Kartenstapel

Statischer Luftdruck: p_Luft = 1.013 * 10^5 Pa

Luftdichte: rho_Luft = 1.21 kg/m^3

Schallgeschwindigkeit: c_Luft = 343 m/s

Feldkennimpedanz: Z_Luft = rho_Luft * c_Luft Z_Luft = 1.21 * 343 = 415 kg/(s*m^2)

Referenz-Schalldruck (0 dB, Hörschwelle): p_ref = 20 * 10^-6 Pa

Schallschnelle v in m/s

Schalldruck p in Pa

Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung): d(rho)/dt + rho_0 Nabla^T * v = 0

mit Nabla = d/dx

Newtonsche Bewegungsgleichung: rho_0 dv/dt + Delta p = 0

Kompressionsgesetz: p = c_0^2 * rho

Nabla^2 p - (1 / c_0^2) * (d^2 p / dt^2) = 0

p = Schalldruck

c_0 = Schallgeschwindigkeit

t = Zeit

Nabla^2 = räumlicher Differentialoperator

Helmholtzform der akustischen Wellengleichung:

Nabla^2 p(x) + k^2 * p(x) = 0

Lösungsansatz:

p(x) = A * e^(-j * k * x) + B * e^(j * k * x)

p(x,t) = p(x) * e^(j * omega * t)

Wellenausbreitung in positive bzw. negative x-Richtung

Allgemeine Lösung der eindimensionalen Wellengleichung:

p(x,t) = A * e^(j * (omega * t - k * x)) + B * e^(j * (omega * t + k * x))

Wellenausbreitung in positive bzw. negative x-Richtung

Wellenlänge für die Schallwelle:

lambda = c / f

f = omega / (2 * pi) = 125 / (2 * pi) Hz = 19.89 Hz

c = 343 m/s

=> lambda = 17.24 m

Wellenzahl:

k = omega / c = 2 * pi / lambda

Nein, ohne Medium kein Schall.

Phasenunterschied zwischen Schallschnelle und Schalldruck bei einer ebenen Welle:

phi = 0

Örtlicher Verlauf von Schalldruck und Schallschnelle für eine ebene Welle:

Druck und Schnelle in Phase

p = rho * c * v

wo rho * c = 400 kg / (m^2 * s), bei 20°C Luft

Wesentliche Unterschiede zwischen ebener Welle und Kugelwelle:

- Beschreibung in Kugelkoordinaten:

d^2 (r * phi) / dr^2 = (1 / c^2) * d^2 (r * phi) / dt^2

- Unterscheidung Nahfeld / Fernfeld: Ortsabhängigkeit der Feldimpedanz

Feldimpedanz:

Z = p / v = rho * c * j * k * r / (1 + j * k * r)

- Phasenverschiebung bis zu 90 Grad zwischen Druck und Schnelle im Nahfeld

A) Gleichungen für Feldimpedanz, Schalldruck und Schallschnelle einer Kugelwelle:

Z = p / v = Z_0 * j * k * r / (1 + j * k * r)

p = j * omega * rho * c / r * e^(j * (omega * t - k * r))

v = (1 / r^2) * (1 + j * k * r) * c * e^(j * (omega * t - k * r))

B) Systemverhalten:

- Für kr >> 1: Z = rho * c wie bei ebener Welle

- Für kr << 1: |v| ~ 1 / r^2 und |p| ~ 1 / r

- Für kr = 2 * pi * r / lambda <= 2 * pi * 1.5: Phasendifferenz zwischen p und v beträgt 6 bis 90 Grad (Nahfeld für r <= 1.5 * lambda)

A) Kugelwellenfeld

B) Sonderfälle:

- kr = 0

- kr >> 1

- kr = 2 * pi * r / lambda <= 2 * pi * 1.5 (Übergang vom Nahfeld zum Fernfeld)

Phasenverlauf:

lim (kr → ∞) arctan(1 / kr) = arctan(0) = 0

lim (kr → 0) arctan(1 / kr) = arctan(∞) = π / 2

Longitudinalwelle,

Transversalwelle,

Rayleigh Oberflächenwelle,

Quasi-Longitudinalwelle,

Torsionswelle,

Biegewelle

Longitudinalwellen

Longitudinalwellen,

Transversalwellen,

Rayleigh-Oberflächenwellen,

Quasi-Longitudinalwellen,

Torsionswellen,

Biegewellen

Biegewelle

Frequenzabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit

Schallanteile unterschiedlicher Frequenz breiten sich mit voneinander abweichenden Geschwindigkeiten aus

Z = p / v = rho * c = Z_0

Z_0 = Schallkennimpedanz bzw. Wellenwiderstand

- Druck und Schnelle sind in Phase:

phi = arg(Z) = tan^-1 * (Im(Z) / Re(Z)) = 0°

- Druck und Schnelle sind phasenverschoben:

phi = arg(Z) = tan^-1 * (Im(Z) / Re(Z)) = 90°

r = |r| * e^(j * phi_r) = p_r / p_i = (Z_w - Z_0) / (Z_w + Z_0)

Fallunterscheidung:

- Schallharter Abschluss (Z_w >> Z_0): r ≈ Z_w / Z_w = 1

- Schallweicher Abschluss (Z_w << Z_0): |r| ≈ |-Z_0 / Z_0| = 1

- Schallharte Wand: v(L, t) = 0

- Schallweiche Wand: p(L, t) = 0

- Stehende Welle entsteht durch zwei entgegenlaufende Wellen gleicher Frequenz und Amplitude

- Beispiel: Schallharter Abschluss

Randbedingung: v(L) = 0

Reflexionsfaktor: r = 1

Gegebenes Schallfeld:

p = p_hat * (e^(-j * k * x) + r * e^(j * k * x))

v = p_hat / Z_0 * (e^(-j * k * x) - r * e^(j * k * x))

- Schallhart: v(0) = 0 ⇒ r = 1

- Schallweich: p(0) = 0 ⇒ r = -1

Es kommt zur Ausbildung stehender Wellen, wenn zwei Wellen gleicher Frequenz und Amplitude in entgegengesetzter Richtung überlagert werden.

|r| = 1

- Physikalische Eigenschaft: Energiestrom pro Fläche, transportierte Schallleistung pro Flächeneinheit

- Zeitbereich: I = (1/T) ∫_0^T p(t) v(t) dt

- Frequenzbereich: I = 1/2 * Re{p* (jω) v(jω)}

I = p̃ * ṽ = p̃^2 / Z_0

Z_0 = ρ_0 * c_0 = 400 kg / (m^2 s)

I = (0,01 Pa)^2 / (400 kg / (m^2 s)) = 2,5 × 10^(-7) W/m^2

Schallleistung: P = ∫ I_n dS, wobei I = p* v

Nein, die Schallleistung einer Punktquelle ist nicht proportional zum Abstand zur Quelle

- Unter Fernfeldbedingungen gilt: I̅ = p̃^2 / Z_0 (Proportionalität zwischen Schalldruck und Intensität)

- Schalldruckmessung im Fernfeld bei Freifeld-Randbedingungen auf einer Hüllfläche um die Quelle

- Diskrete Messungen: Teilflächen messen, Werte multiplizieren und aufsummieren, um die gesamte Schallleistung zu erhalten

P = I_n * 4 * π * r^2

P = 10^(-6) W/m^2 * 4 * π * (1 m)^2

P ≈ 1,26 * 10^(-5) W

Schallschnelle: v_0 = √2 * v_tilde = √2 * p_tilde / Z_0 ≈ 1,41 * 10^(-4) m/s, mit Z_0 = ρ_0 * c_0 = 400 kg/(m^2 s)

Schallintensität: I = p_tilde^2 / Z_0 = 4 * 10^(-6) W/m^2

Schallleistung: P = I * A = 4 * 10^(-6) W/m^2 * 4 m^2 = 1,6 * 10^(-5) W

Oktavband, Terzband

f_o / f_u = 2 → Die obere Frequenz ist doppelt so groß wie die untere Frequenz des Oktavbands.

f_m / f_u = f_o / f_m

→ f_m^2 = f_u ⋅ f_o

→ f_m = √(f_u ⋅ f_o)

f_m = √2 ⋅ f_u

Oktavband:

f_u = 141,4 Hz, f_o = 282,8 Hz

Terzbänder (N = 3):

f_1 = f_u = 141,4 Hz

f_2 = ∛2 ⋅ f_1 = 178,2 Hz

f_3 = ∛2 ⋅ f_2 = 224,5 Hz

f_4 = f_o = 282,8 Hz

Mittenfrequenzen der Terzbänder:

f_m12 = √(f_1 ⋅ f_2) = 158,7 Hz

f_m23 = √(f_2 ⋅ f_3) = 200 Hz

f_m34 = √(f_3 ⋅ f_4) = 251,9 Hz

Dynamikbereich des Schalldrucks: p_eff = 10^(-3) … 10^5 Pa

Darstellung: logarithmisch, in Dezibel (dB)

Typische Schalldruckpegel:

- Schlafzimmer: 20 dB

- Wohnzimmer: 40 dB

- Büro: <70 dB

- Werkstatt: <84 dB (ansonsten Gehörschutz erforderlich)

Formel: L_p = 10 log10 (p_eff^2 / p_ref^2) dB = 20 log10 (p_eff / p_ref) dB

Erklärung der Größen:

- L_p : Schalldruckpegel in Dezibel [dB]

- p_eff : Effektivwert des Schalldrucks [Pa]

- p_ref : Referenz-Schalldruck, typischerweise p_ref = 20 μPa (in Luft)

Interferenzfähig,

konstante Phasenbeziehung

1. Kohärente Signale, gleiche Phase:

   L_Σ = 20 log10(|p_1 + p_2| / p_0) dB

   = 20 log10(2·p_1 / p_0) dB

   = 20 log10(2) + 20 log10(p_1 / p_0) dB

   = 6,02 dB + L_1

2. Kohärente Signale, entgegengesetzte Phase:

   L_Σ = 20 log10(|p_1 + (-p_1)| / p_0) dB

   = 20 log10(0 / p_0) dB

   = -∞ dB

3. Inkohärente Signale:

   L_Σ = 10 log10((p_1^2 + p_2^2) / p_0^2) dB

   = 10 log10(10^(L_1/10) + 10^(L_2/10)) dB

   Beispiel: L_Σ ≈ 63 dB

4. Weitere inkohärente Signale:

   Analog zu Punkt 3

   
   

   
   

   
   

   
   

Grenzen erläutern, Frequenzabhängigkeit der Hörschwelle.

Unterscheidung menschliche Empfindung von physikalischen Größen

Zu a)

Inkohärente Signale sind unkorreliert, d.h. ihre Phasenbeziehung ist nicht konstant.

Zu b)

L_Σ = 10 log10((p̃_1^2 + p̃_2^2) / p_0^2) dB

= 10 log10(((p̂/√2)^2 + (p̂/√2)^2) / p_0^2) dB

= 10 log10(p̂^2 / p_0^2) dB

= 20 log10(p̂ / p_0) dB

L_eq = 10 log10( (1/T) * (10^(L_1/10) ΔT_1 + 10^(L_2/10) ΔT_2) ) dB

= 10 log10( (1/5h) * (10^(60/10) * 2h + 10^(90/10) * 3h) ) dB

≈ 87,78 dB

L_W = 10 log10(P / P_0) dB

= 10 log10(0,1 W / 10^(-12) W) dB

= 10 log10(10^11) dB

= 110 dB

Atmende/ Pulsierende Kugel

Schallabstrahlung erfolgt entsprechend einer punktsymmetrischen Kugelwelle

Keine Winkelabhängigkeit -> Strahler Nullter Ordnung

-120° < φ < 120° → Erhöhung der Amplitude

120° < φ < 240° → Verringerung der Amplitude

Begründung: Die Wellen werden als komplexe Zeiger dargestellt.

Bei Addition der Zeiger ergibt sich:

- Liegen die Zeiger „nahe beieinander“ (kleiner Phasenunterschied), summieren sie sich konstruktiv → Amplitude steigt.

- Liegen die Zeiger „gegenüber“ (großer Phasenunterschied), löschen sie sich teilweise aus → Amplitude sinkt.

Q(t) = 4 π a^2 · v_a , mit O_Kugel = 4 π a^2

Die Volumenschnelle / der Schallfluss Q(t) ist das Volumen pro Zeit, das die Quelle dem Medium hinzufügt oder entzieht.

Einheit: [Q] = m³/s

a) Schalldruck am Beobachtungspunkt:

p(r) = (j k Z_0)/(4 π) ∑_n [Q_n e^(-j k r_n) / r_n]

= (j k Z_0 Q̂)/(4 π) [e^j(φ_1 - k r_1)/r_1 - e^j(φ_2 - k r_2)/r_2]

mit Q̂ = √(8 π P / (k^2 Z_0)), Q_n = Q̂_n e^(j φ_n)

Numerisch: p(r) = 671,1 j [e^j(φ_1 - k r_1)/r_1 - e^j(φ_2 - k r_2)/r_2] Pa

b) Bedingung für Nullschalldruck:

e^j(φ_1 - k r_1)/r_1 = e^j(φ_2 - k r_2)/r_2

⇒ e^j(φ_1 - φ_2) = (r_1 / r_2) e^j(k r_1 - k r_2)

c) Anpassung von S2 bei φ_1 = 0:

e^(-j φ_2) = (r_1 / r_2) e^j(k r_1 - k r_2)

mit Realteilbildung ⇒ φ_2 ≈ 0,87 rad

I = p̃^2 / Z_0 = (ω^2 ρ_0 |Q̂|^2) / (32 π^2 c r^2)

Daraus folgt:

I ∝ 1 / r^2 (Abnahme mit Abstand)

I ∝ ω^2 (zunehmend mit Kreisfrequenz)

Druck und Schnelle für pulsierende Kugel (Radius a, radiale Schnelle v_a):

p = A / r e^(-j k r)

v = (j / ω ρ) ∂p/∂r = A / r ⋅ 1/(ρ c) (1 - j/(k r)) e^(-j k r)

Für ka → 0:

A ≈ j ω ρ v_a a^2

p = (j ω ρ Q) / (4 π r) e^(-j k r), Q = 4 π a^2 v_a

Intensität:

I = Re{p* v} / 2 = A^2 / (2 r^2) ⋅ 1 / (ρ c) (1 + j / (k r))

oder: I = p̃^2 / Z_0 = (ω^2 ρ_0 |Q̂|^2) / (32 π^2 c r^2)

Schallleistung:

P_r = I ⋅ 4 π r^2 = 2 π A^2 ⋅ 1/(ρ c) (1 + j / (k r))

bzw.: P_r = (ω^2 ρ_0 |Q̂|^2) / (8 π c) = (k^2 Z_0 |Q̂|^2) / (8 π)

Der Schalldruck von n Punktquellen wird über Superposition berechnet:

p(r,t) = (j ω ρ_0) / (4 π) ⋅ Σ_n (Q̂_n e^(-j k r_n) / r_n)

Ein Dipol wird durch zwei gegenphasige Monopole im Abstand beschrieben.

Die virtuelle Punktquelle des Dipols befindet sich in

der Mitte der beiden Monopole

Der Richtfaktor eines Schallstrahlers beschreibt das Verhältnis der komplexen Amplitude des Fernfeldschalldruckes in Abhängigkeit vom Abstrahlwinkel.

Richtfaktor Dipol: G(θ) = cos(θ)

Komplette Auslöschung (destruktive Interferenz) bei θ = ±π/2, d.h. keine Schallabstrahlung in diese Richtungen.

Schalldruck im Fernfeld eines Dipols:

p = -(ω^2 ρ Q̂ d)/(4 π r c) ⋅ cos(θ) ⋅ e^(-jkr)

→ p ~ ω^2

Folge: Bei niedrigen Frequenzen ist die Abstrahlung stark reduziert (akustischer Kurzschluss).

Anordnung von gleichen Punktschallquellen gleichabständig längs einer geraden Linie

Richtfaktor einer Strahlerzeile:

Γ(θ) = (1/N) ⋅ (e^(j N k d sin(θ)) - 1) / (e^(j k d sin(θ)) - 1)

Für θ = 0: Γ(0=0) = 0/0 → L’Hospital-Regel anwenden:

Γ(0=0) = (1/N) ⋅ (j N k d cos(0) e^(j N k d sin(0))) / (j k d cos(0) e^(j k d sin(0))) = 1/1 = 1

Gegeben:

f = 100 Hz, q = 1 m³/s, r = 5 m, a = 0,1 m, ρ_0 = 1,21 kg/m³, c = 343 m/s, G(0) = 1

Schalldruck:

p = j k Z_0 q e^(-j k r) / (2 π r) ⋅ G(0)

k = 2 π f / c = 2 π ⋅ 100 / 343 ≈ 1,83 1/m

Z_0 = ρ_0 c ≈ 1,21 ⋅ 343 ≈ 415 kg/(m² s)

p = j ⋅ 1,83 ⋅ 415 ⋅ 1 / (2 π ⋅ 5) ⋅ e^(-j 1,83 ⋅ 5)

≈ (6,06 - j 22,6) Pa

Betrag: |p| ≈ 23,4 Pa

Schallfeld ist abhängig von Helmholtzzahl ka. Je nach Anwendungsfeld sind diese Faktoren daher zu definieren.

Beispiel

Anwendung für ka=2

Bei ka=2 zeigt das Polardiagramm eine breitere Richtcharakteristik, was bedeutet, dass der Schall relativ gleichmäßig abgestrahlt wird.

Anwendung: Lautsprecher in einem Raum

 In einem Raum wie einem Wohnzimmer oder einem Konferenzsaal soll der Schall gleichmäßig verteilt werden, damit alle Zuhörer, unabhängig von ihrer Position, den Klang gut hören können. Eine breitere Richtcharakteristik sorgt dafür, dass der Schall in einem größeren Bereich effektiv hörbar ist.

Anwendung für ka=10

Bei ka=10 ist die Richtcharakteristik stark gebündelt, was bedeutet, dass der Schall hauptsächlich in eine bestimmte Richtung abgestrahlt wird.

Anwendung: Ultraschalluntersuchungen

In medizinischen Ultraschallanwendungen ist es oft notwendig, Schallwellen gezielt in eine bestimmte Richtung zu lenken, um eine genaue Bildgebung zu erreichen. Eine stark gebündelte Richtcharakteristik ermöglicht eine höhere Auflösung.

Prinzip der Koinzidenz:

- Die Periodizität der Luftschallwelle muss an der Plattenoberfläche mit der Biegewelle der Platte übereinstimmen.

- Bei „Koinzidenz“ koppelt die Platte effizient Schall in die Luft ab (maximale Strahlung).

Bedingung für keine Abstrahlung:

- Wellenlänge der Luftschallwelle λ größer als kritische Biegewellenlänge λ_B der Platte (λ > λ_B).

- In diesem Fall entsteht nur ein Nahfeld, die Platte strahlt praktisch keinen Schall ab.

Keine unendliche Platte

Schallabstrahlung aufgrund von Randeffekten

Keine Schallabstrahlung

• ist die Strahlerwellenlänge größer als die Luftschallwellenlänge, dann wird eine schräg laufende Welle unter dem Winkel ϑ abgestrahlt,

• für eine Strahlerwellenlänge, die kürzer als die Luftschallwellenlänge ist, existiert dagegen nur ein von der Strahlerfläche weg exponentiell abklingendes

Nahfeld, das im zeitlichen Mittel keine Leistung transportiert. (vgl. Möser 2009 S. 460)

BiegewellenPeriodizität der Luftschallwelle muss an der Plattenoberfläche mit der Biegewelle übereinstimmen: „Koinzidenz“

Jeweils „Beginn“ der 0dB Linie 

Ab der Grenzfrequenz f_n treten in einem Schallrohr auch Quermoden auf.

Unterhalb dieser Frequenz breiten sich nur ebene Wellen aus.

Fallunterscheidung:

k_x = √(k^2 - (nπ/h)^2 ) → Ausbreitung der Moden

k_x = -j √((nπ/h)^2 - k^2 ) → Exponentielles Abklingen, keine Wellenausbreitung

Betrachtung des Grenzfalls für die erste Quermode n=1:

k_c = π / h

mit ω_c = k_c c = π c / h

folgt f_c = ω_c / 2π = c / 2h

→ Ausbreitung ebener Grundwelle (n=0) unterhalb f_c

f_n = c / 2h = (343 m/s) / (2 ⋅ 0,04 m) = 4287,5 Hz

c_ph = c / √(1 - (ω_n / ω)^2 ) = c / √(1 - (f_n / (2 ⋅ f_n))^2 )

= c / √(3/4) = 2c / √3 = (2 ⋅ 343 m/s) / √3 = 396 m/s

Interpretation:

c_ph > c

Bei Quermoden tritt Dispersion auf. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist frequenzabhängig.

·Dispersion (Schallgeschwindigkeit im Körperschall ist frequenzabhängig)

·konstruktive / destruktive Interferenz (Überlagerung von gleichfrequenten gegenphasigen Wellen)

·Eigenfrequenzen und Schwingungsmoden (je nach Schwingungsmode unterschiedliche Schallabstrahlung – Teilweise akustischer Kurzschluss)

·Koinzidenzeffekte (Wechselwirkung Strahlende Platte – umgebendes Medium (Luft, Wasser))

·Die Schallgeschwindigkeit in Wasser ist ca. 5mal größer als in Luft -> geringe Rechenzeiten (Latenzen) notwendig

·destruktive Interferenz (Überlagerung von gleichfrequenten gegenphasigen Wellen)

·Cut-On-Effekt (Grenzfrequenz) im Schallrohr muss bei Messungen berücksichtigt werden

·Bestimmung der Laufzeitunterschiede/ Phasenunterschiede zwischen Mikrofonpaaren (Time Difference of Arrival, TDoA)

·Standortinformation Mikrofone

Geräuscherzeuger an Bord

- Maschinen (Dauergeräusche, Schaltvorgänge)

- Ventile, Rohrleitungen (Strömungsgeräusche, Pfeifen)

- Menschen

Propeller

Fluid – Struktur – Kopplung

- Anregung der Bootsstruktur durch Strömung zu Schwingen

- Druckölleitungen - Atemnotluftanlage - Regler etc.

Richtcharakteristik, Bereich 70 – 90° starke Abstrahlung im Frequenzbereich ab 250 Hz

Im Tieffrequenten Bereich kaum Richtcharakteristik erkennbar

• Allgemeine Zielsetzungen

• Schutz des Schiffes und der Besatzung vor Schäden

• Sicherstellen einer fehlerfreien Kommunikation

• Erholung ermöglichen

• Erwartungen an Komfort erfüllen

• Spezielle Zielsetzungen (Forschungs-, Marineschiffe)

• Die zu untersuchende Fischpopulation darf nicht gestört werden

• Detektionsrisiko minimieren

• Bedrohungsrisiko von Unterwasserwaffen minimieren

• Effizienz der Sonaranlagen

Druck und Schnelle nach der Schicht ergeben sich aus Druck und Schnelle vor der Schicht gewichtet mit den Einträgen der Transfermatrix. 

Luft – Stahl r 1,

Wasser – Stahl r 0.93, da ZWasser deutlich größer als ZLuft und im Bereich von ZStahl liegt

Entsprechend transmittiert mehr Schall bei Wasser-Stahl.

Antwort:  benötigte Schallfeldgrößen sind die Schallschnelle und der Schalldruck Verfahren 1: Messung der Schallintensität über Doppelmikrofonanordnung (optional Microflown-Sonde) Beschreibung: Ermittlung Schalldruck und Schalldruckgradient / Schnelle wird aus Gradient berechnet (optional Schnelle über Hitzedraht) Verfahren 2: Messung Schallintensität über Einzelmikrofon im Fernfeld einer Quelle Beschreibung: Schalldruck wird gemessen / Schallschnelle wird über Fernfeldimpedanz ermittelt (Frei- bzw. Halbfeld erforderlich) Nachdem die Schallintensität auf einer Hüllfläche um die Schallquelle gemessen wurde, wird diese über die Fläche aufintegriert, um die Schallleistung zu berechnen.

Antwort:

Lautsprechermembran bewegt sich konphas / Lautsprecher ist von einer ebenen, schallharten Wand umgeben / (tieffrequenter Bereich) / Die Schwingschnelle der Lautsprechermembran wird ermittelt / Lautsprecher strahlt ins Halbfeld / keine weiteren akustischen Quellen oder Senken präsent / Auswertung im Fernfeld