Schreiben Sie die Wellenfunktion eines freien Elektrons mit Wellenvektor k = (kx,0,0) auf.
Wie lautet der Name des am wenigsten symmetrischen Bravais-Gitters?
Triklines Gitter
Skizzieren Sie eine Phononendispersion, die auch einen optischen Zweig enthält.
Die primitiven Gittervektoren eines Gitters sind c1, c2 und c3. Drücken Sie einen Gittervektor
des reziproken Gitters durch c1, c2 und c3 aus.
d1 = 2pi/ c1; etc…
Nennen Sie ein Edelgasatom sowie ein Übergangsmetall.
Edelgas = Helium
Übergangmetall = Eisen
In welchem Bereich liegen die typischen Energien von Phononen?
Akustische Phononen: Haben Energien von fast 0 (bei sehr langen Wellenlängen) bis hin zu etwa 30–50 meV an der Brillouin-Zonengrenze.
Optische Phononen: Liegen meist etwas höher, oft im Bereich von 30 bis 100 meV. In besonders harten Materialien mit starken Bindungen und leichten Atomen (wie Diamant oder Graphen) können sie auch bis zu 200 meV erreichen.
Skizzieren die Lage eines Siliziumatoms und seiner vier nächsten Nachbarn im Siliziumgitter.
Auf welchem Gebiet der Festkörperphysik hat Langevin wichtige Arbeiten geleistet?
Magnetismus (Atome mit abgeschlossenen Schalen/ Lokalisiert4e Magnetische Momente)
Wer hat die T^3
-Abhängigkeit der spezifischen Wärme kristalliner Festkörper bei tiefen Tempe-
raturen erklärt?
Peter Debye
Aus welchen geometrischen Elementen besteht der Rand der 1. Brillouin-Zone eines einfach
kubischen Gitters?
Quadrate
Wie lautet die Laue-Bedingung für die Streuung von Wellen an Gittern?
∆𝐤 = 𝐤′ − 𝐤 = ± n 𝐆 mit n = 1, 2, …
mit k = 2pi/ lambda und G = 2pi/d
Wie lautet die Energie eines magnetischen Moments µ im magnetischen Feld B?
Vpot = - µ *B
Zu welcher Materialklasse gehören Si, Ge und GaAs?
Halbleiter
Was ist eine direkte Bandlücke?
Minimum des Leitungsbandes (= Leitungsband-
kante E() und Maximum des Valenzbandes (= Valenzband-
kante E)) liegen beide im Γ-Punkt —> direkte Bandlücke
Richtig oder falsch: Es gibt Elemente mit einer Dichte von mehr als 15 g/cm3?
Ja zB Uran
Schreiben Sie eine Ihnen bekannte Dispersionsbeziehung auf.
„Dispersionsbeziehung“ ist der allgemeine
Name für eine Beziehung zwischen einer
Frequenz und einem Wellenvektors oder
einer Wellenzahl
Unter welcher Voraussetzung ist in der Vorlesung im Kontext der Gitterschwingungen ein op-
tischer Phononenzweig aufgetaucht?
Als wir mehratomige EZ benutzt haben
N Atome pro EZ ⇒ 3N Freiheitsgrade pro EZ
3N gekoppelte Bewegungsgleichungen
⇒ 3N Lösungen
= 3N Schwingungsmoden für jedes 𝐤 in 1. BZ
Ø Davon:
N longitudinale + 2N transversale
3 akustische und 3N − 3 optische
Nennen Sie die Namen von zwei Röntgendiffraktions-Methoden.
Debye-Scherrer-Verfahren = Pulver-Diffraktometrie
Laue-Verfahren = Einkristall-Diffraktrometrie
Was ist der Unterschied zwischen den Stapelfolgen des hcp- und des fcc-Gitters?
hcp (Hexagonal dichtestgepackt): ABAB
fcc (kubisch flächsnzentreiert): ABCABC
Schreiben Sie die Wellenfunktion eines quasifreien Elektrons auf. Was ist seine Energie in dem
durch die Wellenfunktion beschriebenen Zustand?
Eine Ebene schneide die Koordinatenachsen eines kubischen Gitters in den Abschnitten 2, 2
und 10. Welche Millerindizes hat sie?
(1/2,1/2,1/10) —> (5,5,1)
Wie groß ist die Boltzmann-Konstante in SI-Einheiten?
kB = 1,38*10^(-23)J/K
Welches langreichweitige Potenzial wirkt im Madelung-Modell der ionischen Kristalle?
elektrostatische Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Ionen.
Was lässt sich mittels Röntgen-Diffraktion bestimmen?
Gitterabstand d
Welche mittlere Energie trägt jede Gitterschwingung im Grenzfall tiefer Temperaturen?
1/2 hquer * w
Was ist ein direkter Halbleiter?
Direkt: Minimum des Leitungsbandes (= Leitungsband-
kante E)) liegen beide im Γ-Punkt à direkte Bandlücke
Um welchen Faktor ist die spezifische Wärme quasifreier Elektronen niedriger als klassisch
erwartet?
100
In welcher Struktur kristallisieren Germanium und Silizium?
Diamantstruktur
Wodurch können Bandlücken in der Bandstruktur der Elektronen eines Festkörpers hervorgeru-
fen werden?
Dies ist die klassische Erklärung im Modell fast freier Elektronen. Die Elektronenwellen werden an den Atomrümpfen des Kristallgitters gestreut.
Wenn die Wellenlänge der Elektronen die Bragg-Bedingung erfüllt, kommt es zur konstruktiven Interferenz der reflektierten Wellen.
An den Grenzen der Brillouin-Zone bilden sich stehende Wellen aus (eine mit Maxima an den Atomkernen, eine mit Maxima zwischen den Kernen).
Diese beiden Zustände haben unterschiedliche potenzielle Energien. Die Differenz zwischen diesen Energieniveaus ist die Bandlücke.
Wodurch unterscheiden sich zwei verschiedene Isotope desselben Elements?
Neutronen Anzahl
Richtig oder falsch: Der Kompressionsmodul K und der Elastizitätsmodul E sind proportional
zu einander?
Falsch K = E / 3*(1-2v)
mit v Poisson Zahl (Querkontraktion)
Welche Längeneinheit besitzen reziproke Gittervektoren?
1/m
Nennen Sie die Namen der zwei in der Vorlesung behandelten Modelle für die spezifische
Wärme.
Das Einstein-Modell: Dieses Modell nimmt an, dass alle Atome im Gitter als unabhängige harmonische Oszillatoren mit ein und derselben festen Frequenz (ωE) schwingen. Es erklärt zwar das Verschwinden der spezifischen Wärme am absoluten Nullpunkt, unterschätzt jedoch den Beitrag der langwelligen Schwingungen bei tiefen Temperaturen.
Das Debye-Modell: Dieses Modell verbessert das Einstein-Modell, indem es ein kontinuierliches Spektrum an Schwingungsfrequenzen bis zu einer Grenzfrequenz (der Debye-Frequenz ωD) annimmt. Es beschreibt die Gitterschwingungen als Schallwellen und liefert für tiefe Temperaturen das korrekte T3-Gesetz.
Welche Potenzen des Abstands kommen im Lennard-Jones-Potenzial vor?
r^-6 (zwischen ugeladenen Paaren, attraktiv)
r^-12 (zwischen Elektronenhüllen, repulsiv)
Welche Struktur hat das reziproke Gitter eines kubisch raumzentrierten Gitters?
Kubisch flächenzentriertes Gitter
Nennen Sie zwei Elemente, die in Diamantstruktur kristallisieren.
Silizium, Germanium
Was passiert mit der magnetischen Suszeptibilität eines Materials knapp oberhalb seiner Curie-
Temperatur?
Welche Struktur hat das reziproke Gitter des einfach kubischen Gitters?
Kubus
Gegen welchen Grenzwert strebt die molare spezifische Wärme von Festkörpern bei hohen
Temperaturen?
Gegen klasssiches Boltzmann Modell (E =kbT)
Wie nennt man magnetisierbare Materialien mit χ < 0?
Diamagnetismus, diamagnetisches Material
Nennen Sie ein Beispiel eines Metalls mit quasifreien Leitungselektronen.
Silber (Ag)
Wie lautet die Dispersion E(k) für die Energie quasifreier Elektronen mit Wellenzahl k?
Korrekt oder falsch: „die spezifische Wärme kristalliner Festkörper nimmt um Raumtemperatur
mit zunehmender Temperatur ab“?
Falsch
Wie heißt das Bravais-Gitter mit der höchsten Symmetrie? Wie viele Varianten davon gibt es?
Die kubische Kristallklasse hat die höchste Symmetrie, davon hat das kubisch primitive Gitter die höchste Symmetrie
In welchen physikalischen Einheiten nehmen die atomaren Bindungsenergien von Kristallen
Werte zwischen ca. 1 und 10 an?
Elektronenvolt (eV) pro Atom
Aus welchen Flächen besteht der Rand der 1. Brillouin-Zone eines einfach kubischen Gitters?
Quadraten, die erste Brioullin Zone hat eine Würfel Form
Wie lautet der Zusammenhang zwischen der thermischen und elektrischen Leitfähigkeit von
Metallen?
Wiedemann-Franz-Gesetz
kappa = Wärmeleitfähigkeit der Elektronen
sigma = elektrische Leitfähigkeit
Wie viele Cl-Ionen hat ein Na-Ion im NaCl-Kristall als nächste Nachbarn?
6
Über welches Potenzial wechselwirken Edelgasatome?
Lennard Jones Potenzial (12 (repulsiv durch e- Hüllen) und 6 (attraktiv durch neutrale Atome) Potenzial)
In welchem Temperaturbereich nimmt die Wärmeleitfähigkeit kristalliner Festkörper ihr Ma-
ximum an?
Bei tiefen temperaturen (zwischen 10K und 100K)
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Band von Elektronenzuständen eines kristalli-
nen Festkörpers leitet?
Nur unvollständig gefüllte Bänder können leiten!
-> Ein volles Band leitet nicht (etwas unintuitiv!) - genauso wenig wie ein leeres (einleuchtend!)
Schreiben Sie die Bedingung für die Röntgenstreuung an Gitterebenen zum reziproken Gitter-
vektor G in der Formulierung von Brillouin auf.
delta k = k’-k=nG
G = 2pi / d
k = 2pi / lamda
Das ist die Laue Bedinungung
Richtig oder falsch: „Silizium ist etwa halb so steif wie Diamant “?
Welcher Abhängigkeit von der Temperatur folgt die Wärmeleitfähigkeit der Elektronen in Me-
tallen bei niedrigen Temperaturen?
Kappa el = L * sigma el * T
mit sigma el = elektrische Leitfähigkeit und L = Lorentzzahl (2,88 *10-8 V^2/ K^2)
Elektronen tragen Energie und Impuls aus wärmeren Bereichen in kältere Bereiche: mit Wärmeleitfähigkeit kappath, el der Elektronen
Wie groß ist die Bandlücke von Silizium bei Raumtemperatur?
1,12 eV
Welche Bedingungen erfüllt ein beliebiger reziproker Gittervektor G bezüglich der reziproken
Basisvektoren b1, b2 und b3 eines Kristallgitters?
Wie hoch sind Schallgeschwindigkeiten in kristallinen Festkörpern typischerweise?
merhere tausend m/s, zwischen 3000 und 18000 m/s (diamant)
Wie breit ist der Übergang der Fermi-Funktion von 1 nach 0 bei einer gegebenen Temperatur T
ungefähr?
4 kB T
Wozu wird die Debye-Scherrer-Methode verwendet?
Die … ist eine Pulver-Diffraktometrie, und wird zur Strukturaufklärung kristalliner Festkörper verwendet
Bedingungen:
Monochromatische Strahlung
Polykristalline Probe
Setzen Sie die Aussage „Material XY ist ein direkter Halbleiter mit einer Bandlücke von
0,4 eV“ in eine Skizze um.
Auf der x Achse sind die k - Punkte
Der Gamma Punkt ist dort wo sich min und max überlagern
Welches Material bleibt bei zunehmender Temperatur länger magnetisch: Gd oder Fe?
Fe (Eisen)
Mit welchem Thema ist in der Vorlesung der Name Madelung verbunden?
Bindungsverhältnisse im Festkörper,
DIe Madelungskosntante ist ein Maß dafür, wie die einzelnen Atome in einem Festkörper miteinander Wechselwirken
Wie viele Atome pro kubischer Einheitszelle besitzt das krz-Gitter?
2
Schreiben Sie die allgemeine Form der Wellenfunktion eines Blochzustands auf.
Stell dir eine normale Sinuswelle (ebene Welle) vor, die durch den Raum wandert. In einem Kristall wird diese Welle jedoch durch die Atomkerne beeinflusst. Die Bloch-Funktion u(r) "moduliert" die ebene Welle so, dass sie an jedem Atom innerhalb des Kristalls genau gleich aussieht. Die Gesamtwelle sieht also aus wie eine ebene Welle, deren Amplitude im Rhythmus der Atome schwingt.
Welche Potenz des Abstands kommt in der van-der-Waals-Wechselwirkung vor und in wel-
chem Potential finden Sie diese wieder?
Die 6. Potenz kommt vor, man findet sie im anziehenden Lennard jones Potential wieder, kurzreichweitig
Nennen Sie zwei indirekte Halbleiter.
Germanium und Silizium
Auf Grund welcher statistischen Verteilung ist die spezifische Wärme quasifreier Elektronen
etwa einen Faktor 100 niedriger als klassisch erwartet?
Der Grund dafür ist die Fermi-Dirac-Statistik.
Wie viele Kristallschwingungen besitzt eine Probe aus 10^26 Atomen?
3 * N
N = Anzahl der Atome
Also : 3 * 10^26
Was lässt sich mit der Debye-Scherrer-Methode bestimmen?
Untersuchung und Identifikation pulverförmiger kristalliner Substanzen durch Röntgenbeugung.
Was ist eine Fermifläche?
Die Fermifläche ist die Oberfläche der Fermikugel. Die Fermikugel ist definiert durch den Radius k_f im reziproken Raum.
Durch welche Formel wird die Bose-Einstein-Verteilung beschrieben.
Was ist der Grund für den repulsiven Teil des Lennard-Jones-Potentials?
Überlagerung der Elektronenhüllen sorgen für ein repulsives Teil,
Dieser ist extrem kurzreichweitig, und steigt in der 12 Potenz
Diamagnetisch bedeutet χm > 0: richtig oder falsch?
Welches Bravais-Gitter weist die geringsten Symmetrien auf.
Trikilines Gitter
Was ist ein Buckminster-Fulleren?
Kugelförmiges Molekül bestehend aus 60 Kohlenstoffatomen (C_60)
abgestumpftes Ikosaeder
Zu welcher Klasse von Bravais-Gittern gehört die Zinkblendestruktur?
kfz - Gitter (kubisch Flächenzentriert)
Richtig oder falsch: Kristalle mit höherem E-Modul und geringerer Dichte besitzen eine höhere Debye-Temperatur?
Richtig
Die Debye-Temperatur ist ein Maß für die "Steifigkeit" des Kristallgitters. Je "härter" die Federn (Bindungen) und je leichter die Gewichte (Atome), desto schneller schwingt das System
Skizzieren Sie eine Dispersion optischer Phononen.
Oben: zwei gleichgroße Atome
Unten: zwei unterschiedlich große Atome
Nennen Sie eine typische Fermitemperatur.
Typische Fermitemperatur von Metallen:
T_F = 10^4 - 10^5 K
Berechnung:
Was bedeutet das Symbol n in der Braggschen Beugungsformel?
Das n muss immer eine ganze Zahl sein. Es gibt an, wie viele ganze Wellenlängen der Gangunterschied zwischen den Strahlen beträgt.
Nennen Sie drei verschiedene Bindungstypen, dank denen Atome Festkörpern bilden.
Ionenbindung
Kovalente Bindungen
Metallbindungen
(Van-der-Waals-Bindungen)
(Wasserstoffbrückenbindungen)
Skizzieren Sie die Bewegung der Massen einer Masse-Feder-Kette in einer longitudinalen Schwingung mit k = π/a, wobei a die Periode der Kette darstellt.
Mit welcher Funktion der Temperatur steigt die spezifische Wärme kristalliner Festkörper bei
niedrigen Temperaturen an?
Nennen Sie drei Elemente mit hoher elektrischer Leitfähigkeit.
Wie sind die Atome in einer (110)-Ebene eines einfach kubischen Kristalls angeordnet?
Welche Einheit hat die Länge reziproker Gittervektoren?
Wie kommt es, dass Na und Cl sich zu NaCl verbinden.
Skizzieren Sie die Bandstruktur von Silizium vom Γ- bis zum X-Punkt für Energien in der Nä-
he der Bandlücke.
Skizzieren sie die energieabhängige Zustandsdichte von Elektronen in der Nähe der Bandlücke
eines Halbleitermaterials.
Wie viele Bravais-Gitter gibt es? Nennen Sie drei mit unähnlichen Namen.
Wenn drei primitive Gittervektoren eines Kristallgitters orthogonal aufeinander stehen, was
wissen Sie dann über die dadurch definierten reziproken Gittervektoren?
Welche beiden Kristallgitter eines Edelgases haben nahezu dieselbe Bindungsenergie?
Kubisch flächenzentriert (kfz) und Hexagonal dichtestgepackt (hcp)
Wie lautet die Dispersionsrelation der longitudinalen Schwingungen einer Kette von Atomen bei kleinen k-Werten? Erläutern Sie die darin vorkommenden Symbole.
Grundsätzlich gilt:
Für kleine k gilt:
Also:
Mit:
Fazit:
Skizzieren Sie ein Kronig-Penney-Potenzial.
Wie stark leitet ein volles Band?
Gar nicht.
Was passiert mit weißschen Bezirken bei Temperaturen oberhalb TC?
Wie viele Atome bilden ein Buckminster-Fulleren?
60
Nennen Sie eine Frage, die sich mit der Ewald-Konstruktion beantworten lässt.
"Bei welchem Winkel θ tritt bei einer gegebenen Röntgenwellenlänge λ und einem bekannten Kristallgitter ein Beugungsreflex (Bragg-Reflexion) auf?"
Für welche Einfallsrichtungen bzw. Wellenvektoren tritt Beugung an einem Kristall auf?
Nennen Sie vier Wissenschaftler, deren Name mit der Festkörperphysik verbunden ist und die
folglich in der Vorlesung erwähnt wurden.
Enrico Fermi
Albert Einstein
Marie Curie
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