Was ist eine Zufallsvariable und wozu dient sie?
Worin unterscheiden sich diskrete und stetige Zufallsvariablen?
Diskrete Zufallsvariablen: Nehmen abzählbar viele Werte an (z. B. {0,1,2,…}).
Stetige Zufallsvariablen: Nehmen überabzählbar viele Werte an (z. B. alle reellen Zahlen in einem Intervall).
Wie wird eine Zufallsvariable formal definiert?
Was ist der Unterschied zwischen der Zufallsvariable X und der Realisierung x?
X: Zufallsvariable (Großbuchstabe) – steht für die Funktion
x: Realisierung – ein konkreter Wert, den X annehmen kann
Wie funktioniert eine Zufallsvariable beim Würfeln?
Warum nutzt man Zufallsvariablen in der Statistik?
Sie übersetzen reale, zufällige Ereignisse in mathematisch greifbare Zahlen, die man statistisch analysieren kann (Wahrscheinlichkeiten, Mittelwerte, Streuung etc.).
Was beschreibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable?
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = x_i) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Ausprägung x_i der Zufallsvariable X eintritt.
Für diskrete Zufallsvariablen ist sie die Grundlage der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Welche zwei Bedingungen muss eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = x_i) erfüllen?
Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsfunktion beim Würfeln mit einem fairen Würfel aus?
Wie unterscheidet sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion von einer Häufigkeitsverteilung?
Wahrscheinlichkeit: Theoretische, modellhafte Aussage über die „Chance“ eines Ergebnisses.
Häufigkeit: Beobachtete relative Anzahl in einer Stichprobe.
Wichtig: Bei Balkendiagrammen von PMFs (probability mass function/Wahrscheinlichkeitsfunktion) werden Wahrscheinlichkeiten, nicht Häufigkeiten dargestellt!
Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Augensumme zweier Würfel aus?
Ergebnisraum: 36 Kombinationen von (1,1), …, (6,6)
Zufallsvariable X = \text{Augensumme}
Mögliche Werte: x = 2,3,…,12
Was bedeutet P(X = 8) = 5/36 bei zwei Würfeln?
Es gibt 5 Kombinationen von Würfen, die die Augensumme 8 ergeben:
(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)
→ Die Wahrscheinlichkeit, dass X = 8, ist deshalb 5/36
Was beschreibt die Verteilungsfunktion F(x) einer diskreten Zufallsvariable?
Wie sieht die Verteilungsfunktion grafisch aus?
Die CDF (Cumulative Distribution Function) ist eine Treppenfunktion: Sie „springt“ an den Stellen, an denen X = x_i möglich ist.
Jeder Sprung entspricht der Wahrscheinlichkeit P(X = x_i).
Der letzte Wert der Funktion ist immer 1.
Wie groß ist F(6), also die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme zweier Würfel höchstens 6 beträgt?
Wie hängen Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion zusammen?
Wie lautet die Definition der Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen?
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall a \leq X \leq b bei einer diskreten Zufallsvariablen?
Wie berechnet man den Erwartungswert m (auch: E(X)) einer diskreten Zufallsvariablen?
Der Erwartungswert m ist der gewichtete Mittelwert aller möglichen Ausprägungen, gewichtet mit ihren Wahrscheinlichkeiten:
Was sagt der Erwartungswert über eine Zufallsvariable aus?
Der Erwartungswert E(X) gibt an, welcher Wert der Zufallsvariable im Mittel zu erwarten ist, wenn man das Zufallsexperiment sehr oft wiederholt.
Er entspricht der Lage der theoretischen Verteilung (nicht eines Datensatzes!).
Wie groß ist der Erwartungswert beim einmaligen Werfen eines fairen Würfels?
Das ist der theoretische Mittelwert – auch wenn 3,5 nie geworfen werden kann.
Wie berechnet man die Varianz s^2 einer diskreten Zufallsvariablen?
Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert.
Sie beschreibt die Streuung der Werte um den Erwartungswert.
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