Mathe II

Ein Vektorraum (genauer R-Vektorraum) ist eine Menge V, auf der eine Addition und eine

Skalarmultiplikation gegeben sind:

V ×V →V (v,w) →v+ w (Vektoraddition)

R ×V →V (λ,v) →λv (Skalarmultiplikation)

(V,+) ist eine additive Gruppe:

Assoziativgesetz (u+ v) + w = u+ (v+ w)

Kommutativgesetz v+ w = w+ v

Existenz des Nullvektors v+ 0 = v f¨

ur v∈V

Existenz des inversen Elements v+ (−v) = 0 f¨

ur v∈V.

Operation von R auf V (f¨

ur v,w∈V und λ,µ∈R):

Assoziativgesetz λ(µv) = (λµ)v

Operation der 1 1·v = v

Distributivgesetz 1 λ(v+ w) = λv+ λw

Distributivgesetz 2 (λ+ µ)v = λv+ µv.

Sei V Euklidischer Vektorraum. Eine lineare

Abbildung (oder Operator) f : V →V heißt symmetrisch, wenn gilt:

⟨f(v),w⟩= ⟨v,f(w)⟩ f¨ ur alle v,w∈V.

Sei V ein R-Vektorraum und f : V →V linear. Dann heißt

v∈V, v̸= 0, Eigenvektor von f wenn

f(v) = λv f¨ ur ein λ∈R. (7.17)

Das zugeh¨ orige λ heißt Eigenwert von f.

Im Fall v= 0 ist die Gleichung f(v) = λvtrivial, beide Seiten sind Null egal was λist. Darum

wird dieser Fall ausgenommen.

Zwei Unterräume X,Y ⊂V heißen komplementär, bzw.

V heißt direkte Summe von X und Y (Notation: V= X⊕Y), wenn gilt:

X+ Y= V und X∩Y= {0}.

Sei M eine nichtleere Menge von Vektoren in ei-

nem Vektorraum V. Der von M erzeugte Unterraum oder Span von M (Notation: Span M)

ist die Menge aller x∈V der Form

x= λ1x1 +...+ λkxk wobei k∈N, xi ∈M, λi ∈R. (1.1)

Eine (endliche) Summe wie in (1.1) heißt Linearkombination von x1,...,xk.

Ein Vektorraum V heißt endlichdimensional, wenn

es eine endliche Menge M ⊂V gibt mit V = Span M, andernfalls unendlichdimensional.

Die Vektoren v1,...,vk ∈ V heißen linear

abh¨ angig, wenn es λ1,...,λk ∈R gibt, die nicht alle Null sind und so dass

λ1v1 +...+ λkvk = 0.

Andernfalls heißen v1,...,vk linear unabhängig.

Bemerkung. Oft geht es darum nachzuweisen dass gegebene Vektoren v1,...,vk linear un-

abh¨ angig sind. Dazu muss folgende Implikation gezeigt werden:

λ1v1 +...+ λkvk = 0 ⇒ λ1 =

...

= λk = 0.

Um zu prüfen einfach schauen ob das LGS mit den Vektoren mal Lambda ein anderes Lambda ausser 0 ausgibt. Wenn nur ein Lambda 0 rauskommt sind sie unabängig

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Eine nummerierte

Menge v1,...,vn ∈V heißt Basis von V, wenn gilt

xk =

λjvj. (1.2)

(1) Span {v1,...,vn}= V

(2) v1,...,vn sind linear unabh¨ angig.

Bemerkung. Die Eigenschaften (1) und (2) bleiben bei Umordnung erhalten, also ist eine

Permutation vi1 ,...,vin einer Basis wieder eine Basis, allerdings nicht dieselbe da es auf die

Reihenfolge ankommt.

V sei durch v1,... vm erzeugt, und x1,...,xk ∈V seien linear

unabh¨ angig. Dann gibt es verschiedene j1,...,jk ∈{1,...,m}, so dass V auch erzeugt wird

wenn wir vj1 ,...,vjk durch x1,...,xk ersetzen. Insbesondere gilt k≤m.

Seien V,W R-Vektorr¨

aume. F : V →W heißt lineare Abbildung (Notation:

F ∈L(V,W)), wenn gilt:

F(x+ y) = F(x) + F(y) f¨ ur alle x,y∈V,

F(λx) = λF(x) f¨ ur alle x∈V, λ∈R.

Bei linearen Abbildungen schreibt manchmal Fxstatt F(x). Die Linearit¨ at bedeutet, dass F

mit beliebigen Linearkombinationen vertauscht:

F(λ1x1 +...+ λkxk) = λ1F(x1) +...+ λkF(xk).

Sei F : V →W eine lineare Abbildung.

• Der Kern von F ist ker F= {x∈V : F(x) = 0}.

• Das Bild von F ist Bild F= {F(x) : x∈V}.

13Beides sind Unterr¨ aume, genauer ist ker F ein Unterraum von V und Bild F ein Unterraum

von W. F¨ ur den Kern ergibt sich das aus der Rechnung, f¨

ur x1,2 ∈ker F und λ1,2 ∈R,

F(λ1x1 + λ2x2) = λ1F(x1) + λ2F(x2) = 0, also λ1x1 + λ2x2 ∈ker F.

F¨ ur Bild F ist das Argument wie folgt: seien w1,2 ∈Bild F, das heißt es gibt x1,2 ∈V mit

F(x1,2) = w1,2. Dann folgt f¨

ur λ1,2 ∈R

λ1w1 + λ2w2 = λ1F(x1) + λ2F(x2) = F(λ1x1 + λ2x2) ∈Bild A.

Die Dimension des Raums Bild F wird als Rang von F bezeichnet (Notation: rang F). Die

Bedeutung der beiden Unterr¨ aume liegt in folgenden Tatsachen.

F¨ ur eine lineare Abbildung F : V →W gilt:

F injektiv ⇔ ker F= {0},

F surjektiv ⇔ Bild F= W.

P : V →V linear heißt Projektion, wenn P ◦P= P (kurz P^2 = P).

so gilt

Py= y f¨

ur v∈Bild P und V = Bild P ⊕ker P.

Sei F ∈L(V,W) mit dim V <∞. Dann gilt

dim V = dim Bild F + dim ker F.

Für A∈Rm×n gilt

dim Bild AT = dim Bild A.

Beweis: Wir berechnen f¨

ur w∈Rm

w∈ker AT ⇔ ⟨v,ATw⟩= 0 f¨ ur alle v∈Rn

⇔ ⟨Av,w⟩= 0 f¨ ur alle v∈Rn

⇔ w∈(Bild A)⊥

.

Also ergibt sich mit der Dimensionsformel f¨

ur AT

dim Bild AT

= m−dim ker AT

= m−dim(Bild A)⊥= dim Bild A.

Eine Matrix A∈Rn×n heißt invertierbar, wenn es B ∈Rn×n gibt mit

AB= BA= En. (4.10)

Die Matrix B ist dann eindeutig bestimmt, sie heißt Inverse von A, Bezeichnung: A−1

.

Die Eindeutigkeit der inversen Matrix ergibt sich wie folgt.

Es gilt

det(AB) = det(A) det(B) f¨ ur alle A,B ∈Rn×n

Eine Matrix A ∈ Rn×n ist genau invertierbar, wenn

det(A)ungleich 0. In diesem Fall gilt

det(A^−1) = 1/det(A).

Definition 1.1 (offene Menge) Eine Menge D⊂Rn heißt offen, wenn es zu jedem x∈D

ein ε>0 gibt mit Bε(x) ⊂D.

Eine Menge D⊂Rn heißt beschr¨ ankt, wenn es ein K ≥

0 gibt mit |x|≤K f¨ ur alle x∈D.

Sei Ω ⊂Rn offen und k ∈N0 ∪{∞}. Wir bezeichnen mit

Ck(Ω) die Menge aller k-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf Ω, das heißt alle par-

tiellen Ableitungen ∂i1 ...∂ijf der Ordnung 0 ≤j ≤k (bzw. j < ∞im Fall k= ∞) sind

definiert und stetig auf Ω.

Wir wollen nun zeigen, dass die Operatoren ∂i und ∂j auf C2-Funktionen vertauschen. Bei-

spiele zeigen, dass dies nicht allein aus der Existenz der Ableitungen ∂i∂jf und ∂j∂if folgt,

die Stetigkeit dieser Ableitungen ist wesentlich.

Egal ob ich erst nach j oder erst nach i ableite

Gute Frage – das ist ein sehr zentrales Konzept in Analysis, Physik und Technik. Hier ist eine verständliche Erklärung:

🔍 Was ist der Laplace-Operator?

Der Laplace-Operator (auch Laplace'scher Operator, Laplacian) ist ein Differentialoperator, der auf eine Funktion angewendet wird. Er misst, wie stark sich die Funktion an einem Punkt von ihrem lokalen Durchschnitt unterscheidet.

In kartesischen Koordinaten (z. B. im R2 oder R3) ist der Laplace-Operator definiert als:

🔹 In R2:

Für eine Funktion f(x,y):

Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2

🔹 In R3:

Für eine Funktion f(x,y,z):

Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2

Er ist also einfach die Summe der zweiten partiellen Ableitungen.

🎼 Was sind harmonische Funktionen?

Eine harmonische Funktion ist eine Funktion, für die gilt:

Δf=0

Also: der Laplace-Operator angewendet auf f ergibt null.

Das nennt man auch die Laplace-Gleichung.

🧠 Was bedeutet das anschaulich?

Harmonische Funktionen sind besonders glatte Funktionen, bei denen es keine lokalen Extreme gibt, außer an den Rändern des betrachteten Bereichs. Beispiele:

• Temperaturverteilung im stationären Zustand

• Elektrisches Potential in ladungsfreien Gebieten

• Höhenprofil eines ruhigen Sees

• Gravitationspotential außerhalb von Massen

→ An jedem Punkt ist der Funktionswert gleich dem Mittelwert in der Umgebung → „harmonisch“ im wörtlichen Sinn.

📚 Beispiele für harmonische Funktionen

1. f(x,y)=x2−y2 →

   Δf=2−2=0⇒harmonisch

2. f(x,y)=ln⁡(x2+y2) für (x,y)≠(0,0) → harmonisch

3. f(x,y)=excos⁡(y) → nicht harmonisch (Laplace ist hier ≠0)

🔄 Zusammenfassung

Wenn du magst, kann ich dir ein Beispiel mit Randbedingungen zeigen oder auch, wie man das in der Physik oder Elektrotechnik konkret anwendet.

🔁 Kettenregel entlang Kurven (Satz 3.2)

Gegeben:

• f∈C1(Ω)

• x(t)∈C1((a,b),Rn), Kurve in Ω

• x(t0)=x0

Dann gilt:

ddtf(x(t))∣t=t0=Df(x0)⋅x′(t0)

Oder ausgeschrieben:

ddtf(x(t))=∑j=1n∂f∂xj(x(t))⋅dxjdt

🧠 Merksatz: Äußere Ableitung = Gradient von f mal Tangentenvektor der Kurve

Definition 4.1 Eine offene Menge Ω ⊂Rn heißt wegweise zusammenh¨ angend, wenn es zu

je zwei Punkten x0,x1 ∈Ω eine C1-Verbindungskurve von x0 nach x1 in Ω gibt.

📌 Einfach erklärt:

• Df(x)=0Df(x)=0 bedeutet: Alle partiellen Ableitungen von ff sind null → kein Anstieg in irgendeine Richtung.

• "Wegweise zusammenhängend" heißt: Man kann jeden Punkt mit jedem anderen durch eine stetige Kurve verbinden.

• Dann folgt: Der Funktionswert bleibt entlang jeder Kurve gleich → also überall gleich.