Bivariate Regression: Testverfahren

Durch das Verwerfen der Nullhypothese H0 wird die Alternativhypothese HA mit einer zuvor festgelegten Irrtumswahrscheinlichkeit a bestätigt

a) Aufstellen der Nullhypothese und der Alternativhypothese

b) Bestimmung der Varianzzerlegung

c) Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit

d) Bestimmung der Prüfgröße

e) Bestimmung der Obergrenze für H0

f) Entscheidung und Interpretation

-> Testen, ob die durch die X-Variable erklärte Varianz der Y-Variable signifikant größer ist als 0

Frage: Tragen alle unabhängigen Variablen gemeinsam zu einer bedeutsamen/signifikanten Verbesserung der Vorhersage der abhängigen Variable bei?

Da das Bestimmtheitsmaß immer positiv ist, ist stets ein einseitiger Test durchzuführen

= F -Statistik: zeigt das Verhältnis von zwei Varianzen

Berechnung:

In der bivariaten Regressionsanalyse entspricht der quadrierte T-Wert des unstandardisierten Regressionskoeffizienten b dem F-Wert für das Bestimmtheitsmaß R

• Die Wahrscheinlichkeit ß für einen Fehler 2. Art wächst mit abnehmender Wahrscheinlichkeit a für einen Fehler 1. Art

Problem: die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (H0 trifft nicht zu, wird aber akzeptiert) kann nicht berechnet werden, weil diese vom unbekannten Parameter (ß) in der Grundgesamtheit abhängt

• Ein Gütemaß, welches beides, Modellanpassung und Sparsamkeit berücksichtigt, ist das sogenannte korrigierte R²

• Es besteht aus dem Wert des einfachen R², welcher mit einem "Strafterm" belegt wird -> daher nimmt das korrigierte R² in der Regel einen geringeren Wert als das einfache R² an und kann in manchen Fällen sogar negativ sein

n - 1 / n - k - 1

• Je größer die Anzahl der unstandardisierten Regressionskoeffizienten b bei gegebenen Stichprobenumfang n, desto kleiner wird die Fehlervarianz

Beispiel:

Das korrigierte R beträgt 0,660. -> 66% der Variation in der Einstellung zur Rechtfertigbarkeit von Scheidung in Europa (Y) lässt sich in 2008 über de Modernisierungsgrad des Landes erklären

Ist die Anzahl der unstandardisierten Regressionskoeffizienten ebenso groß wie die Zahl der Fälle (n) dann ist der Vorhersagefehler (E2) 0.

-> Interzept kann nicht interpretiert werden

1 - R^2

der Alienationskoeffizient wird umso stärker gewichtet:

• je größer die Anzahl k und je größer dadurch die Anzahl der geschätzten Regressionskoeffizienten b ist,

  = je kleiner also die Anzahl der Freiheitsgerade ist

Schluss von bekannter Grundgesamtheit auf die Verteilung in der Stichprobe

(Bsp.: Verteilung unstandardisierter Regressionskoeffizienten)

• die X-Werte sind feste Größen und frei von zufälligen Messefehlern

• die Y-Werte können als Summe aus einer systematischen Komponente a + b * x und einer Fehlerkomponente e erklärt werden

Fehlerkomponente: umfasst die Wirkungen aller X-Variablen, die nicht in die Regression aufgenommen wurden, und Messfehler der abhängigen Variable

• Fehlervariable E: Dessen Erwartungswert ist 0 und die Varianz ist konstant

arithmetisches Mittel von Regressionskoeffizient a und b

a = 3, b = 0,5

E(b) = ß

E -> Erwartungswert

• Der Mittelwert der unstandardisierten Regressionskoeffizienten b über alle Stichproben hinweg ist identisch mit dem entsprechenen unstandardisierten Regressionskoeffizienten b in der Grundgesamtheit

Epsilon steht für den Fehler in der Grundgesamtheit

• Die Varianz ist eine Maßzahl für die Schwankungen der Stichprobenregressionskoeffizienten a und b

  Formel:

  
  

Schluss von einem Stichprobenergebnis auf die unbekannten Parameter der unbekannten Grundgesamtheit

(über Testverfahren und Schätzverfahren)

Auszug aus Tabelle für F-Verteilung

= Weil das Bestimmtheitsmaß R immer positiv ist und von 0 bis 100 Prozent reicht