Kartenstapel

Kurze Lösung

starker, negativ monotoner Zusammenhang

Ausführliche Lösung

Aus statistischer Sicht steht das Ergebnis für einen starken, monoton fallenden Zusammenhang. Sind die Noten in Statistik besser, sind diese in Sozialpsychologie oftmals schlechter und umgekehrt.

Interpretation

rS kann ausschließlich Werte  zwischen −1 und +1 annehmen.

• rS positive

  • monoton wach-  sender Zusammenhang bzw. gleichgerichteter Zusammenhang zwischen den beiden  betrachteten Merkmalen

• rS negativen

  • monoton fallender bzw. entgegengesetzter Zusammenhang.

• rS = 0

  • kein  monotoner Zusammenhang.

  • muss nicht bedeuten, dass generell kein Zusammenhang  zwischen den betrachteten Merkmalen existiert.

  • sicher, dass  dieser nicht monoton ist.

• 0 ≤ rS ≤ 0,2: kein monotoner Zusammenhang, 

• 0,2 < rS ≤ 0,4: schwacher monoton fallender/wachsender Zusammenhang,

• 0,4 < rS ≤ 0,6: mittlerer monoton fallender/wachsender Zusammenhang,

• 0,6 < rS ≤ 0,8: starker monoton fallender/wachsender Zusammenhang

• 0,8 < rS ≤ 1: sehr starker monoton fallender/wachsender Zusammenhang. 

Dies ist nicht möglich. Es würde bedeuten, dass alle Beobachtungen bzgl. des Merkmals 𝑌 oberhalb des Durchschnitts liegen. Dies kann nicht sein. Es gibt immer Beobachtungen, welche oberhalb des Durchschnitts liegen. Genauso existieren aber auch Beobachtungen, welche sich unterhalb des Durchschnitts befinden. Es muss demnach auch immer Beobachtungen im III. und/oder IV. Quadranten geben.

Zähler des Korrelationsko-  effizient von Bravais-Pearson rx, y bezeichnet man  auch als Kovarianz

• Kovarianz entscheidet über das  Vorzeichen von rx, y.

  • Befinden sich die meisten Beobachtungen im I. und III. Quadranten,  so wird die Kovarianz und damit auch rx, y positiv.

  • Ist hingegen der größte Teil aller  Beobachtungen im II. und IV. Quadranten angesiedelt, so erhält man eine negative Kovari-  anz und auch insgesamt einen negativen Korrelationskoeffizienten.

• Ist der Korellationskoeffizient 0

  • so ist die Kovarianz 0

  • kann zwischen den Merkmalen ein nicht linearer Zusammenhang bestehen

• rxy negativ

  • Kovarianz negativ

  • haben die Ausprägungen des einen Mewrkmals eine steigende die Ausprägungen den anderen Merkmales eine fallende Tendenz

Die Punkte im Streudiagramm sollten sich annähernd durch eine lineare Funktion beschreiben lassen, damit eine lineare Regressionsanalyse als sinnvoll erachtet werden kann.

verwendete statistische Methode ist die Methode der kleinsten Quadrate

Residuum

Ein Residuum ist der Abstand zwischen dem tatsächlichen y-Wert und dem auf Basis der Regressionsgeraden geschätzten y-Wert.

Die Methode der  kleinsten Quadrate hat zum Ziel, die Summe dieser Fehler zu minimieren.

Highlight :  Man nimmt die quadrierten Abwei-  chungen, da einige Punkte nach oben und andere nach unten von der Regressionsgeraden  abweichen. 

Kurze Lösung

• erklärte Streuung: Streuungsanteil, welcher auf das Alter zurückzuführen ist;

• nicht erklärte Streuung: Streuungsanteil, welcher auf andere Faktoren oder Fehler zurückzuführen ist

Ausführliche Lösung

Die erklärte Streuung beschreibt den Teil der Streuung der abhängigen Variable (hier: Einkommen), welcher auf die unabhängige Variable (hier: Alter) zurückzuführen ist. Die Variation im Einkommen zwischen einzelnen Individuen kann demnach zum Teil durch das Alter erklärt werden.

Die nicht erklärte Streuung ist der Teil der Variation der abhängigen Variable (wiederum das Einkommen), welche nicht erklärt werden kann. Es mag noch weitere Faktoren neben dem Alter geben, welche ebenfalls ausschlaggebend für das Einkommen sind. Da diese in dem vorliegenden Kontext nicht berücksichtigt werden, ist der Teil der Variation im Einkommen nicht erklärbar.

4.3 Qualitätsbeurteilung 

• der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson, 

• das Bestimmtheitsmaß sowie 

• der Standardfehler. 

drei Kriterien zur Beurteilung der Regressionsge-  rade Hand in Hand gehen.

• Haben wir eine hohe Korrelation (egal, ob positiv oder negativ),  so mündet dies in einem hohen Bestimmtheitsmaß und demzufolge in einem niedrigen  Standardfehler und auch relativen Standardfehler.

• Korrelation niedrig (egal, ob  positiv oder negativ), so resultiert ein niedriges Bestimmtheitsmaß und damit ein großer  Fehler in Form des Standardfehlers und relativen Standardfehlers. 

Korrelationskoeffizient rxy

• Qualität der Regressionsgerade hinsichtlich der Linearität zu beurteilen:

  • Wenn die Punkte  im Streudiagramm nicht annähernd einen linearen Verlauf annehmen, dann sollte man  die berechnete lineare Gerade nicht nutzen, um gar Prognosen auf Basis dieser anzustel-  len. 

• Korrelationskoeffizient Werte zwischen −1 und +1 annehmen kann  und dass die Nähe zur +1 bzw. −1 für einen starken linearen Zusammenhang spricht.

• Im  Kontext dieser linearen Regressionsanalyse sollten wir mindestens auf einen Korrelations-  koeffizienten von 0,5 oder −0,5 stoßen, um von einem angemessenen linearen Zusam-  menhang sprechen zu können. 

Bestimmtheitsmaß (= der Korrelationskoeffizient ^2 bzw quadriert)

• gibt den Erklärungsgehalt  eines Regressionsmodells  wider

  • wichtigste Beurteilungskriterium, für eine aufgestellte Regressionsgerade

• der Anteil der Streuung der abhängigen Variablen, welcher durch die  unabhängige Variable erklärt werden kann

  • Nicht erklärte Streuung entsteht durch nicht  berücksichtigte Variablen  und Messfehler.

  • Gesamtstreuung = erklärte Streuung + nicht erklärte Streuung 

    • Würde R^2 = 0 resultieren, so ließe sich die Streuung der abhängigen Variablen in keiner  Weise durch die unabhängige Variable erklären. 

    • Für R^2 = 1 spricht man von einem vollständigen Erklärungsgehalt, da sich die Streuung  der abhängigen Variablen perfekt durch die unabhängige Variable erklären lässt.

      • Alle  Punkte im Streudiagramm lägen auf einer Geraden, sodass der Korrelationskoeffizient  +1 oder −1 beträgt und demzufolge das Bestimmtheitsmaß bei 1 bzw. 100 % liegt.

    • Im Allgemeinen ist ein R^2 in der Nähe von 1 wünschenswert. In der Praxis gilt, dass man  mit einem Bestimmtheitsmaß von mindestens 0,3 bzw. 30 % sehr zufrieden ist. 

Standardfehler beschreibt den absoluten  Schätzfehler bei der Nut-  zung des Regressionsmo-  dells. 

Der relative Standardfeh-  ler gibt den Standardfeh-  ler in prozentualer Form

Kurze Lösung

• Binomialverteilung: zählt die Erfolge

• geometrische Verteilung: zählt die Misserfolge bis zum ersten Erfolg

Ausführliche Lösung

Eine binomialverteilte Zufallsvariable zählt die Erfolge innerhalb einer bestimmten Anzahl an Bernoulli-Vorgängen. Eine geometrisch verteilte Zufallsvariable zählt hingegen die Misserfolge bis zum ersten Erfolg.

Normalverteilung 

Normalverteilte  Zufallsvariablen

• zeichnen sich dadurch aus, dass ein bestimmter Wertebereich einer Vari-  able mit einer großen Wahrscheinlichkeit auftritt, während andere Wertebereiche mit eher  geringerer Wahrscheinlichkeit vorkommen. 

• verteilt  sich symmetrisch um  einen Erwartungswert. 

gegeben sein muss, ob eine Variable  normalverteilt ist oder nicht.

Zusätzlich müssen uns zwei Parameter bekannt sein.

• μ = welchen Erwartungswert die normalverteilte Zufallsvariable  annimmt

• Varianz σ2 oder der Standardabweichung σ = Streuung der betrachteten Variablen gegeben sein

Die Tatsache, dass eine  Zufallsvariable X normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Varianz σ2 ist,  schreibt man auch als X N μ, σ2 .

Standardnormalverteilung stellt einen Spezi-  alfall der Normalvertei-  lung dar —> z = standardnormalverteilte Zufallsvariable

• immer einen Erwartungswert von 0 (μ = 0)  und eine Varianz und damit Standardabweichung von 1 (σ2 = σ = 1)

t-Verteilung

Mit der t-Verteilung wird eine der Standardnormalverteilung nahverwandte Verteilung für kleine Stichproben beschrieben.

kann – anders als die Standardnormalverteilung – berücksichtigen, wie stark eine Stichprobe besetzt ist. Es gilt, dass mit zunehmendem Stichprobenumfang die t-Verteilung der Standardnormalverteilung sehr ähnlich wird, bis hin zur Deckungsgleichheit. Ab einem gewissen Punkt sind auch die Varianz bzw. Standardabweichung gleich 1, so wie bei der Normalverteilung.

Kurze Lösung

Annäherung an den wahren Wert mit steigendem Stichprobenumfang

Ausführliche Lösung

Ein (Punkt-)Schätzer ist konsistent, wenn dieser sich mit steigendem Stichprobenumfang dem (unbekannten) wahren Parameterwert in der Grundgesamtheit annähert.

Kurze Lösung

steigender Stichprobenumfang

Ausführliche Lösung

Besteht eine Stichprobe bspw. aus 150 Beobachtungen anstatt nur 15 Beobachtungen, werden sämtliche Schätzer (Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung) präziser. Dies hängt mit der Konsistenz zusammen: Je größer eine Stichprobe, desto stärker nähert sich das auf Basis der Stichprobe erzielte Ergebnis dem der Grundgesamtheit an.

Nachteil von Punktschätzern ist, dass man sich auf einen speziellen Wert für den Mittelwert, die Varianz oder die Standardabweichung festlegt. Die Chance, dass unser wahrer Wert der Grundgesamtheit durchaus mal ein wenig abweicht, ist damit nicht so gering. Aus dem Grund greift man nicht selten auf Intervalle zurück,

Konfidenzintervalle mit bekannter und unbekannter Varianz im Vergleich

• Varianz oder Standardabweichung in der Grundgesamtheit bekannt: Quantil der Standardnormalverteilung (z) nutzen.

• Varianz oder Standardabweichung in der Grundgesamtheit unbekannt: Quantil der tVerteilung nutzen und Stichprobenvarianz und Standardabweichung auf Basis der Stichprobe berechnen.

Probleme bei der Interpretation von Korrelationen 

• Korrelation muss aber nicht gleichzeitig  Kausalität bedeuten.

• sog. Scheinkorrelationen, was  bedeutet, dass eine dritte Variable für die hohe Korrelation verantwortlich ist.

• Nonsensekorrelation verbunden. Man  sollte nie einer hohen Korrelation zwischen zwei vollkommen sachfremden Variablen stär-  kere Beachtung schenken

• beiden Korrelationskoeffizienten nach Spearman  und nach Bravais-Pearson beachtet, dass eine Korrelation in Höhe von 0 lediglich dafür  steht, dass kein monotoner bzw. linearer Zusammenhang vorliegt. Dass dennoch ein  anders gearteter Zusammenhang vorliegt, ist keinesfalls auszuschließen. Man sollte dem-  nach nie pauschal behaupten, dass kein Zusammenhang bestünde

Kurze Lösung

• 𝐻o ablehnen, obwohl 𝐻 richtig ist.

• 𝐻o nicht ablehnen, obwohl 𝐻o falsch ist.

Ausführliche Lösung

Der Fehler 1. Art beschreibt den Umstand, dass eine Hypothese 𝐻o irrtümlich abgelehnt wird, obwohl diese in der Realität „wahr“ ist. Hingegen beschreibt der Fehler 2. Art den Umstand einer irrtümlichen Nichtablehnung einer Hypothese 𝐻o, obwohl diese in Wirklichkeit „falsch“ ist.

Kurze Lösung

zwei verschiedene Zeitpunkte; Veränderung einer Variablen von einem zum nächsten Zeitpunkt

Ausführliche Lösung

Eine Veränderungshypothese geht davon aus, dass sich eine bestimmte Variable von einem Zeitpunkt zu einem weiteren Zeitpunkt verändert. Man könnte bspw. die Hypothese aufstellen, dass sich das Gehalt von Angestellten durch den Besuch einer Fortbildung erhöht. Man würde vermuten, dass das Gehalt nach dem Besuch der Fortbildung höher ist als vorher.

Kurze Lösung

• 𝐻o: Ärzt:innen arbeiten höchstens so viele Stunden wie Psycholog:innen.

• 𝐻1: Ärzt:innen arbeiten mehr Stunden als Psycholog:innen.

Ausführliche Lösung

Das „mehr als“ muss immer in der Alternativhypothese formuliert werden. Demzufolge lautet sie „Ärzt:innen arbeiten mehr Stunden als Psycholog:innen.“. In der Nullhypothese muss das gesamte Gegenteil stehen. Ärzt:innen und Psycholog:innen können demnach entweder gleich viel arbeiten oder aber Ärzt:innen arbeiten weniger Stunden als Psycholog:innen. Insgesamt wird dies durch „höchstens so viel“ zusammengefasst und die Nullhypothese lautet „Ärzt:innen arbeiten höchstens so viele Stunden wie Psycholog:innen.“.

Kurze Lösung

Fehler 2. Art

Ausführliche Lösung

Wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, kann es sein, dass diese Entscheidung nicht korrekt ist. Die Nullhypothese könnte demnach fälschlicherweise beibehalten werden, obwohl diese nicht korrekt ist. Dies entspricht dem Fehler 2. Art.

Kurze Lösung

Die Gefahr eines Fehlers 1. Art ist dann klein genug.

Ausführliche Lösung

Das Signifikanzniveau 𝛼 gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Fehler 1. Art auftritt. Diese Wahrscheinlichkeit wird von den Wissenschaftler:innen im Vorfeld des Tests festgelegt.

Der p-Wert gibt ebenfalls die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Fehlers 1. Art an, wird aber im Rahmen der Testprozedur selbst berechnet. Ist folglich der p-Wert geringer als 𝛼, so liegt die (berechnete) Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Fehlers 1. Art unterhalb des Wertes, den die Wissenschaftler:innen vorgegeben (und damit toleriert) haben. Die Nullhypothese kann sodann verworfen werden.

Kurze Lösung

Die Symmetrie um den Erwartungswert 0 lässt positive und negative Werte gleich weit vom Erwartungswert entfernt sein.

Ausführliche Lösung

Ein linksseitiger Test sorgt dafür, dass sowohl die Prüfgröße als auch der kritische Wert erwartungsgemäß negativ sind. Da das Standardisieren und die Verwendung der Standardnormalverteilung dazu führen, dass sich die Prüfgröße symmetrisch um den Wert 0 herum verteilt, ist es zu vernachlässigen, ob man sich den negativen oder positiven Wertebereich anschaut.

Kurze Lösung

Die Möglichkeit, dass nun die Nullhypothese abgelehnt wird, besteht.

Ausführliche Lösung

Ein einseitiger Test macht es leichter, die Nullhypothese abzulehnen, da der kritische Wert kleiner als bei einem zweiseitigen Test ist. Demzufolge besteht die Möglichkeit, dass die Nullhypothese bei einem einseitigen Test abgelehnt wird, auch wenn dies bei einem zweiseitigen Test nicht möglich ist.

Kurze Lösung

Standardabweichung auf Basis einer Stichprobe bestimmen, 𝑡-Statistik anstatt 𝑧- Statistik, kritischer 𝑡-Wert

Ausführliche Lösung

Ist die Standardabweichung in der Grundgesamtheit unbekannt, aber alle anderen Annahmen nach wir vor gültig, muss das Testprozedere an zwei Stellen modifiziert werden. Erstens ist die 𝑡-Statistik als Stichprobenfunktion für die Prüfgröße zu verwenden. Dafür muss die Standardabweichung 𝑠 der Stichprobe genutzt werden Zweitens muss beachtet werden, dass die Prüfgröße nun 𝑡-verteilt mit 𝑛 - 1 Freiheitsgraden ist.