VL03_LMM_2

•  β0 und β1 werden als feste Parameter der zu schätzenden Populations-Regressionsgeraden angenommen

• Es gibt jeweils nur einen zu schätzenden Parameter für β0 und β1.

• Sobald eine gruppierte Datenstruktur vorliegt und β0 und β1 von Gruppe zu Gruppe variieren, kann dieses Modell nicht mehr gelten.

• Flexibleres Regressionsmodell

  nötig!

Tan pronto como se dispone de una estructura de datos agrupada y β0 y β1 varían de un grupo a otro,

este modelo ya no es válido.

Standard Regressionsgleichung (OLS-Regression) Ordinary Least Squares Regression

El valor de la AV es igual al Intercept mas steigungsparameter por UV i, mas Fehler de la persona i.

Si b0 y b1 pueden ser diferentes en cada cluster, entonces es

El valor de la AV de la persona i del cluster j es igual al intercept del cluster j, mas el steigungsparameter del grupo j multiplicado por el UV de la persona i del grupo j, mas el fehler de la persona i del grupo j

Weil  β0j und β1j variieren können (die weisen auch Varianz). Das heißt, dass die Modellparameter bzw Koeffizienten sind random.

u0j bzw. u1j son las varianzas de  β0j und β1j

β0j varia en u0j del γ00 Populationsachsenabschnitt

β1j weicht um u1j von den Popilationssteigungsparameter γ10 ab.

Las varianzas u0j y u1j siguen una distribucion normal con Mittelvert 0 y varianza PI oo o Pi 11

Unsystematische Variation von β0j und β1j wird auf Level 2 durch gruppenspezifische Zufallskomponenten u0j und u1j mit dem Erwartungswert null modelliert.

𝛾00 = Populationseffekt (intercept). Populations-Regressionskoeffizient

El Erwartungswert vom β0j es 𝜏00.

Si 𝜏00 = 0, entonces todos los 𝛽0j = 𝛾00 ENTONCES SE PUEDE USAR UN MODELO DE REGRESION NORMAL. Sin jerarquia.

β1j ist also Funktion eines festen (fixed) Populationseffektes γ10 plus einer zufälligen (random) Abweichung u1j = β1j – γ10 vom Populations-Slope.

Efectos fijos / fixed effects: pendientes/interceptos considerados en todos los grupos

—> «intercepto poblacional»/«pendiente poblacional»

Son efectos medios (no específicos de un grupo)

En la regresión «clásica» (múltiple) todos son efectos fijos

Efectos aleatorios / random effects: Los interceptos y las pendientes de la regresión pueden variar de alguna manera (= aleatoriamente) entre los grupos.

—> Es posible que su varianza se pueda explicar con otras variables

Modelos de efectos mixtos / Mixed effect models:

Modelos de regresión que contienen tanto efectos fijos como aleatorios.

Teniendo en cuenta la estructura de agrupación, hay tres fuentes de variaciones aleatorias:

1. Error aleatorio de nivel 1 rij en los valores y: desviaciones de los valores de los sujetos de la regresión.

2. Desviaciones de nivel 2 u0j de los interceptos aleatorios en torno al intercepto de la población.

3. Desviaciones de nivel 2 u1j de las pendientes aleatorias en torno a la pendiente de la población

—> Estos coeficientes indican (en combinación) la desviación de una persona específica (L1) o de un grupo específico (L2).

—> Cada una de estas desviaciones se describe mediante su varianza.

—> Por lo tanto, se obtienen varios componentes de varianza de error separables entre sí.

ojo con los numeritos

Grados de libertad y valores p en LMM

• Las pruebas de hipótesis en LMM frecuentistas son complicadas: df depende de ICC

• Caso extremo ICC = 1: no hay varianza dentro de los grupos; (es decir, todos los valores medidos dentro de un grupo tienen el mismo valor ➙ efectivamente solo hay J (=número de grupos) grados de libertad (menos el número de parámetros estimados) para algunos parámetros.

• Caso extremo ICC = 0: la pertenencia al grupo no aclara la varianza en los valores medidos (es decir, cada persona puede variar libremente ➙ hay i (= número de personas) grados de libertad (menos el número de parámetros estimados).

• 0 < ICC < 1: El número efectivo de grados de libertad se encuentra entre el número de grupos (L2) y el número de personas (L1).

• La corrección de Satterthwaite o Kenward-Roger de los grados de libertad proporciona df efectivos entre estos dos extremos (también puede ser un número decimal).

• Atención: el software LMM a veces no informa de df (lme4) o de una de las dos correcciones; sin df no hay valor p.

• El paquete R lmerTest amplía lme4 y proporciona por defecto df según la corrección de Satterthwaite y valores p.

• Dependiendo de la corrección df aplicada, los valores df y p pueden variar ligeramente entre las soluciones de software.

Énfasis en la estructura agrupada:

• Modelo multinivel (MLM)

• Modelo multinivel lineal (LMLM)

• Modelo lineal jerárquico (HLM)

– HLM es también el nombre de un software.

– Se refiere únicamente a modelos estrictamente jerárquicos; en sentido estricto, excluye los modelos mixtos clasificados de forma cruzada.

Énfasis en que se modelan coeficientes fijos y aleatorios:

• Modelos mixtos lineales (LMM) / modelos mixtos lineales (LGM): mixtos = efectos fijos y aleatorios

• Modelos de efectos mixtos (MEM)

• Modelos de efectos mixtos lineales (LMEM)

Énfasis en los coeficientes aleatorios (se da por supuesto que también hay efectos fijos):

• Modelos de efectos aleatorios

• Modelos de coeficientes aleatorios

Aplicación más amplia: modelos lineales mixtos (LMM / LGM)

Aclaración de conceptos: efectos fijos y aleatorios (fixed vs. random)

[...] repasamos brevemente qué se entiende por efectos fijos y aleatorios. Resulta que se utilizan definiciones diferentes —de hecho, incompatibles— en distintos contextos. A continuación, resumimos cinco definiciones que hemos visto:

1. Los efectos fijos son constantes entre individuos, y los efectos aleatorios varían. Por ejemplo, en un estudio sobre el crecimiento, un modelo con intersecciones aleatorias αi y pendiente fija β corresponde a líneas paralelas para diferentes individuos i, o al modelo yit = αi + βt. (Kreft y de Leeuw, 1998).

Preferimos evitar los términos sobrecargados «fijo» y «aleatorio» con una distinción más clara,

simplemente renombrando los términos de la definición 1 anterior. Definimos los efectos (o coeficientes) en un modelo multinivel como constantes si son idénticos para todos los grupos de una población y variables si se permite que difieran de un grupo a otro.

2. Los efectos son fijos si son interesantes en sí mismos o aleatorios si hay interés en la población subyacente. (Searle, Casella y McCulloch, 1992)

3. «Cuando una muestra agota la población, la variable correspondiente es fija; cuando la muestra es una parte pequeña (es decir, insignificante) de la población, la variable correspondiente es aleatoria» (Green y Tukey, 1960).

4. «Si se supone que un efecto es un valor realizado de una variable aleatoria, se denomina efecto aleatorio» (LaMotte, 1983).

5. Los efectos fijos se estiman utilizando mínimos cuadrados (o, más generalmente, máxima verosimilitud) y los efectos aleatorios se estiman con contracción. Esta definición es estándar en la literatura sobre modelos multinivel (por ejemplo, Snijders y Bosker, 1999) y en econometría.

Als FUNKTION der Level-2 Parametern