Logistische Regression

Odds bezeichnet das Verhältnis der Eintrittswahrscheinlichkeit eines interessierenden Ereignisses im Verhältnis zu dessen Gegenwahrscheinlichkeit (von Y zu nicht Y)

Formel:

Das logistische Modell basiert auf der logistischen Funktion

• Das Besondere an der logistischen Funktion ist, dass sie für Werte zwischen minus und plus unendlich immer Werte zwischen 0 und 1 annimmt

2 notwendige Umformungen, um den Wertebereich der dichotomen abhängigen Variable auf den Wertebereich

von – ∞ bis + ∞ auszudehnen:

1. Odds statt Wahrscheinlichkeiten

2. Logits statt Odds

• Bei einer dichotomen Fehlerstruktur ist die Varianz bereits durch den Wert der Wahrscheinlichkeit gegeben Var(e) =2 p * (1 - p)

  
  

• eb = 2 bedeutet, dass wenn sich der Wert für X um eine Einheit erhöht, sich die Odds für Y=1 verdoppeln (positiver Zusammenhang)

• eb = 0,5 bedeutet, dass wenn sich der Wert für X um eine Einheit erhöht, sich die Odds für Y=1 halbieren (negativer Zusammenhang)

• eb = 1 bedeutet, dass wenn sich der Wert für X um eine Einheit erhöht, sich die Odds für Y=1 nicht verändern (kein Zusammenhang)

• Mit steigenden X-Werten steigt die vorhergesagte Wahrscheinlichkeit

ß > 0

ß < 0

• Mit steigenden X-Werten sinkt die vorhergesagte Wahrscheinlichkeit

=> Dann hat die unabhängige Variable X keinen Einfluss auf die vorhergesagte Wahrscheinlichkeit

• Es wird angenommen, dass die Störgrößen

  • einer logistischen Verteilung folgen

  • einen Erwartungswert von E = 0 besitzen

  • eine Standardabweichung von:

Zwar ist die Kovarianz ein Maß für lineare Zusammenhänge, jedoch hängt die Kovarianz auch von der Maßeinheit ab

-> Darum müssen X und Y standardisiert / z-transformiert werden:

Die Interpretation der Odds ist anschaulicher

(man wechselt vom additiven zum multiplikativen Modell)