Wie berechne ich den Erwartungswert bei Risiko?

Gewählt wird die Alternative mit dem höchsten Erwartungswert, man spricht von einem risikoneutralem Entscheider!

Wie berechne ich die Varianz bei Risiko?

Welche Entscheidung wird hier gewählt?

Was ist das Bernoulli-Prinzip?

Das Bernoulli-Prinzip berücksichtigt bei Entscheidungen unter Risiko nicht nur den monetären Erwartungswert, sondern auch die Risikoeinstellung des Entscheidungsträgers über eine Nutzenfunktion. Es ist Teil der Erwartungsnutzentheorie.

📌 Ziel: Maximierung des erwarteten Nutzens statt des Erwartungswerts.

📌 Merke:Das Bernoulli-Prinzip eignet sich besonders für Entscheidungen unter Unsicherheit, wenn individuelle Risikopräferenzen eine Rolle spielen.

Zustandsbaum ist nicht gleich Entscheidungsbaum, Zustandsbaum sieht folgendermaßen aus ->

Was ist das Roll-Back-Verfahren?

Entscheidungsbaum wird von den Endpunkten zurückgerechnet. In jedem Knoten wird die beste Entscheidung getroffen (max. Erwartungswert oder Nutzen).

→ Nützlich bei mehrstufigen Entscheidungen mit Wahrscheinlichkeiten.

• Man fängt mit dem Knoten an welcher am meisten rechts liegt

• Höchste Wert wird eingetragen, die geringeren gestrichen

• Weiter vorgehen bis alle Punkte berechnet sind

Beispiel:

Entscheidungsknoten = Quadrat -> Hier werden Entscheidungen getroffen

Wahrscheinlichkeitsknoten = Kreis -> Unsicheres Ergebnis

Endknoten = Dreieck -> Das Ende

Bei den Qudaraten werden die einzelnen Ewartungswerte berechnet und dann auch schon eliminiert!

Wenn schon Vierecke zwischendrin im Laufe des Baumes zu sehen sind werden die kleineren Erwartungswerte hier schon elimiert und nicht weiter mit verrechnet!

Er ermöglicht es die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B zu bestimmen, falls eine der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten bereits bekannt ist. Dieser mathematische Satz ist auch unter den Namen  Formel von Bayes oder Bayes Theorem bekannt.

🎯 Ziel der Portfoliotheorie

Die Portfoliotheorie (auch Markowitz Portfolio Theory oder Portfolio Selection Theory) hat das Ziel, ein optimales Portfolio zu erstellen, das bei gegebenem Risiko die höchstmögliche Rendite erzielt – oder umgekehrt: bei gegebener Rendite das geringstmögliche Risiko.

📌 Wichtige Konzepte

1. Diversifikation

• Durch Kombination verschiedener Wertpapiere kann das Gesamtrisiko eines Portfolios reduziert werden.

• Ziel ist es, unsystematisches Risiko (firmenspezifisch) zu eliminieren.

• Systematisches Risiko (Marktrisiko) bleibt bestehen.

2. Korrelation

• Die Korrelation zwischen zwei Wertpapieren beeinflusst die Risikostreuung:

  • +1: perfekt positiv → kein Diversifikationseffekt

  • 0: keine Korrelation → gute Diversifikation

  • –1: perfekt negativ → maximale Risikoreduktion

3. Erwartungswert und Standardabweichung

• Der Erwartungswert (Mittelwert) der Rendite misst die durchschnittliche erwartete Rendite.

• Die Standardabweichung misst das Risiko (Volatilität) der Rendite.

🧠 Annahmen der Theorie

• Anleger sind risikoscheu und bevorzugen höhere Renditen bei gleichem Risiko.

• Alle Anleger haben homogene Erwartungen.

• Es gibt einen vollkommenen Kapitalmarkt (keine Steuern, Transaktionskosten etc.).

• Die Renditen sind normalverteilt.

📐 Vorgehen zur Portfoliooptimierung

1. Sammle Daten zu erwarteten Renditen, Standardabweichungen und Korrelationen der Wertpapiere.

2. Berechne die Portfoliorendite und das Portfoliorisiko für verschiedene Kombinationen.

3. Stelle effiziente Portfolios zusammen (Effizienzlinie).

4. Wähle das Portfolio mit dem besten Rendite-Risiko-Verhältnis (z. B. höchster Sharpe-Ratio).

📊 Effizienzlinie & effiziente Portfolios

• Die Effizienzlinie zeigt alle Portfolios, die bei gegebenem Risiko die höchste Rendite bieten.

• Portfolios unterhalb der Linie sind ineffizient.

• Portfolios auf der Linie sind optimal.

⚖️ Grenzen der Theorie

• In der Realität sind Märkte nicht vollkommen.

• Vergangenheitsdaten sind keine Garantie für zukünftige Entwicklungen.

• Die Berechnung kann bei vielen Wertpapieren sehr komplex werden.

🔢 1. Erwartete Portfoliorendite

Die erwartete Rendite eines Portfolios E(Rp)E(Rp​) ist der gewichtete Durchschnitt der erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere:

E(Rp)=w1⋅E(R1)+w2⋅E(R2)+⋯+wn⋅E(Rn)E(Rp​)=w1​⋅E(R1​)+w2​⋅E(R2​)+⋯+wn​⋅E(Rn​)

Dabei:

• wiwi​: Anteil des Wertpapiers ii am Gesamtportfolio

• E(Ri)E(Ri​): Erwartete Rendite des Wertpapiers ii

📉 2. Risiko (Varianz und Standardabweichung)

Die Varianz des Portfolios (also das Risiko) berücksichtigt nicht nur die Einzelrisiken, sondern auch die Korrelation zwischen den Wertpapieren:

Für ein 2-Wertpapier-Portfolio:

σp2=w12⋅σ12+w22⋅σ22+2⋅w1⋅w2⋅ρ12⋅σ1⋅σ2σp2​=w12​⋅σ12​+w22​⋅σ22​+2⋅w1​⋅w2​⋅ρ12​⋅σ1​⋅σ2​

Dabei:

• σp2σp2​: Varianz des Portfolios

• σiσi​: Standardabweichung (Risiko) des Wertpapiers ii

• ρ12ρ12​: Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Wertpapieren

Die Standardabweichung σpσp​ ist dann einfach die Wurzel der Varianz:

σp=σp2σp​=σp2​​

📊 3. Effizienzlinie (Efficient Frontier)

• Durch Variation der Gewichte wiwi​ lassen sich viele Portfolios mit unterschiedlichem Risiko und Rendite erzeugen.

• Die Effizienzlinie ist die Menge aller Portfolios, die bei gegebenem Risiko die höchste Rendite bieten.

• Portfolios unterhalb der Linie sind ineffizient.

🧠 Beispielhafte Schritte zur Berechnung eines optimalen Portfolios:

1. Daten sammeln: Erwartete Renditen, Standardabweichungen, Korrelationen

2. Portfoliorendite berechnen mit der Gewichtungsformel

3. Portfoliorisiko berechnen mit der Varianzformel

4. Effiziente Portfolios identifizieren

5. Optimales Portfolio wählen (z. B. mit höchster Sharpe-Ratio)

🎯 Ziel der Portfoliotheorie

Die Portfoliotheorie (auch Markowitz Portfolio Theory oder Portfolio Selection Theory) hat das Ziel, ein optimales Portfolio zu erstellen, das bei gegebenem Risiko die höchstmögliche Rendite erzielt – oder umgekehrt: bei gegebener Rendite das geringstmögliche Risiko.

📌 Wichtige Konzepte

1. Diversifikation

• Durch Kombination verschiedener Wertpapiere kann das Gesamtrisiko eines Portfolios reduziert werden.

• Ziel ist es, unsystematisches Risiko (firmenspezifisch) zu eliminieren.

• Systematisches Risiko (Marktrisiko) bleibt bestehen.

2. Korrelation

• Die Korrelation zwischen zwei Wertpapieren beeinflusst die Risikostreuung:

  • +1: perfekt positiv → kein Diversifikationseffekt

  • 0: keine Korrelation → gute Diversifikation

  • –1: perfekt negativ → maximale Risikoreduktion

3. Erwartungswert und Standardabweichung

• Der Erwartungswert (Mittelwert) der Rendite misst die durchschnittliche erwartete Rendite.

• Die Standardabweichung misst das Risiko (Volatilität) der Rendite.

🧠 Annahmen der Theorie

• Anleger sind risikoscheu und bevorzugen höhere Renditen bei gleichem Risiko.

• Alle Anleger haben homogene Erwartungen.

• Es gibt einen vollkommenen Kapitalmarkt (keine Steuern, Transaktionskosten etc.).

• Die Renditen sind normalverteilt.

📐 Vorgehen zur Portfoliooptimierung

1. Sammle Daten zu erwarteten Renditen, Standardabweichungen und Korrelationen der Wertpapiere.

2. Berechne die Portfoliorendite und das Portfoliorisiko für verschiedene Kombinationen.

3. Stelle effiziente Portfolios zusammen (Effizienzlinie).

4. Wähle das Portfolio mit dem besten Rendite-Risiko-Verhältnis (z. B. höchster Sharpe-Ratio).

📊 Effizienzlinie & effiziente Portfolios

• Die Effizienzlinie zeigt alle Portfolios, die bei gegebenem Risiko die höchste Rendite bieten.

• Portfolios unterhalb der Linie sind ineffizient.

• Portfolios auf der Linie sind optimal.

⚖️ Grenzen der Theorie

• In der Realität sind Märkte nicht vollkommen.

• Vergangenheitsdaten sind keine Garantie für zukünftige Entwicklungen.

• Die Berechnung kann bei vielen Wertpapieren sehr komplex werden.

🔢 1. Erwartete Portfoliorendite

Die erwartete Rendite eines Portfolios E(Rp)E(Rp​) ist der gewichtete Durchschnitt der erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere:

E(Rp)=w1⋅E(R1)+w2⋅E(R2)+⋯+wn⋅E(Rn)E(Rp​)=w1​⋅E(R1​)+w2​⋅E(R2​)+⋯+wn​⋅E(Rn​)

Dabei:

• wiwi​: Anteil des Wertpapiers ii am Gesamtportfolio

• E(Ri)E(Ri​): Erwartete Rendite des Wertpapiers ii

📉 2. Risiko (Varianz und Standardabweichung)

Die Varianz des Portfolios (also das Risiko) berücksichtigt nicht nur die Einzelrisiken, sondern auch die Korrelation zwischen den Wertpapieren:

Für ein 2-Wertpapier-Portfolio:

σp2=w12⋅σ12+w22⋅σ22+2⋅w1⋅w2⋅ρ12⋅σ1⋅σ2σp2​=w12​⋅σ12​+w22​⋅σ22​+2⋅w1​⋅w2​⋅ρ12​⋅σ1​⋅σ2​

Dabei:

• σp2σp2​: Varianz des Portfolios

• σiσi​: Standardabweichung (Risiko) des Wertpapiers ii

• ρ12ρ12​: Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Wertpapieren

Die Standardabweichung σpσp​ ist dann einfach die Wurzel der Varianz:

σp=σp2σp​=σp2​​

📊 3. Effizienzlinie (Efficient Frontier)

• Durch Variation der Gewichte wiwi​ lassen sich viele Portfolios mit unterschiedlichem Risiko und Rendite erzeugen.

• Die Effizienzlinie ist die Menge aller Portfolios, die bei gegebenem Risiko die höchste Rendite bieten.

• Portfolios unterhalb der Linie sind ineffizient.

🧠 Beispielhafte Schritte zur Berechnung eines optimalen Portfolios:

1. Daten sammeln: Erwartete Renditen, Standardabweichungen, Korrelationen

2. Portfoliorendite berechnen mit der Gewichtungsformel

3. Portfoliorisiko berechnen mit der Varianzformel

4. Effiziente Portfolios identifizieren

5. Optimales Portfolio wählen (z. B. mit höchster Sharpe-Ratio)

🎯 Ziel des CAPM

Das CAPM beschreibt den Zusammenhang zwischen dem systematischen Risiko eines Wertpapiers und dessen erwarteter Rendite. Es dient dazu, den fairen Preis eines Wertpapiers zu bestimmen und zu analysieren, ob eine Investition angemessen vergütet wird.

📌 Wichtige Annahmen

1. Vollkommener Kapitalmarkt:

   • Kapital kann zum gleichen risikolosen Zinssatz aufgenommen und angelegt werden.

   • Keine Transaktionskosten oder Steuern.

2. Homogene Erwartungen:

   • Alle Anleger haben die gleiche Erwartung über zukünftige Renditen.

3. Markteffizienz:

   • Alle Informationen sind sofort und vollständig verfügbar.

   • Alle Anleger besitzen dieselbe Effizienzlinie.

📐 Formel des CAPM

Die erwartete Rendite eines Wertpapiers wird berechnet mit:

E(Ri)=Rf+βi⋅(E(Rm)−Rf)

Dabei:

• E(Ri): Erwartete Rendite des Wertpapiers

• Rf Risikoloser Zinssatz

• βi: Beta-Faktor des Wertpapiers (Maß für systematisches Risiko)

• E(Rm): Erwartete Rendite des Marktportfolios

• (E(Rm)−Rf): Marktrisikoprämie

🔍 Vorgehen bei Anwendung

1. Bestimme den risikolosen Zinssatz Rf​

2. Schätze die erwartete Marktrendite E(Rm)

3. Berechne den Beta-Faktor βi des Wertpapiers

4. Setze alles in die CAPM-Formel ein, um die erwartete Rendite zu erhalten

5. Vergleiche mit tatsächlicher Rendite, um Über- oder Unterbewertung zu erkennen

📊 Wichtige Konzepte

• Beta-Faktor: Misst die Volatilität eines Wertpapiers im Vergleich zum Gesamtmarkt.

• Security Market Line (SML): Grafische Darstellung des CAPM – zeigt die Beziehung zwischen Risiko (Beta) und erwarteter Rendite.

• Capital Market Line (CML): Zeigt die optimale Kombination aus risikofreier Anlage und Marktportfolio.

⚖️ Kritik am CAPM

• Annahmen wie vollkommener Markt und homogene Erwartungen sind in der Realität oft nicht erfüllt.

• Das Modell berücksichtigt nur systematisches Risiko, nicht unsystematisches Risiko.

• Empirische Tests zeigen, dass die tatsächlichen Renditen nicht immer mit dem CAPM übereinstimmen.

❓ Was ist das Ziel?

Die Markowitz-Portfoliotheorie (1952) verfolgt das Ziel, ein effizientes Portfolio zu konstruieren, das bei gegebenem Risiko die maximale erwartete Rendite erzielt bzw. bei gegebener Rendite das geringstmögliche Risiko aufweist.

🔍 Grundidee:

Durch Diversifikation (Streuung auf mehrere Anlagen) kann das Gesamtrisiko reduziert werden, wenn die Anlagen nicht perfekt positiv korreliert sind.

🧠 Vorgehen in der Klausur:

1. Erwartungswert jeder Anlage (μi) bestimmen

2. Renditeerwartung des Portfolios (μP​) berechnen

3. Risiko (Varianz/Standardabweichung) des Portfolios bestimmen:

   • Für zwei Titel: Formel oben verwenden

   • Für mehr: Kovarianzmatrizen

4. Effizienzlinie (Efficient Frontier) aufstellen: → Kombinationen mit bester Rendite-Risiko-Relation

5. Optimales Portfolio wählen:

   • Risikoneutral: höchste Rendite

   • Risikoscheu: bestes Verhältnis Rendite / Risiko

   • Mit risikofreiem Titel: Tangente durch risikolosen Zins → Capital Market Line

📌 Merke:

• Nur Korrelation zwischen Titeln erlaubt Diversifikation!

• Wenn ρ=1\rho = 1ρ=1: keine Risikominderung

• Wenn ρ=−1\rho = -1ρ=−1: Risiko kann auf 0 reduziert werden!

📈 Effiziente Portfolios:

Ein Portfolio ist effizient, wenn keine andere Kombination existiert mit

• gleicher Rendite bei weniger Risiko

• gleichem Risiko bei mehr Rendite

Die SML zeigt den Zusammenhang zwischen dem systematischen Risiko (Beta) eines Wertpapiers und seiner erwarteten Rendite gemäß dem CAPM.

🔹 Formel der SML:

🔹 Vorgehen zur Berechnung:

1. Ermittle den risikolosen Zinssatz Rf (z. B. Staatsanleihen).

2. Schätze die erwartete Marktrendite E(Rm).

3. Bestimme den Beta-Faktor βi des Wertpapiers.

4. Setze alles in die Formel ein.

📊 2. Capital Market Line (CML)

Die CML zeigt die optimale Kombination aus risikofreier Anlage und Marktportfolio. Sie gilt nur für effiziente Portfolios.

🔹 Vorgehen zur Berechnung:

1. Ermittle Rf, μ , σm.

2. Wähle ein Portfolio mit Risiko σp.

3. Berechne die erwartete Rendite E(Rp) mit obiger Formel.

🧠 Unterschied SML vs. CML

Wird verwenden wenn man sich zwischen zwei Alternativen unterscheiden muss

Das µ-σ-Prinzip bewertet Entscheidungen unter Risiko anhand zweier Kriterien:

1. Erwartungswert (µ) – misst die durchschnittliche Auszahlung

2. Standardabweichung (σ) – misst das Risiko (Schwankung)

Entscheidungsregel:

• Bei gleichem µ: Wähle die Alternative mit geringerem σ

• Bei gleichem σ: Wähle die Alternative mit höherem µ

• Bei Konflikt: Subjektive Abwägung je nach Risikoneigung

Variablen:

• μ:Erwartungswert = durchschnittlich erwartete Auszahlung

• σ : Standardabweichung = Maß für das Risiko

• Das Modell unterstellt, dass Entscheider risikoavers sind und Nutzen aus höherer Sicherheit ziehen.

❓ Ziel

Entscheidungen unter Risiko so treffen, dass möglichst hohe erwartete Auszahlung (μ) bei möglichst geringem Risiko (σ) erzielt wird. Das Risiko wird ausschließlich mit Varianz σ² bzw. Standardabweichung σ gemessen.

🧠 Vorgehen zum Berechnen & Vergleichen

🔍 Merksätze

• μ ↑ gut, σ ↓ gut – aber beide erst gemeinsam liefern die Entscheidung.

• Das μ‑σ‑Prinzip entspricht der Markowitz‑Mean‑Variance‑Logik und ist Grundlage von CML & CAPM.

• Nur bei normalverteilten Ergebnissen oder quadratischem Nutzen ist es voll konsistent zum Bernoulli‑Prinzip.

*

📘 7. Value at Risk (VaR)

🟦 Definition:

• Verlust, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird

🟦 Formel:

VaR=V⋅(μ−z⋅σ)

📘 Variablen erklärt:

📌 Interpretation:

Der VaR gibt an, wie viel Geld man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit verlieren könnte oder mehr, z. B.:

„Mit 99 % Wahrscheinlichkeit verliere ich nicht mehr als 1.128.760 € in einem Jahr.“

z:

Ein Quantil ist ein Schwellenwert, der eine Verteilung in Bereiche unterteilt. Beim 1 %-Niveau bedeutet das:

„Nur 1 % der Werte liegen unterhalb dieses Schwellenwerts.“

In der Standardnormalverteilung (Mittelwert = 0, Standardabweichung = 1) ist das 1 %-Quantil:

• –2,3263, weil nur 1 % der Werte kleiner als –2,3263 sind.

• Es wird oft als z-Wert bezeichnet.

📊 Bezug zum Value at Risk (VaR):

In der VaR-Berechnung wird dieser z-Wert verwendet, um zu bestimmen, wie stark ein Verlust im Extremfall ausfallen kann:

• z = –2,3263 → 1 %-Niveau → 99 % Sicherheit

• z = –1,6449 → 5 %-Niveau → 95 % Sicherheit

📘 6. Vollständiger Finanzplan (VOFI)

🟦 Vorgehen:

1. Zahlungsströme erfassen

2. Finanzierung (EK, FK, Disagio, Zinsen)

3. Zwischenverzinsung (Habenzins)

4. Endwert berechnen

5. Vergleich mit Opportunitätsendwert

p= a-bx

Bedeutung der Parameter:

• p(x): Preis in Abhängigkeit der Absatzmenge x

• a: Preis, bei dem die nachgefragte Menge null ist (also der maximale Preis, den kein Kunde mehr zahlt)

• b: Steigung der Funktion, also wie stark der Preis bei zusätzlichem Absatz sinkt. b>0 (da steigender Absatz mit sinkendem Preis einhergeht)

1. Deckungsbeitrag auftstellen DB = p * x -Kv

2. Deckungsbeitrag ableiten DB’ =! 0

3. Nach x -> auflösen

-> Lagrange Ansatz sobald es eine Limitierung (Nebenbedingung) wie z.B. durch die Anzahl von Sitzplätzen gibt

-> Fixkosten werden beim Lagrange Ansatz nicht berücksichtigt!

-> Am Ende der Rechnung ergibt Lamda den zusätzlichen gewinn pro weiteren Sitzplatz an

✅ Interpretation

• x’ ist die absatzoptimale Menge, also die Menge, bei der der Deckungsbeitrag (und unter bestimmten Annahmen auch der Gewinn) maximal ist.

• Diese Vorgehensweise entspricht der Gewinnmaximierung beim Monopolisten, der nur variable Stückkosten hat.

• Falls Fixkosten vorhanden sind, müssen sie bei der Gewinnfunktion noch abgezogen werden, beeinflussen aber nicht die Ableitung.

Ich kann den Gewinn der ersten Periode einfach als Kapitalwert nenn und den Gewinn der zweiten in die Formel einsetzen für den Kapitalwert

📘 1. Optimierung mit einer Variablen

🔹 Typisches Beispiel:

• Preis-Absatz-Funktion: p(x)=a−b⋅x

• Kostenfunktion: K(x)=k⋅x+F

• Gewinnfunktion:

  G(x)=p(x)⋅x−K(x)

🔹 Vorgehen:

🧠 Worauf ist zu achten?

Durchschnittlich quadratische Abweichung einer Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert

Beschreibt die weit die Werte durchschnittlich um den Erwartungswert verteilt sind.

Pi = Wahrscheinlichkeit das Xi eintritt

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie sehr Werte von ihrem eigenen Durchschnittswert abweichen. Den Durchschnittswert nennst du auch Mittelwert.

Schritte

1. Mittelwert berechnen

2. Berechnung der relativen Häufigkeit  

3. In die Formel einsetzen

🎯 Ziel der Tobin-Separation

Die Tobin-Separation trennt die Investitionsentscheidung in zwei voneinander unabhängige Schritte:

1. Strukturentscheidung: Bestimmung des optimalen risikobehafteten Portfolios – unabhängig von der Risikoeinstellung des Anlegers.

2. Volumenentscheidung: Festlegung, wie viel in dieses Marktportfolio (vs. risikofreies Asset) investiert wird – abhängig von der individuellen Risikoaversion.

✅ Schritt 1: Anwendung des μ-σ-Prinzips (Mean-Variance-Prinzip)

Beim μ-σ-Prinzip wird jede Anlagemöglichkeit durch zwei Werte beschrieben:

• μ (mu) = erwartete Rendite

• σ (sigma) = Risiko (Standardabweichung)

Ziel: Finde alle Kombinationen von riskanten Anlagen, bei denen du für ein gegebenes Risiko die bestmögliche Rendite bekommst.

Diese „besten Kombinationen“ liegen auf der sogenannten Effizienzlinie.

✅ Schritt 2: Risikofreie Anlage dazunehmen

Nun kommt der risikofreie Zins rf (z. B. Tagesgeld oder Staatsanleihen).

Du zeichnest eine Linie vom Punkt (0,rf) zur Effizienzlinie. Wo diese Linie die Effizienzlinie berührt (Tangente), liegt das sogenannte Marktportfolio (M).

Das Marktportfolio enthält nur riskante Anlagen in einer optimalen Mischung – und alle Anleger investieren in genau dieses Portfolio, unabhängig von ihrer Risikoneigung.

✅ Schritt 3: Individuelle Mischung bestimmen

Jetzt kommt dein eigener Anteil ins Spiel:

Du entscheidest, wie viel du in das Marktportfolio investieren willst, den Rest steckst du in den risikofreien Zins.

Dazu gibt es zwei wichtige Formeln:

📐 Erwartete Rendite deines Portfolios: