Was ist eine stetige Zufallsvariable?
Eine Variable, die unendlich viele Werte aus einem kontinuierlichen Wertebereich annehmen kann (z.B. Körpergröße)
Warum kann man bei stetigen Zufallsvariablen nicht die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert berechnen?
Weil die Menge der möglichen Werte unendlich dicht ist; die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Punkt ist daher null.
Wie wird bei stetigen Variablen Wahrscheinlichkeit beschrieben?
Mit einer Dichtefunktion, die Wahrscheinlichkeiten über Intervalle beschreibt.
Wie interpretiert man die Fläche unter der Dichtefunktion?
Die Fläche zwischen zwei Punkten gibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable in diesem Intervall liegt.
Was beschreibt die Dichtefunktion f(x)?
Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen.
Wie groß ist die Gesamtfläche unter einer Dichtefunktion?
Genau 1, weil die Gesamtwahrscheinlichkeit immer 1 ist.
Wie wird die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall [a,b] berechnet
Durch das Integral der Dichtefunktion von a bis b.
Warum spielt es bei stetigen Variablen keine Rolle, ob man die Intervallgrenzen mit einschließt?
Weil die Wahrscheinlichkeit für einen exakt einzelnen Wert immer null ist.
Was ist der Unterschied zur Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Variablen?
Bei diskreten Variablen summiert man Wahrscheinlichkeiten einzelner Werte, bei stetigen Variablen integriert man die Dichtefunktion.
Was ist ein Perzentil?
Wie wird ein Perzentil formal definiert?
Ein Wert, unterhalb dessen ein bestimmter Prozentsatz der Verteilung liegt.
Was beschreibt die Verteilungsfunktion?
Wie lautet die Formel für die Verteilungsfunktion einer stetigen Variablen?
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable höchstens einen Wert x annimmt.
Warum ist die Verteilungsfunktion monoton steigend?
Weil die Wahrscheinlichkeit mit wachsendem x immer größer wird.
Wie werden zentrale Bereiche (z.B. 95%-Konfidenzbereiche) markiert?
Indem man die Alpha-Flächen gleichmäßig links und rechts von der Mitte verteilt, z.B. bei 5% Alpha 2,5% links und 2,5% rechts. (Alpha = Irrtumswahrscheinlichkeit)
Wie wird der Erwartungswert bei einer stetigen Zufallsvariablen berechnet?
Durch das Integral von x mal Dichtefunktion über den gesamten Wertebereich:
Wie wird die Varianz bei einer stetigen Zufallsvariablen berechnet?
Was beschreibt der Erwartungswert?
Den Schwerpunkt oder die mittlere Lage der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Was beschreibt die Varianz?
Die typische Streuung der Werte um den Erwartungswert.
Was ist der Unterschied zwischen der stetigen und diskreten Varianz/Erwartungswert-Berechnung?
Bei diskreten Variablen wird summiert, bei stetigen Variablen integriert.
Was sind stetige Verteilungen?
Verteilungen, die Wahrscheinlichkeiten über kontinuierliche Wertebereiche mit einer Dichtefunktion beschreiben.
Welche zwei zentralen stetigen Verteilungen werden im Statistikgrundkurs besonders oft behandelt?
Gleichverteilung und Normalverteilung.
Warum sind stetige Verteilungen wichtig?
Weil viele statistische Kennwerte (z.B. Mittelwerte von Stichproben) unter bestimmten Bedingungen selbst stetig verteilt sind.
Was bedeutet „standardnormalverteilt“?
Normalverteilung mit \mu=0 und \sigma=1.
Was kennzeichnet die stetige Gleichverteilung?
Alle Werte im Intervall sind gleich wahrscheinlich.
Wie lautet die Dichtefunktion der Gleichverteilung?
Wie wird die Wahrscheinlichkeit für ein Teilintervall [c,d] berechnet?
{d - c}/{b - a}
Wie lautet der Erwartungswert einer stetigen Gleichverteilung?
Wie lautet die Varianz einer stetigen Gleichverteilung?
Was beschreibt die Normalverteilung?
Eine symmetrische, glockenförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert \mu.
Wie lautet die Dichtefunktion der Normalverteilung?
Welche Parameter steuern die Normalverteilung?
Erwartungswert \mu und Standardabweichung \sigma.
Warum ist die Normalverteilung so bedeutsam?
Weil viele natürliche und soziale Merkmale (z.B. Intelligenz, Körpergröße) annähernd normalverteilt sind und sie die Basis für viele statistische Verfahren bildet.
Was ist die Standardnormalverteilung?
Eine Normalverteilung mit \mu=0 und \sigma=1
Wie lautet ihre Dichtefunktion?
Was macht die z-Transformation und wofür ist sie gut?
Wandelt eine beliebige Normalverteilung in die Standardnormalverteilung um:
Damit man Wahrscheinlichkeiten immer aus einer Standardtabelle oder Software ermitteln kann, unabhängig von \mu und \sigma.
Wie nutzt man die Symmetrie der Standardnormalverteilung?
F(-z) = 1 - F(z)
Was ist ein Perzentil in einer Normalverteilung?
Ein Wert, unter dem ein bestimmter Prozentsatz der Verteilung liegt.
Wie bestimmt man Perzentile in der Standardnormalverteilung?
Aus Tabellen oder per Software (z.B. qnorm() in R).
Wie transformiert man ein Perzentil zurück in eine Normalverteilung mit \mu und \sigma?
Welches Perzentil liegt beim Median einer Normalverteilung?
50% → z=0
Welcher z-Wert entspricht ungefähr dem 95%-Perzentil?
Etwa 1,64.
Wofür sind Perzentile in der Psychologie nützlich?
Um Schwellenwerte für Testergebnisse oder Klassifikationen festzulegen (z.B. die besten 10%)
Warum ist die Normalverteilung in der Statistik so wichtig?
Weil viele Merkmale der Natur und Gesellschaft ihr annähernd folgen und sie die Basis für viele Verfahren bildet.
Was besagt der zentrale Grenzwertsatz?
Mittelwerte von Stichproben sind bei großem n ungefähr normalverteilt, unabhängig von der Ursprungsverteilung.
Wie entsteht die Normalverteilung in der Fehlertheorie?
Viele kleine, unabhängige Fehler addieren sich und ergeben eine Normalverteilung.
Was bedeutet „mathematische Basisverteilung“ im Zusammenhang mit der Normalverteilung?
Viele andere Verteilungen lassen sich mathematisch aus ihr ableiten oder annähern.
zb Binomialverteilung
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