Was impliziert der WLSMV Schätzer von lavaan in R?
Worum geht es im IRT?
ein bestimmtes IRT Modell für dichotome oder ordinale Itemantworten.
um eine möglichst realistische Modellierung psychologischer Daten, ohne dabei an ein bestimmtes statistisches Framework (z.B. lineare Regression, LMM, SEM, …) gebunden zu sein.
Wie heißen die Testmodelle für dichotome Items?
Wie heißen die Testmodelle für ordinale Items?
• Testmodelle für dichotome Items (Raschmodell oder 1PL Modell, 2PL Modell)
• Testmodelle für ordinale Items (Partial Credit Modell, GPCM)
Wann ist ein Testmodell eindimensional?
Wovon gehen die eindimensionalen Testmodelle aus?
Los modelos de pruebas psicológicas tienen como objetivo describir estadísticamente las respuestas de un grupo de personas a una serie de ítems.
• Un modelo de prueba se denomina unidimensional cuando solo contiene una única variable latente que cuantifica la expresión de las personas en la característica psicológica.
• Por lo tanto, los modelos de prueba unidimensionales parten de la base de que la respuesta esperada de una persona determinada a un ítem concreto depende exclusivamente de los parámetros del ítem (pueden ser varios) y del valor de la persona en la variable latente.
• En esta clase solo trataremos modelos de prueba unidimensionales.
• Todos los modelos de prueba aquí presentados pueden ampliarse, en principio, a modelos con varias variables latentes (de forma análoga al modelo multidimensional 𝜏– congénere para ítems con formato de respuesta continuo).
Wo findet man meistens Dichotome Items?
Wovon spricht man, dass eine Person bei Dichotome Items macht??
Los ítems dicotómicos se encuentran principalmente en pruebas de inteligencia u otras pruebas de rendimiento.
• Ejemplo: tarea de matrices en pruebas de inteligencia.
Por lo tanto, en el caso de los ítems dicotómicos, se suele hablar de que una persona «resuelve» o «no resuelve» un ítem, así como de la «capacidad» de una persona que se va a medir.
• Sin embargo, los modelos de medición para ítems dicotómicos son igualmente aplicables a los ítems dicotómicos de los cuestionarios para medir los rasgos de personalidad.
• Ejemplo: ítem de motivación por el rendimiento en el «Inventario de Personalidad de Friburgo» (FPI-R).
En el contexto de los cuestionarios, la expresión «resolver un ítem» tiene poco sentido desde el punto de vista lingüístico, pero se utiliza a menudo de todos modos.
Gleichung und Erklärung der Parameter
Modellannahmen (auf der Ebene einer festen Person)
Gleichung der Kovarianzen
𝜏i.Persona = El valor real τ en el ítem i de una persona concreta (fija) —> un valor concreto y constante
El valor esperado E(de la variable subyacente X para el ítem i de una persona
El valor verdadero 𝜉 (xi) de la persona en el constructo latente
Was modelliert man in Testmodellen für dichotome Items?
Gleichung
Problem
De forma análoga a la regresión logística, en los modelos de prueba para ítems dicotómicos se modela la probabilidad P de que la persona resuelva un ítem 𝑖 (𝑥𝑖,persona = 1) o no lo resuelva (𝑥𝑖,persona = 0), dado un valor 𝜉persona (de la persona en la variable latente:
𝑃 (𝑥𝑖,persona = 1∣ 𝜉persona) = 1 − 𝑃 (𝑥𝑖,persona = 0∣ 𝜉persona)
Si se aplica el modelo congénere 𝜏 directamente a ítems dicotómicos, vuelve a surgir el problema de que una probabilidad está entre 0 y 1, pero el rango de valores del modelo de prueba está entre −∞ y +∞
.
Problem: eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1, jedoch liegt der Wertebereich des Testmodells zwischen −∞ und +∞.
Lösung:
Solución como en la regresión logística:
Transforma el rango de valores del modelo congénere 𝜏 de −∞; +∞ en valores entre 0 y 1 utilizando la función logística:
λ𝑖,1 immer =1 (Annahme des Modells)
Parameter und Schreibweise
Modelo dicotómico de Rasch (Forma más utilizada):
Annahme: suponemos que el parámetro de pendiente 𝜆𝑖,1 (para todos los ítems tiene el valor 1 (𝜏– äquivalente Modelle)
Además, observamos que el «parámetro de dificultad» 𝜆𝑖,0 es en realidad un «parámetro de facilidad», ya que para una persona con la capacidad 𝜉Person se aplica lo siguiente:
cuanto mayor sea 𝜆𝑖,0, mayor será la probabilidad de resolver el ítem 𝑖. Se obtiene un parámetro de dificultad mediante la reparametrización: 𝜎𝑖 = −𝜆𝑖,0
Notación para la expresión de una persona 𝑝 en la variable latente 𝜃𝑝 .
Gleichungen der Wahrscheinlichkeit im Raschmodell, dass eine feste Person 𝑝 das Item 𝑖 „löst“ bzw. „nicht löst“:
Wieso kann man beide Gleichungen zu einer kombinieren?
Modellgleichung des dichotomen Raschmodells für feste Personen:
Was ist jeder Parameter?
Expresion? Gleichung? Zellen?
Gleichungen
Interpretation
Indice de Item?
ICC =
Man betrachtet daher in der Regel nur La probabilidad P Item 𝑖 gelöst (𝑥𝑖person = 1) gegebenem einer Ausprägung im latenten Konstrukts 𝜃𝒑 der Person auf auf der Latenten Variablen ξ (Fähigkeit 𝜉person)
𝑃(𝑋𝒑𝑖 = 1|𝜃𝒑) = ITEM CHARACTERISTIC Curve
ICC = 𝑃(𝑋𝒑𝑖 = 1|𝜃𝒑) = arriba: 𝑒(𝜃𝒑 - σ𝑖) / abajo 1 + 𝑒(𝜃𝒑 - σ𝑖)
A diferencia de la regresión logística, un modelo teórico de prueba no solo consta de una ecuación para cada observación, sino de una ecuación para cada combinación de 𝑃 personas e 𝐼 ítems (un total de 𝑃 • 𝐼 ecuaciones).
Un modelo de prueba probabilístico como el modelo de Rasch implica una cierta probabilidad para cada entrada en la matriz de datos observada.
Para cada valor 𝜃𝒑 se aplica 𝑃 (X𝒑𝑖 = 1 ∣ 𝜃𝒑) + 𝑃 (X𝒑𝑖 = 0 ∣ 𝜃𝒑) = 1
Por lo tanto, normalmente solo se tiene en cuenta la función 𝑃 𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣ 𝜃𝒑) en 𝜃𝒑
Modellgleichung des dichotomen Raschmodells für feste Personen: 𝑃 𝑋𝒑𝑖 = x𝒑𝑖 | 𝜃𝒑 = arriba 𝑒x𝒑𝑖* (𝜃𝒑 - σ𝑖) /abajo 1 + 𝑒 (𝜃𝒑 - σ𝑖)
Mediante x𝒑𝑖 , el numerador se convierte en 1 si se sustituye x𝒑𝑖 = 0, y en 𝑒(𝜃𝒑 - σ𝑖) si se sustituye x𝒑𝑖 = 1.
x𝒑𝑖: respuesta observada de la persona 𝑝 al ítem 𝑖 (x𝒑𝑖 ∈ {0,1} )
𝜃𝒑: valor de la persona 𝑝 en la variable latente (𝜃𝒑 ∈ ]−∞; +∞[ , 𝑝 ∈ {1, … , 𝑃})
• 𝜎𝑖 : parámetro del ítem 𝑖 (𝜎𝑖 ∈] −∞; +∞ [, 𝑖 ∈{1, … , 𝐼})
Modellimplizierte Datenmatrix:
Durch das x𝒑𝑖 wird der Zähler 1, wenn man x𝒑𝑖 = 0 einsetzt, und 𝑒(𝜃𝒑 - σ𝑖) wenn man x𝒑𝑖 = 1 einsetzt.
Man betrachtet daher in der Regel nur La probabilidad P Item 𝑖 gelöst P(𝑥𝑖person = 1∣ 𝜃𝒑) gegebenem einer Ausprägung im latenten Konstrukts 𝜃𝒑 der Person auf auf der Latenten Variablen ξ (Fähigkeit 𝜉person) = ICC𝑖
𝑃(𝑋𝒑𝑖 = 1|𝜃𝒑) = ITEM CHARACTERISTIC CURVE
En 𝜃𝒑
x𝒑𝑖: Beobachtete Datenmatrix
ICC𝑖 = 𝑃(𝑋𝒑𝑖 = 1|𝜃𝒑) = arriba: 𝑒(𝜃𝒑 - σ𝑖) / abajo 1 + 𝑒(𝜃𝒑 - σ𝑖)
Was ist 𝜎1 und wie ist seine Interpretation?
Je höher 𝜎1, desto… ?
Was ist die Lösungswahrscheinlichkeit und wie lautet die Gleichung?
En el modelo dicotómico de Rasch, un ítem se describe completamente mediante su parámetro de ítem 𝜎𝑖 .
• 𝜎1 indica para qué valor de la variable latente la probabilidad de que una persona 𝑝 resuelva el ítem 𝑖 es exactamente 0,5.
𝜎1 = valor (en 𝜃𝒑) en la variable latente 𝛏, donde la probabilidad P de que una persona 𝑝 resuelva el ítem 𝑖 = 0,5
𝜎1 = dificultad del ítem 𝑖
• Por lo tanto, el parámetro del ítem 𝜎1 se interpreta como la dificultad del ítem 𝑖.
-> cuanto mayor sea 𝜎1, más difícil será resolver el ítem 𝑖
Para cada persona, es más probable resolver el ítem con menor dificultad 𝜎1 que el que tiene > 𝜎1:
𝑃 (𝑋𝒑₁ = 1∣ 𝜃𝒑) > 𝑃 (𝑋𝒑₂ = 1∣ 𝜃𝒑)
• Dado que Moritz tiene una «capacidad» (𝛳𝒑) mayor que Markus, Moritz tiene una mayor probabilidad de resolver cada Item:
P(X₂𝑖 = 1 ∣ 𝛳₂ ) > P(X₁𝑖 = 1 ∣ 𝛳₁) für alle 𝑖
P(X₂𝑖 = 1 ∣ 1 ) > P(X₁𝑖 = 1 ∣ -1) für alle 𝑖 para todos los 𝑖
Wo ist das Item stärker?
Wo ist die Person stärker?
Si la habilidad personal 𝜃𝒑 y la dificultad del objeto 𝜎𝑖 son idénticas, entonces se aplica lo siguiente:
𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣𝜃𝒑) = 1/1+1 = 0,5
—> Es tan probable resolver el ítem como no resolverlo
Si la capacidad de la persona es mayor que la dificultad del ítem, entonces se aplica lo siguiente:
𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣𝜃𝒑) > 0,5 (justificación: 𝜃𝒑 > 𝜎𝑖 ⇔ 𝜃𝒑 − 𝜎𝑖 > 0)
--> Mayor probabilidad de resolver el ítem que de no resolverlo.
Si la capacidad de la persona es menor que la dificultad del ítem, entonces se aplica
𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣𝜃𝒑) < 0,5 (justificación: 𝜃𝒑 < 𝜎𝑖 ⇔ 𝜃𝒑 − 𝜎𝑖 < 0)
--> Mayor probabilidad de no resolver el elemento que de resolverlo
ODDS
LOGITS
Gleichungen de ambos
Odds Schreibweise:
𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣𝜃𝒑)/ 𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 0 ∣𝜃𝒑) =
𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣𝜃𝒑/ 1- 𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣𝜃𝒑) = 𝑒(𝜃𝒑 − 𝜎𝑖)
Log – Odds bzw. Logit Schreibweise:
𝑖ｎ(𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣𝜃𝒑)/ 𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 0 ∣𝜃𝒑)) = 𝑖ｎ(𝑃(𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣𝜃𝒑/ 1- 𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣𝜃𝒑) = 𝜃𝒑 − 𝜎𝑖
Logits lassen sich direkt in Lösungswahrscheinlichkeiten umrechnen:
Bsp: 𝜃𝒑 − 𝜎𝑖 = 1
==> 𝑒¹ = 2,72 ==> 𝑃 (𝑋𝒑𝑖 = 1 ∣𝜃𝒑) = 2,72/ 1 - 2,72 = 2,72 / 3.72 = 0,73
Wann ist im Raschmodell die Differenz der Logits zweier Personen immer gleich?
Wann ist im Raschmodell die Differenz der Logits zweier Items immer gleich?
Was bedeutet die Spezifische Objektivität Wie berechnet man die?
En el modelo de Rasch, la diferencia entre los logits de dos personas es siempre la misma, siempre que se haya utilizado el mismo ítem para medir a ambas personas
—> «La comparación entre dos personas es independiente del instrumento de medición»
Del mismo modo, la diferencia entre los logits de dos ítems es siempre la misma, siempre que se haya utilizado la misma persona para evaluar ambos ítems
—> «La comparación entre dos ítems es independiente del objeto de medición»
==> Estos dos puntos también se denominan «objetividad específica».
• Una parte de la comunidad psicométrica concede una gran importancia a la objetividad específica, ya que se corresponde con una cierta comprensión ideal de las mediciones físicas.
• Dado que los modelos de pruebas más complejos con varios parámetros de ítems no presentan objetividad específica, esta parte de la comunidad argumenta que solo se debería hablar de medición psicológica cuando una prueba psicológica cumple los supuestos del modelo de Rasch.
• Por el contrario, otra parte sostiene que el objetivo de los modelos teóricos de pruebas es representar con la mayor precisión posible las respuestas a los ítems de una prueba psicológica. Dado que el modelo de Rasch establece supuestos muy estrictos que, en la práctica empírica, suelen incumplirse, también se tienen en cuenta modelos de pruebas más flexibles a los que no se aplica la objetividad específica.
• En esta clase nos sumaremos a la segunda opinión. En nuestra opinión, la objetividad específica no ofrece ventajas decisivas y limita en exceso la elección de modelos de prueba útiles en la práctica.
Was charakterisiert jedes Item im 1PL Modell?
Was addiert man im 2PL Modell?
Gleichung der Lösungswahrscheinlichkeit im 2PL Modell
Erklärung und Wertebereich der Parameter
Womit hängt der Itemparameter 𝛽𝑖 zusammen?
Je größer 𝛽𝑖, desto…?
Wie interpretiert man 𝛽𝑖 und wieso?
El parámetro del ítem 𝛽𝑖 está relacionado con la pendiente de la ICC del ítem 𝑖.
• Cuanto mayor sea 𝛽𝑖 , mayor será el cambio en la probabilidad de solución para valores de 𝜃𝒑 cercanos a 𝜎𝑖 (cuanto más «empinada» es la ICC en el punto de inflexión).
• Por lo tanto, el parámetro del ítem 𝛽𝑖 se interpreta como la «discriminación» del ítem 𝑖.
Lösungswahrscheinlichkeit Von Markus und Caro
Was fällt auf bezüglich des ICCs im 2PL Modell?
Problem?
• Cuanto mayor sea 𝛽𝑖 , mayor el cambio en la probabilidad de solución para valores de 𝜃𝒑 cercanos a 𝜎𝑖 (cuanto más «empinada» es la ICC en el punto de inflexión).
• 𝛽𝑖 se interpreta como la «discriminación» del ítem 𝑖.
Las ICC en el modelo 2PL se cruzan.
• Markus tiene más probabilidades de resolver el ítem rojo que el azul.
• Caro, por el contrario, tiene más probabilidades de resolver el ítem azul que el rojo.
—> ¿Es esto compatible con nuestra idea de «medición»?
No, Caro debería tener mayores probabilidades para ambos ítems.
• El cruce de las curvas podría producirse en áreas que son en gran medida irrelevantes desde el punto de vista empírico (véase «Distribución hipotética de los parámetros personales»).
Sin embargo, para el área cubierta por los datos, los modelos pueden adaptarse de forma más flexible a los datos.
Welches modell wird hier dargestellt und was ist jeder Parameterer?
Por cierto, el mismo fenómeno se produce también en el modelo congénere 𝜏.
• Para Florian, el valor real del elemento rojo es mayor que el del elemento azul. Para David, en cambio, el valor real del elemento azul es mayor que el del
elemento rojo. -> Siempre deben tenerse en cuenta ambos parámetros del elemento.
Parameter, Wertebereich und Namen bzw. Interpretationen?
3. Parameter: Ratewahrscheinlichkeit (startet nicht bei 0).
4. Parameter: Egal wie hoch die Fähigkeit, man erreicht nie (asymptotisch) 100%.
—> „Item specific carelessness“
Gleichuung jeweils
Worin unterscheiden sich die Items im jeweilichen Modell?
Gegenstück zum welchen Modell? Unterschied?
Modelo 1PL («modelo Rasch»)
• Los ítems solo se diferencian en su «dificultad».
• Contrapartida del modelo esencialmente equivalente a 𝜏 en ítems con formato de respuesta continuo. (essentiell 𝜏–
äquivalenten Modell)
Modelo 2PL
• Los ítems se diferencian en su «dificultad» y en su «discriminación».
• Contrapartida del modelo congénere a 𝜏 en ítems con formato de respuesta continuo. (𝜏–kongenerischen Modell)
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