achse

Klassengrenzen

y-Achse

Dichten

Dichten  Dichten setzen die relati-  ven Häufigkeiten ins Ver-  hältnis zur Breite einer  Klasse

Δj(Delta) die Klassenbreite ist. Das Histogramm entsteht schließlich dadurch, dass diese Berechnung der Dichten für alle Klassen erledigt wird:

Zeichnen des Histogramms

• zunächst die Dichten berechnet

• über jede Klasse ein Rechteck in der Höhe der berechneten Dichten abzutragen. Die Fläche eines jeden Rechtecks zeichnet sich dadurch aus, dass sie die relative Häufigkeit fj der entsprechenden Klasse widerspiegelt. Damit muss die gesamte Flä- che unter dem Histogramm 1 sein.

Wir können erkennen, dass das Alter zwischen 45 und 50 von den meisten der 19 Patient:innen angenommen wird. Auch wenn die absolute Häufigkeit mit 6 in dieser Klasse am größten war, so ist ein solch deutlicher Unterschied zu den anderen Klassen erst hier erkennbar geworden. Aus der im Verhältnis zu den anderen Klassen geringen Breite der betrachteten Klasse resultiert eine relativ hohe Dichte. Bleiben wir bei dieser Klasse und klären noch einmal, warum die Fläche dieses Rechtecks gleich der relativen Häufigkeit ist. Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich durch die Multiplikation aus Breite und Höhe. Die Breite ist in diesem Fall 5 und die Höhe laut Dichte 0,063. Mit 5 · 0,063 erhalten wir 0,315 bzw. 6/19.

einzelne Merkmale noch durch verschiedene Maßzahlen beschrieben werden. Man unterscheidet Maßzahlen für die Lage bzw. Lagemaße von den Streuungsma- ßen

Modus  Der Modus bildet die häu-  figste Ausprägung ab

math. Abk

• einen Modus = unimodalen Verteilung

• zwei Modi = bimodal

• mehr als zwei Modi als multimodal.

Häufigkeitstabelle

• die größte absolute bzw. relative Häufigkeit vorherrscht und liest die entsprechende Ausprägung ab

Kreisdiagramm oder das Balkendiagramm

• Die Ausprägung mit der größten Fläche im Kreis bzw. dem größten Balken stellt den Modus dar.

BSP: xmod = weiblich.

Ordinalskaliertes Merkmal 

„gut“ am häufigsten = xmod = gut

Kardinalskaliertes diskretes Merkmal 

einmalige Kontakt

am häufigsten

xmod = 1. 

Kardinalskaliertes stetiges Merkmal 

Nur für stetige Merkmale muss der Modus auf eine etwas andere Weise bestimmt werden.

bestimmen den Modus anhand der  Dichten.

Klasse, welche die größte Dichte aufweist, wird als Modus bezeichnet

Dichte in der dritten  Klasse mit 0,063 am größten

xmod = (45; 50] .

In mancher Literatur wird der Modus für ein stetiges Merkmal ebenfalls in Form einer einzigen Zahl angegeben. In dem Fall wird die Mitte der Klasse als Modus angegeben, in der die Dichte am größten ist. Die Mitte zwischen 45 und 50 wäre 47,5 weil (45 + 50) / 2

Quantile 

Quantil  Ein Quantil wird durch  eine Ausprägung  bestimmt, die von p %  der Merkmalsträger nicht  überschritten wird

drei Quantile,

1. Median x0.5.

• besonders wichtig

• liegt genau in der Mitte des geordneten Datensatzes.

• Zentrum des geor-  dneten Datensatzes. 

1. Quartile x0.25

• (unteres Quartil: Ausprägung,  die von 25 % der Merkmalsträger nicht überschritten wird

1. Quartile x0.75

• (oberes Quartil: Aus-  prägung, die von 75 % der Merkmalsträger nicht überschritten wird)

Quartile sorgen mit  dem Median für vier  gleich große Bereiche im  geordneten Datensatz

auf Basis einer Urliste oder aber einer Häufigkeitstabelle  bestimmen.

Die Bestimmung der Quantile aus einer Urliste erfolgt für alle möglichen Skalenniveaus auf die gleiche Weise

Urliste (= die in unsortierter Reihenfolge alle Ausprägungen der nMerkmalsträger einer Stichprobe enthält)

• —> x1, x2, …, xn

ersten Schritt von klein nach groß sortiert werden. Man erstellt also den geordneten Datensatz:

• -> x (1) , x (2) , …, x (n)

x (1) steht dabei für die kleinste und x (n) dementsprechend für die größte Beobachtung. Die einzelnen Quantile lassen sich nun nach einer allgemeinen Vorgehensweise – unabhängig von p – bestimmen; dabei geht es darum, die Stelle im geordneten Datensatz zu finden, an der sich das gesuchte Quantil befindet:

• Bestimmung für unser nominalskaliertes Merkmal nicht möglich.

Für das Merkmal „Zufriedenheit mit Pflegerobotern“ lag uns folgender unsortierter Datensatz für n = 24Patient:innen vor:

g; g; g; g; b; b; b; b; g; b; b; g; g; g; a; g; g; sg; a; g; b; g; b; b

Diesen bringen wir zunächst in eine geordnete Form, indem wir mit der besten Bewertung beginnen und mit der schlechtesten aufhören:

sg; g; g; g; g; g; g; g; g; g; g; g; g; b; b; b; b; b; b; b; b; b; a; a

Median

Mittelwert (auch Durchschnittswert oder arithmetisches Mittel genannt) -x (gelesen als „x quer“).

• fasst alle Daten eines Merkmals zu einem Wert zusammen.

Kardinalskaliertes stetiges/diskretes Merkmal aus Urliste

kardinalskaliertes diskretes Merkmal aus Häufigkeitstabelle

Kardinalskaliertes stetiges Merkmal aus Häufigkeitstabelle

Wie auch schon bei den Quantilen weicht der soeben berechnete Mittelwert von dem aus der Urliste ab. Den Grund dafür kennen wir bereits und auch hier gilt die Empfehlung, für die Berechnung des Durchschnittswerts die Urliste zu nutzen, sofern diese zur Verfügung steht.

Regel: Werden alle Werte einer Stichprobe um einen bestimmten Wert erhöht oder verringert, so erhöht oder verringert sich der Mittelwert ebenso um diesen Wert

welche der beiden Maßzahlen besser geeignet ist, um die Lage eines Merkmals zu beschreiben. Dies hängt entscheidend vom Datensatz ab.

Median

• robust

Mittelwert

• sehr ausreißerempfindlich

• immer dann gut geeignet ist, wenn der Datensatz nicht von extremen Ausreißern betroffen ist.

  • Der Median wird von derartigen Situationen nicht tangiert.

Verteilung

symmetrische und eine asymmetrische Verteilung

symmetrische Verteilung liegt uns immer dann vor, wenn Mittelwert und Median  ungefähr gleich groß

schiefe Verteilung

• rechtsschie-  fen Verteilung Mittelwert größer als der Median, so haben wir es mit einer

  • Balken nehmen demzufolge nach rechts hin ab

• linksschiefe  Verteilung wenn der Mittelwert kleiner als der Median ausfällt. 

  • Die Verteilung ist dann im Diagramm nach links hin abnehmend

    
    

• nur für kardinalskalierte Merkmale Einteilung in Symmetrie und Asymmetrie auch nur für jenes Skalenniveau.

herauszufinden, ob sich die  befragten Merkmalsträger hinsichtlich einer Variablen sehr ähnlich sind oder ob sie sich  sehr stark voneinander unterscheiden.

Streuungsmaße nur für kardinalskalierte Merkmale

Spannweite R zeigt den  Abstand von der kleinsten  zur größten Ausprägung

Nachteil

unter Umständen von extremen Beobachtungen  beeinflusst werden könnte und damit den Sachverhalt der Streuung nicht angemessen  widerspiegelt. 

Interquartilsabstand IQR

• zweite Maßzahl für die Streuung

• im Falle von vorhandenen Ausreißern besser geeignet.

• konzentriert sich auf die Variation bei den zentralen 50 % an Beobachtungen

Stichprobenvarianz und Standardabweichung 

Stichprobenvarianz 

• ist erforderlich, um die  Standardabweichung  erhalten zu können. 

Standardabweichung 

• gibt die durchschnittliche  Abweichung vom Mittel-  wert an

Die zweite Variante ist für das  Rechnen per Hand sehr zu empfehlen, da sie als weniger fehleranfällig gilt. Aus diesem  Grund beschränken wir uns in den folgenden Ausführungen auf genau diese.

Fall: Urliste mit Zahl b multipli-  ziert

• Abstände zueinander und damit die Streuung hat eine gänzlich andere Form  angenommen

 grundlegenden Regel:

Eine Multipli-  kation aller Werte mit b führt zu einer Veränderung der Stichprobenvarianz um b2 und der  Standardabweichung um exakt b. Insgesamt halten wir fest:  

Werden alle ursprünglichen Daten xi um a erhöht oder verringert, so hat dies keinerlei  Auswirkungen auf die Stichprobenvarianz sy  2 oder Standardabweichung sy der neuen  Daten yi. Werden hingegen alle ursprünglichen Werte xi mit b multipliziert, dann verändert  sich die neue Stichprobenvarianz sy  2 im Vergleich zur bisherigen sx  2 um b2. Für die neue  Standardabweichung sy resultiert nur eine Veränderung um b. 

Ein Merkmalsträger ist  eine interessierende Person oder ein Objekt, über  welche(s) man Aussagen  gewinnen möchte. 

Einzelpersonen, Unternehmen oder Gegenstände sein;